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domingo, 29 de agosto de 2010

Apótema

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.

No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:



a² + 2² = 4²
a² + 4 = 16
a² = 16 – 4
a² = 12
√a² = √12
a = 2√3 cm


Exemplo 2

Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm.

Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:

Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).

tg 45º = 5/a
1 = 5/a
a = 5 cm

Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras:

r² = a² + 5²
r² = 5² + 5²
r² = 25 + 25
r² = 50
√r² = √50
r = 5√2 cm

Exemplo 3

Determine a medida do apótema da pirâmide a seguir, sabendo que sua altura mede 4,8 cm e o apótema da base mede 3,6 cm.

Resolução:
O apótema de uma pirâmide é o segmento que parte do vértice até a base da lateral, formando um ângulo reto, isto é, a medida da altura da face lateral.

a² = 3,6² + 4,8²
a² = 12,96 + 23,04
a² = 36
√a² = √36
a = 6 cm

domingo, 22 de agosto de 2010

GRANDES MATEMÁTICOS

John Von Neumann

(1903-1957)
John von Neumann foi um dos matemático mais notáveis de nossos tempos. Como tantos outros matemáticos ele prestou contribuições importantes tanto à ciência quanto à matemática. Von Neumann se sentia particularmente fascinado pelos jogos de estratégia e de acaso. Assim, não é de se surpreender, que fosse ele uma das pessoas que abrisse o novo campo da matemática chamado teoria dos jogos. Empregando as probabilidades envolvidas em um jogo de acaso e trabalhando com estratégias que produzem “vencedores” em jogos de tomar decisões, a teoria dos jogos de Von Neumann pode solucionar problemas de economia, de ciência e de estratégia militar.
Von Neumann nasceu em Budapeste, na Hungria. Aos seis anos era capaz de resolver mentalmente problemas de divisão como 78.463.215 ¸ 49.673.235. Por volta dos oito anos, obteve seu diploma de cálculo na faculdade e como brincadeira podia memorizar, apenas olhando, os nomes, os endereços e números de telefone de uma coluna em uma lista telefônica. Com apenas 23 anos escreveu um livro chamado Os fundamentos matemáticos da mecânica quântica, utilizado no desenvolvimento da energia atômica.
Em 1930, von Newman foi para os Estados Unidos assumir o cargo de professor de física matemática na Universidade de Princeton. Tornou-se interessado no uso de computadores de grande escala e construiu um dos primeiros cérebros eletrônicos modernos, chamado MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Como conselheiro do governo americano na 2ª Guerra Mundial, exerceu influência, exerceu influência no projeto de armas e mísseis nucleares.
Von Neumann tinha muitos interesses intelectuais, mas seu maior divertimento era resolver problemas. Algumas vezes, enquanto viajava, ele se envolvia de tal forma com um problema que tinha de telefonar a sua esposa para descobrir por que tinha feito aquela viagem.

(www.netescola.pr.gov.br)

sábado, 21 de agosto de 2010

Desafio alunos do Pándia


Quando o aluno perguntou a hora, interrompendo a aula, a professora respondeu que, se ele somasse um quarto do tempo decorrido entre meia–noite e aquele à metade do tempo que faltava para a meia-noite seguinte, teria a resposta. Qual era a hora certa?

R: A hora certa é de fato o tempo decorrido desde a meia-noite.
Chamando-a de t, um quarto dela é t/4 e o que falta para meia-noite seguinte é 24-t. Metade disso dá (24-t)/2 . Com isso, temos:
t/4+(24-t)/2=t

t = 9,6 horas
t = 9 h36m

Desafio alunos do Helena Guerra




Um sapo sobe uma escada saltando de um em um ou de dois em dois degraus, mas não consegue saltar de três em três. A escada possui dez degraus e obrigatoriamente o sapo pára no sexto degrau para descansar. De quantas maneiras diferentes o sapo pode subir até o topo dessa escada?

Para chegar até o sexto degrau o sapo pode saltar de diferentes maneiras :

a) 1 1 1 1 1 1
b) 2 2 2
c) 2 1 1 1 1
d) 1 2 1 1 1
e) 1 1 2 1 1
f) 1 1 1 2 1
g) 1 1 1 1 2
h) 2 2 1 1
i) 2 1 2 1
j) 2 1 1 2
k) 1 1 2 2
l) 1 2 1 2
m) 1 2 2 1

Para subir os quatro degraus restantes ele pode saltar assim:

a) 1 1 1 1
b) 2 2
c) 2 1 1
d) 1 2 1
e) 1 1 2

Se para cada uma das maneiras de chegar ao descanso o sapo tem cinco possibilidades de chegar ao topo da escada, você já pode dizer de quantas maneiras diferentes ele pode subir a escada: Pode subir a escada de 65 maneiras diferentes.





sábado, 14 de agosto de 2010

Desafio

O Pedro e Jorge estão vendo um livro com muitas páginas. Começando na página 1 , o Jorge passa duas folhas e fica a ver as páginas 4 e 5 e . A seguir, Pedro passa uma folha e vê as página 6 e 7 e. Depois o Jorge passa novamente duas folhas, Pedro torna a passar uma, e assim sucessivamente. Qual dos dois amigos vê a página 2008?


Resposta :


Se entendi corretamente o texto (porque da 1 para a 4 são passadas 3 folhas — isso, considerando que Pedro passa apenas uma folha da 5 para a 6...), a resolução seria assim:

Jorge — 4,5 - 10,11 - 16,17 - ...
Pedro — 6,7 - 12,13 - 18,19 - ...

São ambas P.A.'s de razão igual a 6; a primeira iniciando em 4 e a outra em 6:

an(J) = 4 + (n-1)*6 = 2008
4 + 6n - 6 = 2008
6n = 2008 - 4 + 6 = 2010
n = 2010/6 = 335

an(P) = 6 + (n-1)*6 = 2008
6 + 6n - 6 = 2008
6n = 2008
n = 2008/6 = 334,666...

Resposta: Quem vê a página 2008 é o Jorge.