Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas

Nesta seção farei um resumo das principais propriedades das funções trigonomé

tricas mais frequentemente usadas: seno, coseno, tangente.

No que se segue,

· IR e ] –∞ , +∞ [ denotam toda a reta dos números reais;

· os traços verticais mais finos, onde existentes, represen

tam pontos múltiplos ou submúltiplos de p (±p/2, ±3p/2, ±2p, etc.);

· as assimptotas horizontais são representadas a traço m

ais fino.

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^([1]) p/2=1,57; p=3,14; 3p/2=4,71; 2p=6,28.

Seno de a

f(a) = sena = y / r

· Função ímpar, positiva no 1º e 2ºQ, negativa no 3º e 4ºQ.

· Monotonia: crescente no 1º e 4ºQ, decrescente no 2º e 3ºQ.

· Domínio: ] –∞ , +∞ [
Ou seja, a função pode ter por argumento qualquer número real.

· Contradomínio: [–1 ; +1]

Nos pontos máximo e mínimo do círculo trigonométrico (circunferência de raio r = 1), tem-se y = 1 e y = –1. Nesses pontos, temos sena = 1 e sena = –1, respectivamente.

· Período: 2p

Coseno de a

f(a) = cosa = x / r – função par, positiva no 1º e 4ºQ, negativa no 2º e 3ºQ.

Monotonia: crescente no 3º e 4ºQ, decrescente no 1º e 2ºQ.

Domínio: ] –∞ , +∞ [. Contradomínio: [–1 ; +1]. Período: 2p

Tangente de a

f(a) = tga = y / x – função ímpar, estritamente crescente em todo

o domínio. Positiva no 1º e 3ºQ, negativa no 2º e 4ºQ.

Domínio: IR\{kp+p/2, k = 0, ±1, ±2,...} . Contradomínio: ]–∞ ,+∞[. Período: p.

Adição e Subtração de Arcos= - Trigonometria II

Considerando a e b como sendo as determinações de dois arcos, temos:

• Cosseno de (a + b)


Demonstração


Baseados nas construções geométricas mostradas na representação acima, concluímos que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e muito parecidos, ou seja:

I) OM = cos a
PM = sen a
OS = cos b
QS = sen b
ON = cos (a + b)



Como:
ON = OV – NV = OV – TS, resulta em: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

• Cosseno de (a – b)


Demonstração
Como cos ( – b) = cos b
sen ( – b) = sen b, temos:
cos (a – b) = cos [a + (– b)] =
= cos a . cos (– b) – sen a . sen (– b) =
= cos a . cos b + sen a . sen b

• Seno de (a + b)







• Seno de (a – b)


Demonstração
Como cos (– b) = cos b
sen (– b) = – sen b temos:
sen (a – b) = sen [a + (– b)] =
= sen a . cos (– b) + cos a . sen (– b) =
= sen a . cos b – cos a . sen b

• Tangente de (a + b)






• Tangente de (a – b)

2. ARCO DUPLO

Usaremos as fórmulas da soma e da subtração de dois arcos para obter as fórmulas do arco duplo.

Aplicação


3. TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

As fórmulas de adição e subtração de arcos podem ser transformadas em produtos a partir de:



Aplicação
Transformar em produto a expressão y = sen 40° + sen 30°.

Solução:

m = 40° e n = 30°

Aplicando a forma fatorada de sen m + sen n, temos:



4. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
É toda equação em que figura uma função trigonométrica com arco desconhecido. Chamam-se soluções de uma equação trigonométrica os valores da variável, caso existam, que satisfazem a equação dada.

Exemplos:

a) sen x = – 1

b) cos x = 0




Fórmulas da Adição


As fórmulas acima são verdadeiras para arcos positivos, cujo a soma pertence ao primeiro quadrante.

Fórmulas da Multiplicação

Aplicação



5. INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Uma inequação trigonométrica é uma desigualdade em que aparecem funções trigonométricas da incógnita.

Exemplos:



Aplicação

As relações entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco são denominadas relações trigonométricas.



Observações:

a) cotg x = co-tangente de x

b) sec x = secante de x

c) cosec x = co-ssecante de x

Aplicação
Simplificar a expressão:

1 – sen x . cos x . tg



Aplicação

Calcular sen 75°.

Solução:

Podemos observar que 75º = 30º + 45º; logo sen 75º = sen (30º + 45º). A partir da fórmula, temos:

sen (30º + 45º) = sen 30º. cos 45º + sen 45º . cos 30º =

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/adicao-e-subtracao-de-arcos-.html

Cálculo da área total e do volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas

O calculo da pirâmide de bases paralelas é dado através dos Dados:

• AB e Ab = área das bases
• h = altura
• Al = área lateral
• At = área total
• V = volume do tronco

http://www.colegioweb.com.br/matematica/calculo-da-area-total-e-do-volume-de-um-tronco-de-piramide-de-bases-paralelas.html

Poliedros

Poliedros

Superfície poliédrica

Chama-se superfície poliédrica a junção de um número limitado n (n ∈ N*) de polígonos planos, assim:

a-) Jamais são clopanares, dois polígonos com um lado em comum;
b-) Cada lado do polígono esta no máximo em dois polígonos.
c-) Qualquer polígono tem ao menos um lado comum com dos outros polígonos.

Elementos

Obtemos em numa superfície poliédrica, as faces que são os polígonos, as arestas que são as laterais dos polígonos e os vértices, que são os vértices dos polígonos. Assim,



• A aresta que é lado de um único polígono é denominada aresta livre.
• Já a aresta que é lado de dois polígonos é denominada aresta dupla.




Superfície poliédrica aberta

Classificação

A superfície poliédrica que tem aresta livre é denominada superfície poliédrica aberta. Já a que não possui a aresta livre é denominada superfície poliédrica fechada.


Superfície poliédrica fechada

Superfície poliédrica convexa

Sempre que o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num mesmo semi- espaço este é denominado superfície poliédrica convexa.


Superfície poliédrica não convexa

Poliedro

O poliedro é ponto do espaço demarcado por uma superfície poliédrica fechada. O poliedro demarcado pela superfície poliédrica convexa é denominado poliedro convexo.



Poliedro convexo

Relações de Euler

I) Dada uma superfície poliédrica convexa aberta com vértices (V), arestas (A) e faces (F), teremos:



II) Dada uma superfície poliédrica convexa fechada com vértices (V), arestas (A) e faces (F), teremos:



Chamamos de poliedro Eureliano, qualquer poliedro que sacie essa relação.

Observação:

“Todo poliedro convexo é Eureliano, mas nem todo poliedro Eureliano é convexo”.

Note que o poliedro abaixo não é convexo, mas segue a relação V – A + F =2.




Soma dos ângulos das faces

Em todo poliedro convexo de vértices (V), a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por:

http://www.colegioweb.com.br/matematica/poliedros.html

Diedros

Diedros

Os planos secantes α e β estabelecem no espaço quatro semi-espaços.

O corte de dois desses semi-espaços é chamado de diedro.




Na imagem:

α e β representam as faces.

A reta a representa a aresta do diedro determinado pelo corte dos semiplanos I e I’.

Secção reta de um diedro

Chamamos de seção reta, o angulo determinado pelo corte de um diedro com um plano perpendicular a sua aresta.



Na imagem:

A superfície perpendicular à aresta a determina a secção reta definida pelo ângulo

São congruentes, todas as secções retas do mesmo diedro.
A proporção de um diedro é a proporção da sua secção reta.
Dois diedros são congruentes, sempre que suas secções são congruentes.
Caso o plano π não seja perpendicular à aresta a, obteremos apenas uma secção inclinada.

Fonte :
http://www.colegioweb.com.br/matematica/diedros-.html