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segunda-feira, 1 de fevereiro de 2010

O somatório

Somatório: um conceito importante

Calcule o valor da soma S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1.

Solução:

Na soma acima, observe que o termo de ordem n (n-ésimo termo ou enésimo termo) é igual a
n.(n + 1)

Seja Ti um termo qualquer da soma acima. Podemos escrever Ti = i.(i + 1) = i2 + i
Com efeito, por exemplo o 5º termo é igual a 5.6 ou seja, T5 = 5.(5+1) = 5.6
O sexto termo é igual a 6.7, ou seja T6 = 6.(6 + 1) = 6.7 e assim sucessivamente.

Para facilitar a resolução da questão, vamos usar a notação de somatório. Antes porém, vamos revisar a notação de somatório.

Seja a soma p1 + p2 + p3 + p4 + ... + pn . Observe que um termo qualquer desta soma poderia ser representado por pi onde i = 1, 2, 3, ... , n.

A notação de somatório permite simplificar a exibição da soma acima, utilizando como símbolo, a letra grega maiúscula sigma (S) da seguinte forma:



que lê-se: somatório de todos os pi com i variando de 1 a n.

De modo inverso, poderemos desenvolver um somatório. Veja o exemplo:
a)


b)


c)


Uma propriedade importante dos somatórios é a seguinte:


ou seja: o somatório de uma soma é igual à soma dos somatórios.

Usando a nova simbologia introduzida acima, poderemos escrever a soma
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1 ou,
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n2 + n para n ³ 1
na seguinte forma de somatório:



onde i = 1, 2, 3, ... , n, pois já vimos acima que sendo Ti um termo qualquer da soma que desejamos calcular, podemos escrever Ti = i.(i + 1) = i2 + i.

Então, a soma procurada S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + (n2 + n) pode ser decomposta na forma:

S = (12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

Ora, o valor da primeira parcela 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 , eu já calculei no arquivo Uma soma de quadrados (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) e é igual a:

12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = [n(n+1)(2n+1)]/6

A segunda parcela 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma PA (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) de primeiro termo 1 e último termo n,
cujo resultado é [(1 + n).n] / 2.

Substituindo, fica:

S = (12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) =
= [n(n+1)(2n+1)]/6 + [(1 + n).n] / 2

Efetuando as operações indicadas, vem:

[(n2 + n)(2n+1)] / 6 + (n + n2) / 2 = [(2n3 + n2 + 2n2 + n) / 6] + (n2 + n) / 2 =
= [(2n3 + n2 + 2n2 + n) / 6] + (3n2 + 3n) / 6 =
= [(2n3 + 6n2 + 4n) / 6
Dividindo tudo por 2, vem, finalmente:

S = (n3 + 3n2 + 2n) / 3

Portanto, chegamos à brilhante conclusão:



Assim, por exemplo, se n = 4 (tomando os quatro primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 = (43 + 3.42 + 2.4) / 3 = 120 / 3 = 40.

Assim, por exemplo, se n = 5 (tomando os cinco primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 = (53 + 3.52 + 2.5) / 3 = 210/3 = 70.
E assim sucessivamente.

Uma outra conclusão brilhante que podemos tirar do exercício acima é que, para todo n inteiro maior ou igual a 1, o trinômio n3 + 3n2 + 2n será sempre um número divisível por 3.

Isto nos leva a afirmar por exemplo que o número (gigantesco)
1000003 + 3.1000002 + 2.100000 é divisível por 3, entre outros infinitos exemplos que poderiam ser apresentados.

Equações Biquadradas

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo 1:

Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.

x2 = y

x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0

y2 – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x2 = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

Exemplo 2:

Resolva a equação x4 – 5x2 + 10 = 0

Substituindo a incógnita x2 por y.

x2 = y

y2 – 5y + 10 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆ será negativo, assim a solução será vazia.

Fonte : mundo da Educação.

Equações do Segundo grau.


Fórmula de Bhaskara




Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:




1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo



Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.


Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0






No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.


Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.