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domingo, 5 de dezembro de 2010

Mais uma postagem Interessante !!!

A Equação de Torricelli e a Distância de Frenagem


O Brasil é um dos países recordistas em acidentes automobilísticos e há várias razões para isso, tais como a falta de manutenção do veículo, condições precárias das rodovias e a principal, talvez seja a imprudência dos motoristas, fazendo ultrapassagens indevidas ou dirigindo em alta velocidade.

Estudos mostram que a parada de um veículo depende de três fatores:

i) Tempo de percepção da necessidade de frear;

ii) Tempo de reação;


iii) Distância de frenagem que por sua vez depende das condições do piso.

Em condições normais, o tempo de percepção é de [;1;] segundo e o tempo de reação é de [;0,75;] segundos. Sendo assim, a distância de parada é igual a distância de reação adicionada a distância de frenagem.

Neste post, analisaremos como podemos calcular a distância de frenagem de um veículo sabendo as condições do piso e sua velocidade ou inversamente, determinar a velocidade do veículo medindo o comprimento da frenagem deixada no piso. Esta última abordagem é muito utilizada por peritos da polícia para analisar acidentes automobilísticos.

Considere um veículo trafegando em uma pista horizontal cujo coeficiente de atrito seja igual a [;\mu;]. Na figura abaixo, temos um esquema da forças agindo sobre este automóvel.

Neste caso, a força normal [;\vec{N};]é oposta a força peso [;\vec{P};] do veículo. No caso de uma frenagem, a força de atrito é a única força que responsável pela parada do veículo. Da Física, sabemos que

[;F_{at} = \mu N = \mu m g;]

onde [;\vec{g};] é a aceleração da gravidade e [;m;] é a massa do veículo. Pela segunda lei de Newton, segue que

[;ma = - F_{at} \quad \Rightarrow \quad a = -\mu g;]

Sendo [;a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx};], temos

[;v\frac{dv}{dx} = -\mu g \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{v_0}vdv = -\mu g\int_{L}^{0}dx \quad \Rightarrow;]

[;\frac{v^2}{2}\biggr]_{0}^{v_0} = -\mu g x \biggr]_{L}^{0} \quad \Rightarrow \quad v_{0} = \sqrt{2\mu gL}\qquad (1);]

onde [;v_0;] é a velocidade inicial em que o veículo começou a frenagem e [;L;] é o tamanho de marcas ininterruptas deixadas pelos pneus travados pelos freios.

Adotando [;g = 9,8\ m/s^2;] e [;L;] em metros, a velocidade [;v_0;] em [;(1);] será dada em [;m/s;]. Na prática é usual avaliar a velocidade do veículo em [;km/h;], por isso iremos multiplicar esta expressão pelo fator de conversão [;3,6;], ou seja, [;1\ m/s = 3,6\ km/h;] para obter

[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\mu L} \qquad (km/h) \qquad (2);]

Observação 1: Preferi obter a fórmula [;(1);] usando integração, mas este processo é equivalente ao uso da fórmula de Torricelli [;v^2 = v_{0}^{2} + 2a\Delta s;].

Antes de aplicar a expressão [;(2);], vejamos a tabela de alguns coeficientes de atrito ([;\mu;]) em diferentes tipos de pisos nas condições de seca ou molhada.


Exemplo 1: Em um teste para uma revista automotiva, um motorista conduz um veículo sobre uma superfície seca de concreto novo. Em certo momento, o motorista aciona os freios, bloqueando as rodas até a parada total do veículo, deixando uma marca de [;17\ m;] de comprimento. Qual é a velocidade aproximada com que o veículo trafegava no momento em que os freios foram acionados?

Resolução: Como o veículo está numa pista de concreto novo, pela tabela acima vemos que [;\mu = 0,84;]. Sendo [;L = 17\ m;], então pela fórmula [;(1);], segue que

[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,84\cdot 17} \simeq 60\ km/h;]

Exemplo 2: Sob intensa chuva, um motorista conduz, a [;144\ km/h;], um veículo por uma rodovia de asfalto já bastante trafegado. Num trecho da reta, após perceber a presença de uma árvore caída sobre a rodovia, impedindo a passagem de qualquer veículo, ele reage e aciona os freios, travando as rodas até a parada completa do veículo. Exatamente no momento em que as rodas são travadas, o veículo está a [;140\ m;] da árvore. Se o carro continuar sua trajetória em linha reta, com as rodas bloqueadas, o motorista irá colidir com a árvore?

Resolução: Trata-se de uma pista asfáltica trafegada, de modo que [;\mu = 0,53;]. Sendo [;v_0 = 144\ km/h;], então da expressão [;(1);], temos

[;144 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,53\cdot L} \quad \Rightarrow \quad L = 154\ m;]

Como o veículo estava a [;140\ m;] da árvore no momento da freada, concluímos que o carro irá colidir com ela.

Observação 2: Podemos determinar o coeficiente de atrito [;\mu;] de uma pista se soubermos a velocidade inicial [;v_0;] antes da frenagem e também o comprimento [;L;] da marca de frenagem.


Fonte :http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Referência Bibliográfica:

- Prova da Fase Final. XXIV Olímpiada Paulista de Matemática. 2000.

domingo, 28 de novembro de 2010

Destaques da Obmep


E.E. Helena Guerra


BARBARA ISABELA DA SILVA CAMPOS - Medalha de Prata

JULIO VICTOR LEMOS PRADO FONSECA - Medalha de Prata


Menção Honrosa

ANA CAROLINA VASCONCELOS SALLES
ARTHUR DE CARVALHO VIEIRA
HENZO ALVES FERNANDES
MAISA CAROLINE BARBOSA NICOMEDES
PEDRO EMANUEL DE PAULA CARVALHO
POLLYANE CHRISTINE A DE S NUNES
RAIANE ALVES DE MATOS
SAMIRA GONÇALVES DE OLIVEIRA
STEPHANY FERNANDES RIBEIRO
CAMILLA GOMES PEREIRA
CAMILA MARCAL CAVALCANTE
IGOR MESSIAS ROSA CANDIDO
LOHANA CAPANEMA QUEIROZ
LUANA YASMIN SILVA DE MOURA
LUCAS FELIPE SALES SOBREIRA
YURI MAIA DINIZ DE FARIAS
CARLOS HENRIQUE ALMEIDA OLIVEIRA
KEZIA AFONSO DOS SANTOS
PEDRO JUNIO DA SILVA RODRIGUES


E.E. Pandiá Calógeras

NILTON FERREIRA GUIMARÃES FILHO - Medalha de Ouro

VICTOR TONHOLLI BATISTA - Medalha de Prata

Menção Honrosa

FERNANDO VILACA CARDOSO
JOANNA ARCO VERDE FERNANDES
KEREN CARVALHO GUIMARÃES VIEIRA
LUCAS OLIVEIRA MACHADO DE SOUSA
LUIS HENRIQUE ANDRADE SILVA
RAUL DE CASTRO LUSTOSA
WILLIANE TAVARES PASSONI
CAIO HENRIQUE ALVES MOREIRA
HURIEL FELIPE SILVA E SOUZA
NATHAN GOMES PEREIRA DO NASCIMENTO
RAQUEL SILVA DE OLIEIRA MELK
ROBERTA GONÇALVES NETO
THALES ROCHA TOLENTINO FERNANDES


Parabéns aos alunos, colegas professores . direção e pais pela dedicação na formação matemática dos alunos .


PARABÉNS !!!

COMO ESTUDAR MATEMÁTICA ?

Veremos neste post algumas dicas muito úteis para todos os alunos que desejam estudar Matemática, sendo que este roteiro serve também para as outras áreas do conhecimento.

Dicas Gerais:

[;1);] Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.

[;2);] Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.

[;3);] Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.

[;4);] Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.

[;5);] Confira sempre as anotações.

[;6);] Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.

[;7);] Confira se está tudo de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.

Como estudar Matemática durante as aulas:

[;1);] Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.

[;2);] Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.

[;3);] Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.

[;4);] Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.

Como estudar Matemática em casa:

[;1);] Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.

[;2);] Estude refazendo os exercícios dados em aula.

[;3);] Se errar procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.

[;4);] Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.

[;5);] Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.

Fonte: http://www.mundovestibular.com.br/
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/11/como-estudar-matematica.html?utm_source=feedburner&utm_medium=feed&utm_campaign=Feed%3A+FatosMatematicos+%28Fatos+Matem%C3%A1ticos%29