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quarta-feira, 30 de setembro de 2009

Problemas com Frações

Existem problemas matemáticos que na sua resolução utilizamos equações, expressões numéricas, iremos trabalhar agora com problemas que envolvem frações. Perceberemos como aplicar a noção de inteiros e parte desses inteiros quando eles assumirem valores reais.

Veja alguns exemplos e as explicações passo a passo de como encontrar a solução desse tipo de problema e de como a fração pode ser encontrada em situações problemas.

Exemplo 1:

Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?

Resolução:
Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 meses do ano ele trabalhou 7 meses. A fração que corresponde ao tempo que ele trabalhou é . Como a situação problema

informou que o valor recebido no 13º salário é a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever que ele irá receber do salário normal. Como o salário dele é 516

reais, para descobrir quanto ele irá receber no 13º salário devemos encontrar:
de 516, então 516 : 12 = 43 e 43 x 7 = 301.

Portanto, o salário que o trabalhador irá receber no seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 meses trabalhados durante o ano.

Exemplo 2:

João Carlos é operário e seu salário é apenas 520 reais por mês. Gasta com aluguel

e com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: do seu salário

foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?

Resolução:
Para saber se o salário de João Carlos foi suficiente para pagar todas as suas despesas é preciso encontrar o valor que ele gastou com o pagamento do aluguel, com a alimentação e com os remédios. Então, veja:
1 de 520 = 520 : 4 x 1 = 130.
4

2 de 520 = 520 : 5 x 2 = 104 x 2 = 208
5

3 de 520 = 520 : 8 x 3 = 195.
8

Concluímos que ele gastou com essas despesas um total de 130+208+195 = 533 reais. Portanto, não sobrou nada de seu salário, pelo contrário, ele ficou devendo, pois suas despesas foram 13 reais a mais que seu salário.

terça-feira, 29 de setembro de 2009

Geronimo Cardano

Geronimo Cardano nasceu em Pavia (Lombardia, Itália) a 24 de Setembro de 1501. Cardano era filho ilegítimo (legitimado em 1524) de Clara Micheri e do jurista e doutor matemático milanês Fazio, amigo de Leonardo da Vinci.

Cresceu no meio de maus tratos, de doenças e de muitas infelicidades; apesar disso, mostrou uma extraordinária precocidade para os estudos: era já célebre como astrólogo e mago, antes de ter dado provas da sua invulgar aptidão para o estudo das ciências naturais e da Matemática.

Em 1526, depois de ter obtido o título de doutor em Medicina na Universidade de Pádua , começou imediatamente a exercer a sua actividade de médico em Siccolongo e, mais tarde, em Pádua. Em 1534 obteve a cadeira de Matemática em Milão, mas continuou a estudar Medicina, misturada com práticas de astrologia e de magia. A sua cultura enciclopédica e a sua poderosa inteligência, se bem que aliada a sua infantilidade, permitiram-lhe escrever sobre os assuntos mais diversos.

Cardano apercebendo-se do que Nicolò Tartaglia conhecia a regra de resolução das equações de 3ºgrau, conseguiu ser dela informado sob a promessa formal de a não divulgar. Quando se apercebeu de que o bolonhês Scipião Del Ferro tinha já anteriormente descoberto a fórmula, considerou-se desligado do juramento, divulgando então a descoberta na obra Grande Arte ou as Regras Algébricas. Com este incidente ganhou em Tartaglia um inimigo mortal, cujos escritos muito contribuíram para espalhar a lenda de um Cardano desonesto e corrompido.

Em 1560 um golpe terrível atingiu-o: o filho mais velho, acusado de ter morto a mulher, foi executado em Pavia. Em 1570 o tribunal de Inquisição encarcerou-o sobre a acusação de ter tirado o horóscopo de Jesus Cristo, sendo libertado, foi todavia impedido de fazer conferências.Em 1571 estabeleceu-se em Roma, entrou nas boas graças do Papa e obtevedele uma renda vitalícia que conservou até à morte. Geronimo Cardano faleceu em Roma a 21 de Setembro de 1576

quarta-feira, 16 de setembro de 2009

QUADRILATERO

O QUE SÃO QUADRILÁTEROS?

Quadrilátero é a figura constituída por quatro pontos do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os unem. Para afastar, desde já, o caso do quadrilátero achatado, supõe-se que dos quatro pontos não há três que sejam colineares.

Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de reta que unem dois vértices opostos.

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°.

Quadriláteros do dia-a-dia:

Mesas, portas, janelas, paredes, livros, caixas, cédulas e outros tantos objetos que têm formato retangular estão ao alcance da vista e das mãos das pessoas.

Classificação de quadriláteros

Os quadriláteros podem ser considerados Trapézios ou Não Trapézios. O seguinte esquema ilustra a classifição dos diferentes tipos de quadriláteros.

Classificação de Quadriláteros.

Classificação de Quadriláteros.

Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de trapézios.

Tipos de trapézios
Tipos de Trapézios
  • Trapézio Isósceles: Os lados opostos paralelos são de comprimentos diferentes, os lados opostos não paralelos são congruentes, e apresenta um eixo de simetria;
  • Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°, e não tem um eixo de simetria;
  • Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes, e os lados opostos não paralelos não são congruentes.

Paralelogramos

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo. Um paralelogramo apresenta as seguintes características:

  • A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
  • As diagonais cortam-se no ponto médio;
  • Os lados opostos são congruentes;
  • Os ângulos opostos são congruentes.
Tipos de Paralelogramos.

Tipos de Paralelogramos.

Tipos de Paralelogramos
  • Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
  • Rectângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si;
  • Losango: Todos os lados são iguais entre si;

Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si.As diagonais cruzam-se no ponto médio.

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

Paralelogramo

Lados opostos congruentes

ângulos opostos congruentes

Diagonais que se cortam ao meio

Retângulo

Todos os ângulos congruentes

Diagonais congruentes

Losango

Todos os lados congruentes

Diagonais perpendiculares

Diagonais bissetriz dos ângulos internos

Quadrado


EXISTEM 6 QUADRILÁTEROS NESTE CUBO





segunda-feira, 7 de setembro de 2009

A solução de um sistema de equações do 1º grau

A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o par ordenado que satisfaz, ao mesmo tempo, as duas equações.

Observe o exemplo:

Soluções da equação x + y = 7 (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); etc.
Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1,5); (3,4); (5,3); (7,2); etc.

O par ordenado (3,4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas equações.
Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas será o par ordenado (3,4).



Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes às duas equações.

Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

x notas de 20 reais y notas de 5 reais

Sistema de equações


Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6,4).

O trapézio

Podemos definimos o trapézio como um quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos é igual a 360º. O trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. O trapézio pode se classificar em:

Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos ( 90º).

Trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais.

Trapézio escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos diferentes.


Cálculo da área de uma região limitada por um trapézio

Consideremos um trapézio qualquer, traçando uma de suas diagonais, podemos dividi-lo em duas regiões triangulares de altura h e bases B e b.

Temos que a área de uma região triangular é dada por A = (b x h) / 2, então a área do trapézio será:

“Base maior mais base menor, multiplicado pela altura, dividido por dois.”

Exemplo 1
Calcule a área da seguinte região:

Exemplo 2
Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m2 é de R$ 42,00.


Preço do lote:
210 x 42
R$ 8.820,00

O teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
32 + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)5 – 2*(1)4 + (1)3 + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x4 – mx3 + 5x2 + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3
24 – m*23 + 5*22 + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x3 + x2 – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)3 + (–1/2)2 – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

O oposto, o conjugado e a igualdade

Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.

Oposto

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.

Conjugado

Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:



Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

Igualdade

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.


Observações:

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.

O conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.


Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1


Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto
- z = 2 - 6i

Conjugado


Oposto do conjugado



Exemplo 2

Determine a e b de modo que .

Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = 9