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sexta-feira, 16 de novembro de 2012

Postagem interessante !!!

O uso das figuras geométricas em questões algébricas


O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais.

A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a emprega-la sempre que possível na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
4ab + (a – b)² = (a + b)²

Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações geometricamente.

Por exemplo, o produto “ab” era visto como um retângulo de base “a” e altura “b”. Assim a identidade (a + b)² = a² + 2ab + b² era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:
e enunciada da seguinte maneira:

“Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm”.

Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação.


Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de ABDE, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas a² e b² (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são dois retângulos de área “ab” (em verde).

Essa proposição (4) é representativa da forma como os problemas que envolvem álgebra eram concebidos e apresentados. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.  


FONTE : http://romirys.blogspot.com.br/2012/10/o-uso-das-figuras-geometricas-em.html

FRACÕES ALGÉBRICAS







FONTE : http://www.auladoguto.com.br

sexta-feira, 5 de outubro de 2012

Piadas Matemáticas


O estudante, cansado de assistir aulas de Matemática, levanta a mão e confronta o professor:
- Eu acho que a gente nunca vai usar essas coisas na vida real.
O professor sorri e responde:
- É verdade, especialmente se a sua vida real não for nada mais que servir café na lanchonete.


Geometria Analítica: Circunferência Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Geometria Analítica: Circunferência
Fonte:http://www.somatematica.com.br/
   
Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
Fonte:http://www.somatematica.com.br/
   
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação
 ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :
    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Fonte: http://www.somatematica.com.br/
   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
  • os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1;
  • não deve existir o termo xy.
   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
  • 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
  • 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
  • 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
  • 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
   Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2:
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 =    0, então P pertence à circunferência;
  • se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
Fonte:  http://www.somatematica.com.br/
 
Equações da circunferência
Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
    Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .

Equação geral
   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
   A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:




Circunferência

sexta-feira, 31 de agosto de 2012

domingo, 12 de agosto de 2012

Operações com Monômios Parte II

Agradecimentos ao site : http://www.auladoguto.com.br/ que tem ótimos videos de matemática .

quinta-feira, 2 de agosto de 2012

Operações com Monômios

Agradecimentos ao site : http://www.auladoguto.com.br/ que tem ótimos videos de matemática .

terça-feira, 10 de abril de 2012

Curiosidade sobre o numero 7

O porque do traço no número 7

figura13
Até os dias de hoje, muita gente, quando escreve o numero 7, ainda coloca um pequeno tracinho no número. Oficialmente, este pequeno traço não existe, como dá para constatar, digitando a tecla 7 do teclado do seu computador, calculadora ou qualquer outro aparelho que possua teclado.
Vocês sabem a origem deste costume?
Para responder, temos que voltar muitos séculos atrás, aos tempos bíblicos, quando Moisés estava no Monte Sinai e lhe foram ditados os 10 mandamentos. Em voz alta, ele foi anunciando à multidão, um por um.
Quando chegou no Sétimo Mandamento, Moisés disse:
_ Não desejarás a mulher do próximo…!
Um breve silêncio… E a multidão rompeu, gritando:
_ Risca o sete… risca o sete…! huahauhauahuahuahua
*****************
Agora sem piadinha…  A origem verdadeira é por causa da quantidade de ângulos. Os chamados números arábicos foram na verdade inventados pelos fenícios, mas os árabes que popularizaram eles.  Todos os números arábicos têm relação com a quantidade de ângulos que eles representam.
Update:
Agora eu entendi a explicação acima. Veja a imagem e entenda-a:
imagem1rg4
O número corresponde com a quantidade de ângulos… sakou?


terça-feira, 3 de abril de 2012

RAZÕES E PROPORÇÕES




Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.

Exemplificando: Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.

Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2. Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”? A tabelinha abaixo pode nos ajudar: Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina. As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19. Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 ) A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.

Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios Isto é: 950 x 2 = 380 x 5 E a fração, como é que fica nessa historinha? Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números. Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos. A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.

Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos. Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2 Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições: Fração é uma divisão entre dois números Razão é uma comparação entre duas grandezas Proporção é a igualdade entre duas razões

Fonte : http://matematicamania.wordpress.com/category/razao-e-proporcao/

segunda-feira, 19 de março de 2012

UMA BRILHANTE PARÁBOLA!!!

Aula de Administração
                              Adrian Rogers, 1931          
                                                                               
Um professor de economia na universidade Texas Tech disse que ele nunca reprovou um só aluno antes, mas tinha, uma vez, reprovado uma classe inteira.

Esta classe em particular tinha insistido que o socialismo realmente funcionava: ninguém seria pobre e ninguém seria rico, tudo seria igualitário e 'justo. '

O professor então disse, "Ok, vamos fazer um experimento socialista nesta classe. Ao invés de dinheiro, usaremos suas notas nas provas."

Todas as notas seriam concedidas com base na média da classe, e portanto seriam 'justas. ' Isso quis dizer que todos receberiam as mesmas notas, o que significou que ninguém seria reprovado. Isso também quis dizer, claro, que ninguém receberia um "A"...

Depois que a média das primeiras provas foram tiradas, todos receberam "B". Quem estudou com dedicação ficou indignado, mas os alunos que não se esforçaram ficaram muito felizes com o resultado.

Quando a segunda prova foi aplicada, os preguiçosos estudaram ainda menos - eles esperavam tirar notas boas de qualquer forma. Aqueles que tinham estudado bastante no início resolveram que eles também se aproveitariam do trem da alegria das notas. Portanto, agindo contra suas tendências, eles copiaram os hábitos dos preguiçosos. Como um resultado, a segunda média das provas foi "D".

Ninguém gostou.

Depois da terceira prova, a média geral foi um "F".

As notas não voltaram a patamares mais altos mas as desavenças entre os alunos, buscas por culpados e palavrões passaram a fazer parte da atmosfera das aulas daquela classe. A busca por 'justiça' dos alunos tinha sido a principal causa das reclamações, inimizades e senso de injustiça que passaram a fazer parte daquela turma. No final das contas, ninguém queria mais estudar para beneficiar o resto da sala. Portanto, todos os alunos repetiram o ano... Para sua total surpresa.

O professor explicou que o experimento socialista tinha falhado porque ele foi baseado no menor esforço possível da parte de seus participantes.
Preguiça e mágoas foi seu resultado. Sempre haveria fracasso na situação a partir da qual o experimento tinha começado.

"Quando a recompensa é grande", ele disse, "o esforço pelo sucesso é grande, pelo menos para alguns de nós.
Mas quando o governo elimina todas as recompensas ao tirar coisas dos outros sem seu consentimento para dar a outros que não batalharam por elas, então o fracasso é inevitável."

"É impossível levar o pobre à prosperidade através de legislações que punem os ricos pela prosperidade.
Para cada pessoa que recebe sem trabalhar, outra pessoa deve trabalhar sem receber.
O governo não pode dar para alguém aquilo que não tira de outro alguém.
Quando metade da população entende a idéia de que não precisa trabalhar, pois a outra metade da população irá sustentá-la, e quando esta outra metade entende que não vale mais a pena trabalhar para sustentar a primeira metade, então chegamos ao começo do fim de uma nação.
É impossível multiplicar riqueza dividindo-a."


                    Adrian Rogers, 1931

terça-feira, 13 de março de 2012

Alunos EEHG

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 


Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e tinham como finalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam.
O conjunto dos números inteiros positivos recebe o nome de conjunto dos números naturais. Sendo ele:
={0,1,2,3,4,5,6…}
Enquanto que o conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos, constituindo o seguinte conjunto:
={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

Potências Estudadas !!!


sábado, 10 de março de 2012

Alunos EEHG

Não se esqueça de colocar seu nome e turma nos comentários (resposta) 
Abraços !!
Betão

Esta atividade não e avaliativa !!!

Desafio I Alunos 801-802-803-804

Procurando idades


Dona Luiza tem 42 anos. A  sua idade junto com as idades de seus dois filhos gemeos, é de 66 anos. Qual é a idade de cada um dos seus filhos ?

Desafio II Alunos 801-802-803-804

Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as paginas de um livro de 99 paginas ?

Desafio II Alunos 801-802-803-804

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os..

sexta-feira, 3 de fevereiro de 2012

Logaritmo

Você deve ter estudado os tópicos "Aritmética Básica" e "Exponenciais" antes de começar por aqui.

Este tópico vem após exponenciais pois é usado como a "volta" da exponencial. Veja só:

Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer uma pergunta:

- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25?

Você deve estar pensando:
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!

Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos começar de baixo.

O logaritmo serve para isso!

Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma:

Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.

Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:

Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:

log1.gif (4575 bytes)

No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2.

Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura acima está escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE.

Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção de logaritmo (hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora):

Logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual devemos elevar a base b para obtermos N.

Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escrito acima dela para ir ao próximo capítulo de estudo.

Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer para termos um logaritmo.


Fonte : http://www.matematica.tv/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_01_introducao_definicao.php