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segunda-feira, 7 de setembro de 2009

A solução de um sistema de equações do 1º grau

A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o par ordenado que satisfaz, ao mesmo tempo, as duas equações.

Observe o exemplo:

Soluções da equação x + y = 7 (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); etc.
Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1,5); (3,4); (5,3); (7,2); etc.

O par ordenado (3,4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas equações.
Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas será o par ordenado (3,4).



Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes às duas equações.

Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Sistema de equações


Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6,4).

O trapézio

Podemos definimos o trapézio como um quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos é igual a 360º. O trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. O trapézio pode se classificar em:

Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos ( 90º).

Trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais.

Trapézio escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos diferentes.


Cálculo da área de uma região limitada por um trapézio

Consideremos um trapézio qualquer, traçando uma de suas diagonais, podemos dividi-lo em duas regiões triangulares de altura h e bases B e b.

Temos que a área de uma região triangular é dada por A = (b x h) / 2, então a área do trapézio será:

“Base maior mais base menor, multiplicado pela altura, dividido por dois.”

Exemplo 1
Calcule a área da seguinte região:

Exemplo 2
Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m2 é de R$ 42,00.


Preço do lote:
210 x 42
R$ 8.820,00

O teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

O oposto, o conjugado e a igualdade

Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.

Oposto

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.

Conjugado

Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:



Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

Igualdade

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.


Observações:

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.

O conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.


Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1


Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto
- z = 2 - 6i

Conjugado


Oposto do conjugado



Exemplo 2

Determine a e b de modo que .

Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = 9