CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:

* Se L <> ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO

TESTE	SÉRIE	CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA	COMENTÁRIOS
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO		DIVERGE se	Nada se pode afirmar se
SÉRIE GEOMÉTRICA		* CONVERGE e tem soma se | r | <>* DIVERGE se | r | 1	Útil para testes de comparação
SÉRIE-P		* CONVERGE se p > 1 * DIVERGE se p 1	Útil para testes de comparação
da COMPARAÇÃO no limite	e an > 0, bn > 0	* Se , , então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM. * Se e CONVERGE, então CONVERGE. * Se e DIVERGE, então DIVERGE.	A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p. Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.
de LEIBNIZ	ALTERNADA an > 0	CONVERGE se: * * A série dos módulos é decrescente.	Aplicável somente a séries alternadas. Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.

SÉRIE-P

SÉRIE-P

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p1

Se p = 1, a série

é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

ou

Séries de potência de (x-c):

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a₀.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

TEOREMA

TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA Dada a série , diverge.

SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO: com a0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

A série geométrica

Converge e tem soma se | r | <>

Diverge se | r | 1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam e duas séries de termos positivos. Então:

* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se e se converge, então também converge.

* Se e se diverge, então também diverge.

OBS: Se a_n é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de b_n somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.