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terça-feira, 2 de junho de 2009

Radiciação

Radiciação

* Definição

O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que têm por fim, fornecida uma potência de um número e o seu grau, possa determinar esse número.


Radiciação

Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:


video

Extração da raiz quadrada de um número

Alegria Matemática: Extração da raiz quadrada de um número

Extrair a raiz quadrada de um número inteiro A não negativo é obter um outro número real r tal que r²=A. Se a igualdade não é possível, pelo menos esperamos que r² seja um número menor do que A e próximo de A.

Apresentaremos o processo para extrair a raiz quadrada de A=127599 para implementar um processo geral.

1.

Tome uma folha de papel, trace uma linha vertical e outra horizontal para obter 4 quadrantes. O número A é posto no canto superior esquerdo e a raiz aparecerá no canto superior direito.

127599 | Canto Sup. Direito
------------------- | ------------------
Canto Inf. Esquerdo | Canto Inf. Direito

2.

Decompomos o número inteiro A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.

12.75.99 | ........
-------- | --------
........ | ........

3.

Ordenamos as classes da esquerda para a direita com os valores das classes indicados por C1, C2, C3, ...

C1.C2.C3 | ........
-------- | --------
........ | ........

Neste exemplo: C1=12, C2=75 e C3=99.
4.

C1 poderá ter um ou dois algarismos (neste caso tem 2) e os valores de todas as classes serão menores do que 100.

12.75.99 | ........
-------- | --------
........ | ........

5.

Quais são os números inteiros positivos B que elevados ao quadrado são menores ou iguais que C1=12? Os valores possíveis para B são 0, 1, 2 ou 3.
6.

O maior número inteiro com esta propriedade é B=3. Colocamos 3 no canto superior direito.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
........ | ........

7.

Colocamos B²=3²=9 em baixo de C1

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........

8.

Realizamos a diferença D=C1-B²=3, pondo este último valor abaixo de uma nova linha.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........
-------- |
.3...... |

9.

Baixamos a classe C2=75 até a linha onde está a diferença D=3.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........
-------- |
.3.75... |

10.

Reunimos D=3 com C2=75 para formar o número E=375.

12.75.99 | 3.......
-------------------
.9...... | ........
-------- |
..375... |

11.

Colocamos 2B (dobro de B=3) no canto inferior direito.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | 6.......
-------- |
..375... |

12.

A divisão inteira de E=375 por 6=2B ainda deve ser dividida por 10 para obtermos o próximo algarismo F no processo. O 10 indica que este é o dígito das dezenas para a raiz quadrada. Dessa forma, F=E÷(20B)=375÷60= 6
13.

F=6 ficará à direita de B=3 no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.

12.75.99 | 36.......
-------- | ---------
.9...... | 66x6=....
-------- |
..375... |

14.

Multiplicamos os números do canto inferior direito.

12.75.99 | 36.......
-------- | ---------
.9...... | 66x6=376.
-------- |
..375... |

15.

Como o produto é maior do que o número 375 que está no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |

16.

Com F-1 no lugar de F obtemos um novo produto G=325 que agora é menor do que E=375. Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.
17.

Após obter o F=5 adequado, pomos o número formado pelos dígitos B e F no canto superior direito e o número G em baixo de E, para obter a diferença H=E-G=50.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
...50... |

18.

Baixamos a próxima classe C3=99 até a linha que contém a diferença H=50.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
...50.99 |

19.

Formamos agora um novo número I=5099 e tomamos BF=35.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

20.

No canto inferior direito, em baixo do produto 65x5=325, colocamos o dobro de BF, que é 70.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325
-------- | 70
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

21.

Como já é a segunda vez que realizamos esta operação, devemos realizar a divisão inteira de I=5099 por 20BF=700 para obter J=I÷(20BF)=5099÷700=7. O número J=7 será posto à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.

12.75.99 | 357......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325
-------- | 707x7=
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

22.

Multiplicamos J=7 pelo número K=707 formado por 2BF e J.

12.75.99 | 357.......
-------- | ----------
.9...... | 65x5 = 325
-------- | 707x7=4949
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

23.

Verificamos que este produto L=4949 é menor do que I=5099. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.
24.

Realizamos a diferença M=I-L=5099-4949=150. Nesse momento, você deverá estar com o número formado pelos dígitos B, F e J no canto superior direito. Este é o número representa a raiz quadrada que você está procurando!

12.75.99 | 357.......
-------- | ----------
.9...... | 65x5 = 325
-------- | 707x7=4949
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |
....4949 |
-------- |
.....150 |

25.

Observamos que o número BFJ=357 é o maior número inteiro positivo que elevado ao quadrado ainda é menor do que 127599, mas podemos melhorar a precisão do cálculo para a raiz quadrada, obtendo o próximo número decimal após BFJ.
26.

Como zeros depois da vírgula não têm significado, podemos acrescentar uma "nova" classe C4=00 após a classe C3, com o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.

12.75.99,00 | 357,......
----------- | ----------
.9...... .. | 65x5 = 325
----------- | 707x7=4949
..375... .. |
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
.....150 .. |

27.

Baixamos a classe 00 até a linha contendo a diferença e realizamos a junção destes dois números. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.

12.75.99,00 | 357,......
----------- | ----------
.9...... .. | 65x5 = 325
----------- | 707x7=4949
..375... .. | 714
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |

28.

No canto inferior direito, em baixo dos dois produtos, pomos um algarismo N adequado (neste caso N=2, pois este é o maior algarismo que serve aos nossos propósitos), na frente de 2(BFJ) e formamos um produto como o que está indicado abaixo. Realizamos este último produto.

12.75.99,00 | 357,2.......
----------- | ------------
.9...... .. | 65 x 5 = 325
----------- | 707x7 = 4949
..375... .. | 7142x2=14284
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |

29.

Realizamos a diferença

12.75.99,00 | 357,2.......
----------- | ------------
.9...... .. | 65 x 5 = 325
----------- | 707x7 = 4949
..375... .. | 7142x2=14284
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |
......14284 |
----------- |
........716 |

30.

Podemos continuar o processo inserindo novas classes 00 para obter resultados mais precisos. Afirmamos então que, a raiz quadrada de 127.599 é aproximadamente igual a 357,21, pois:

(357,21)² ~ 127.598,9841

PRODUTOS NOTÁVEIS

PRODUTOS NOTÁVEIS

Observe as seguintes regras:

Quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo:

(x + 3y)2 = x2 + 6xy + 9y2

Quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo:

(a - b)2 = a2 – 2ab + b2

Produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplo:

(7 – am).(7 + am) = 49 – a2 m2

Cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(2a + 1)3 = 8a3 + 12a2 + 6a + 1

Cubo da diferença entre dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(2a - 1)3 = 8a3 - 12a2 + 6a - 1

Quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo terceiro termo, mais duas vezes o produto do segundo termo pelo terceiro termo.

Exemplo:

(a + b + 3)2 = a2 + b2 + 9 + 2ab +6a +6b



Diferença de potências (ordem 2)

a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)

Identidade de Fibonacci

(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²

Identidade de Platão

(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²

Identidade de Lagrange (4 termos)

(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²

Identidade de Lagrange (6 termos)

(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²

Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)

Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
Quadrado da soma de n termos.

Quadrado da soma de n termos

sendo que i

Exemplos:

(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)