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domingo, 29 de março de 2009

Introdução ao cálculo algébrico

Introdução ao cálculo algébrico



Introdução

A Álgebra nos ajuda em muitas coisas, com e

la podemos generalizar situações. No estudo da álgebra usamos constantemente letras representando números: elas apenas representam, não quer dizer que são números. Poderíamos muito bem usar quadradinhos, palavras, um desenho qualquer. Mas é mais simples usar as letras, por diversos motivos: todo mundo as conhece, todos sabem escrevê-las, é fácil ler e podemos usar várias delas, sem precisar ficar criando mais e mais símbolos para representar números diferentes. É muito melhor usar letras, do que qualquer outro símbolo. Universalmente, são usadas na matemática. Uma que comumente representa um número desconhe

cido, uma incógnita, é a letra x. O “x” da questão! Como algumas vezes precisamos de mais números, usamos mais letras, como y, z, etc. Convenciona-se usar as últimas letras do alfabeto, mas você pode usar qualquer uma em seus cálculos e rascunhos.

Generalizando uma fórmula

Vamos calcular o perímetro do quadrado. Se você não sabe, perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Supomos um quadrado com 6 cm de lado:

Imagine que precisamos passar uma fita em volta de uma caixinha quadrada, de 6 cm de lado. Quantos cm de fita precisaremos? Isso depende da medida do lado da caixinha. Vejamos...

No exemplo, o lado do quadrado tem 6 cm. Para cobrirmos um lado, usaremos 6 cm de fita. Como o quadrado tem 4 lados, é claro que usaremos 4 vezes a quantidade necessária para preencher apenas um lado. Veja:

6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6 = 24

Então usaremos 2

4 cm de fita (não consideramos aqui o que na prática ficaria sobreposto ou usado para colar a fita).

Geometricamente, dizemos que o perímetro desse quadrado é 24 cm.

E se o quadrado tivesse 15 cm de lado?

Seriam: 15 × 4 = 60

60 cm de fita.

É possível escrever uma fórmula, baseada no que se observou. O perímetro do quadrado é sempre 4 vezes a medida de um dos seus lados. Se o lado mede 1 unidade de medida, o perímetro vai ser 4 × 1 = 4. Se o lado mede 12, o perímetro mede 4 × 12 = 48, e assim por diante.

Vamos supor que não sabemos quanto mede o lado do quadrado. Vamos então indicar o lado pela letra l (l de “lado”, apenas como referência, mas poderia ser qualquer outra). Veja:

Mesmo sem saber quanto vale l, pode-se concluir que o perímetro é 4 × l:

l + l + l + l

Podemos escrever:

PQ = 4l

Onde PQ é o “perímetro do quadrado”, e l é a medida do lado. A expressão PQ = 4l é uma fórmula, no caso a fórmula do perímetro do quadrado: com ela podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado, substituindo a letra l pela medida do lado e fazendo os cálculos.

Como o uso de fórmulas e expressões com números e letras é freqüente na matemática, para facilitar não indicamos o sinal de multiplicação entre um número e uma letra:

PQ = 4l quer dizer PQ = 4 × l, ou seja, 4 vezes l. Leia da mesma forma, “quatro vezes éle” ou “quatro éle”

Sempre ao ver um número “encostado” numa letra indica que se trata de uma multiplicação, o sinal da multiplicação fica então subentendido, apenas para simplificação. Isso é usado na matemática, você verá em livros e no vestibular, testes, etc., mas se não quiser usar no seu dia-a-dia é claro que não precisa. Pode colocar o sinal de vezes, sem problemas.

Agora com a fórmula PQ = 4l podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado. Por exemplo, qual é o perímetro de um quadrado de lado com 17 m?

Veja:

PQ = 4l

PQ = 4 . lado

PQ = 4 . 17

PQ = 68

A fórmula PQ = 4l vale para qualquer quadrado. Por isso dizemos que a Álgebra trabalha com generalização. Claro que esta fórmula é simples, ela é aplicada de forma praticamente automática. Mas e para calcular o comprimento de circunferências, a altura de pirâmides, o volume de esferas? Deduzir e guardar as fórmulas prontas ajudam nessas tarefas, pois basta substituir as letras pelas medidas depois e calcular. Não são só medidas, claro, podemos generalizar funções específicas, como consumo de combustível, preço a pagar, etc. Estas, é claro, dependeriam de outros fatores.

Saiba +

Na fórmula PQ = 4l, “l” pode variar dependendo da medida do comprimento do lado do quadrado. Por isso, nessa fórmula, dizemos que a letra “l” é uma variável.

Generalizando outra fórmula

Agora vamos obter uma fórmula para calcular o perímetro de um retângulo. Observe:

O perímetro desse retângulo é obtido somando-se todos os lados:

5 + 12 + 5 + 12

Posso fazer 5 + 5 + 12 + 12, que dá a mesma coisa.

Você sabe que 5 + 5 = 2 . 5, e que 12 + 12 = 2 . 12. Portanto, podemos escrever também:

5 + 5 + 12 + 12 = 2 . 5 + 2 . 12

Como era uma adição e agrupamos as parcelas, devemos começar a conta pela multiplicação, veja que esta regra das expressões numéricas se justifica, senão seu cálculo sairia errado. Depois, somamos os re

sultados das multiplicações:

2 . 5 + 2 . 12 =

10 + 24 =

34

O perímetro do retângulo é 34.

Agora veja esse outro retângulo:

Sabemos que dois lados dele medem 3, mas não sabemos os valores dos outros lados. O perímetro é dado por:

3 + 3 + x + x

Ou então:

2 . 3 + 2 . x

Como 2 vezes 3 é 6, podemos já colocar:

PR = 6 + 2x

Nesse caso a expressão 6 + 2x indica o perímetro do retângulo em que os lados medem 3, 3, x e x. Se o lado de medida desconhecida medisse 5 unidades de medida, teríamos:

PR = 6 + 2x

PR = 6 + 2 . 5

PR = 6 + 10

PR = 16

Se o lado desconhecido medisse 1:

PR = 6 + 2x

PR = 6 + 2 . 1

PR = 6 + 2

PR = 8

Por que primeiro a multiplicação mesmo? Porque ela já estava lá. A multiplicação é a simplificação de uma soma, e como simplificamos a soma numa expressão mais simples, essa expressão deve ser concluída (calculada) e não deve ter seus termos misturados com outros, apenas o resultado final é que deverá ser trabalhado depois, no contexto em que se inserir. Veja o que aconteceria se não seguíssemos essa regra (em azul estão os cálculos feitos primeiro):

PR = 6 + 2x

PR = 6 + 2 . 5

PR = 8 . 5

PR = 40

PR = 6 + 2x

PR = 6 + 2 . 5

PR = 6 . 10

PR = 16

Percebeu? O correto é 16, e não 40! Confira no retângulo, somando manualmente cada lado, considerando o x = 5.

Algebrando ainda mais

E se não conhecêssemos as medidas de nenhum dos lados, daria para montar a expressão, a fórmula? Claro! Deixamos a expressão indicada, ou seja, sem calcular, normalmente da forma mais simples que pudermos. Imagine esse retângulo:

O retângulo tem dois pares de lados iguais. Ou seja, ele tem 4 lados, sendo que dois lados têm uma mesma medida, e os outros dois também. O perímetro do retângulo acima poderia ser indicado assim:

PR = a + a + b + b

PR = 2 . a + 2 + b

PR = 2a + 2b

Veja que 2a + 2b é uma forma bastante simplificada (curta de escrever). Você não pode fazer 2a + 2b = 4ab, afinal 2a é 2 . a, e 2b é 2 . b. Então 2 . a + 2 . b certamente não é 4 . a . b, o 2 não poderia ser somado.

Resumindo


Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras

.
Ex: 2ax²+bx

Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.



Monômios

As expressões algébricas que não representam as operações de adição e subtração entre os números e as variáveis, são denominadas de monômios.

Observe os exemplos:

6x, 4x, 5y, 7y

3x²y², 4x²y²

ab, 10, 12


A parte numérica de uma expressão algébrica chamada de monômios é denominada coeficiente e a outra parte da sentença formada por letras é chamada de parte literal.

Exemplos para fixação de conteúdo

De acordo com a definição sobre monômios, vamos destacar nas sentenças abaixo a parte literal e o coeficiente:

- 6x

Coeficiente: 6

Parte Literal: x

- 10y

Coeficiente: 10

Parte Literal: y



Grau de um monômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.


19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.


Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y) = 3x2y, então para x=7 e y=2 temos que: p(7,2) = 3 . 72. 2 = 294


Monômios semelhantes:

Monômios semelhantes são aqueles que possuem partes literais iguais.


Ex: (3ba³) e (7ba³) , pois possuem a mesma parte literal


Expressão algébrica inteira e fracionária

Quando não possuem variável ou variáveis no denominador são cahmadas de "Inteira"

Quando possuem variável ou variáveis no denominador são chamadas de "fracionária"

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

a0 xn + a1 xn – 1 + a2 xn -2 + ... + an – 1 x + an

A função polinomial será definida por:

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an

Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n N.


Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 222 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.

Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.

Exemplo:

P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.


Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x3 - x2 + 2x -3 → temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
Em polinômios de duas ou mais variáveis, o grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis nesse termo; o grau do polinômio, novamente, é o maior grau. Por exemplo,o polinômio x²y² + 3x³ + 4y tem grau 4, o mesmo grau que o termo x²y².


segunda-feira, 23 de março de 2009

Grandes Matemáticos


Diofanto, matemático e filósofo Grego, supõe-se que viveu algures entre o ano 150 e 300. Não se conhece muito da sua vida, mas sabe-se que está ligado à cidade de Alexandria que na Grécia antiga foi o maior centro de matemática.

Tudo o que se conhece acerca dele foi tirado da dedicatória inscrita no seu túmulo em forma de exercício matemático:

  • Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto. E os números podem mostrar. Oh milagre! Que longa foi sua vida,

Cuja Sexta parte constituiu a sua infância,

Tinha decorrido uma duodécima parte da sua vida quando de pêlos se cobriu a sua barba;

E a sétima parte da sua vida ocorreu um casamento,

Ao que aos cinco anos se deu o nascimento do seu precioso primogénito,

Que entregou seu corpo, sua maravilhosa existência durou somente a metade da de seu pai na terra,

E com profunda pena desceu à sua sepultura, tendo vivido mais 4 anos após «descida» de seu filho, mitigando a sua dor com investigações sobre a ciência dos números.

Os dados que este poema nos dá são os seguintes: x ; x/6 ; x/12 ; x/7 ; 5 ; x/2.

Temos então que: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4. E assim concluímos que Diofanto viveu 84 anos.

Diofanto, mais que um cultor da aritmética, e sobretudo da geometria, como o foram os matemáticos gregos anteriores, deve considerar-se um precursor da álgebra, e, em certo sentido, mais vinculado com a matemática dos povos orientais (Babilónia, Índia, ...) que com a dos gregos. Com a obra de Diofanto houve uma quebra na tradição clássica grega.

Fonte : http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/index2.htm

Grandes Matemáticos


Arquimedes, matemático, físico e inventor grego nasceu em Siracusa (Sicília) em 287 a.C. . Foi educado em Alexandria e pensa-se que possivelmente fora aluno de Euclides.

Regressou mais tarde à sua terra natal onde dedicou a sua vida a investigações que o imortalizaram. Foi considerado por muitos historiadores um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, sendo esta uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até hoje.

As principais obras de Arquimedes foram sobre:

  • A esfera e o cilindro um dos mais belos escritos de Arquimedes
  • Os conóides e os esferóides
  • As espirais
  • A medida do círculo
  • A quadratura da parábola
  • O Arenário (contador de areia)
  • O Equilíbrio dos planos
  • Dos corpos flutuantes
  • O stomachion � jogo geométrico
  • O problema dos bois (referente à teoria dos números)

Arquimedes obteve fama pelas suas invenções mecânicas, tais como a balança de Arquimedes, a teoria da alavanca simples, e ainda máquinas de guerra como catapultas necessárias à defesa de Siracusa.

Este grande matemático e físico grego é ainda célebre pelo seguinte princípio - princípio de Arquimedes - o qual diz que todo o corpo submergido num fluído experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com as suas máquinas de guerra, estes invadiram Siracusa, não impedido o estudioso de ficar reflectindo sobre um problema geométrico que traçava na areia, não se apercebendo desta invasão. Apresentou-se-lhe um soldado dando-lhe ordem de que o acompanhasse a casa de Marcelo, ele porém ignorou-o, irritando o soldado fazendo com que este o matasse com a sua espada.

Grandes Matemáticos

Euclides era um matemático grego, não se sabe ao certo onde e quando nasceu, mas viveu em Alexandria na primeira metade do séc. III a.C. Dizia-se que era o mais novo que os primeiros discípulos de Platão e mais velho que os de Arquimedes. Acredita-se que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão.

Euclides foi um dos sábios chamados para ensinar na escola criada por Ptolomeu, na Alexandria em 306 A.C., chamada "Museu". Diz-se que tinha uma grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas o caracterizam como um bondoso velho. Conta Prado de Bizâncio (412 - 485 d.C. ) que Ptolomeu perguntava a Euclides se não havia um caminho mais rápido de se aprender geometria e a sua resposta era: "Não há estrada real para geometria."

A sua grande obra foi, "Os Elementos", constituída por treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra.

Desapareceram vários livros de Euclides, e um dos mais lamentáveis desaparecimentos foi o de "Porismas de Euclides", que poderia conter aproximações da Geometria Analítica e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa é proposta para construir).

Cinco das obras de Euclides sobreviveram. Uma dessas obras foi "Óptica" onde, indica seu estudo de perspectiva e desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até o objecto que vemos. Em "Os Fenômenos" discorre sobre Geometria esférica para utilização dos astrónomos. "A Divisão" contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. "Os Dados" forma um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.

Uma edição completa das obras de Euclides foi publicada em Leipzig, com o título Opera omnia, em oito volumes, com texto grego e latim em (1883-1916).

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Grandes Matemáticos



Viète, François (1540--1603)

Viète nasceu em Fontenay, França. Estudou direito na Universidade de Poitiers e passou muito de seu tempo estudando matemática e criptografia enquanto mantinha uma carreira bem-sucedida como advogado. Mais tarde ele aplicou a trigonometria básica à astronomia e escreveu Harmonicum coeleste. Em 1579 publicou Canon mathematicus seu ad triangula. Mais tarde concentrou seus esforços em álgebra e geometria. Publicou In artem analyticem isagoge em 1591 e Supplementum geometriae em 1593. Essas obras foram as primeiras a introduzir a notação algébrica simbólica e as técnicas para ângulos trissecados. Ele simplificou a notação da álgebra e foi um dos primeiros a utilizar letras para representar números. Seu livro De aquationum recognitione et emendatione foi publicado apenas após sua morte. Ele continha a teoria das equações, incluindo metódos para resolução das polinomiais de segundo, terceiro e quarto graus e a introdução dos termos negativo e coeficiente.

Principal teorema: lei dos co-senos.

Principais obras: Harmonicum coeleste; Canon mathematicus seu ad triangula; De aquationum recognitione et emendatione; artem analyticem isagoge; Supplementum geometriae


quarta-feira, 18 de março de 2009

Grandes Matemáticos


Leonhard Euler

Nascido 15 de abril de 1707, em Basel, Suíça

Falecido 18 de setembro de 1783, em São Petersburgo, Rússia




Leonhard Euler, filho de Paul Euler, ministro protestante, e Margaret Brucker, mudou-se para Riehen com um ano de idade, e lá foi criado. Seu pai o introduziu nos primeiros estudos de matemática.

Quando chegou à adolescência, Euler retornou a Basel para estudar, preparando-se para o curso de teologia na Universidade.

Euler não aprendeu matemática alguma na escola, mas seu interesse, despertado nas lições de seu pai, o levou a estudar sozinho textos diversos e a tomar lições particulares.

Embora muito religioso, Euler não se entusiasmou com o estudo da teologia, e seu pai consentiu que ele mudasse para a matemática.

Terminado o curso, foi convidado a assumir a cadeira de um professor falecido na Universidade de São Petersburgo. Como não fora selecionado para a cadeira de física da Universidade de Basel, aceitou o primeiro convite e, em 1727, mudou-se para a Rússia.

Chegando lá, afiliou-se à Academia de Ciências, onde teve contato com grandes cientistas como Jakob Hermann, Daniel Bernoulli e Christian Goldbach.

Em 1730, Euler tornou-se professor de Física da Academia, fato que o permitiu abandonar o posto de lugar-tenente da marinha Russa, que ele ocupava desde 1727. Três anos mais tarde, com o retorno de Daniel Bernoulli a Basel, Euler assumiu a cátedra de matemática da Academia, e os proventos advindos dessa nomeação permitiram que ele se casasse, em 1734, com Katharina Gsell, uma moça de ascendência suíça.
Os dois tiveram treze filhos, mas apenas cinco sobreviveram à infância. Euler atribui a essa fase algumas de suas maiores proezas científicas.

Depois de 1730 ele desenvolveu uma série de projetos acerca de cartografia, magnetismo, motores a combustão, máquinas e construção naval. ... O foco da sua pesquisa estava agora bem definido: teoria de números; análises no infinito incluindo seus novos ramos, equações diferenciais e o cálculo de variações, e mecânica racional. Ele enxergava esses três campos como intimamente ligados. Estudos de teoria de números foram vitais para a fundamentação do cálculo, e funções especiais e equações diferenciais foram essenciais para mecânica racional, que fornecia problemas concretos.

Em 1736-37, Euler publicou seu livro Mechanica, que tratou extensivamente da análise matemática da dinâmica newtoniana pela primeira vez. Foi também nesta época que seus problemas de saúde começaram. Euler era constantemente atormentado por fortes crises febris, e desenvolveu catarata, que acabou por lhe tirar a vista. Mas se sua saúde estava abalada, sua reputação, ao contrário, se firmava cada vez mais, e dois prêmios da Academia de Paris, em 1738 e 1740, acabaram por lhe valer uma oferta de trabalho em Berlim.

De início, Leonhard recusou, preferindo permanecer em São Petersburgo, mas a turbulência política na Rússia tornou difícil a vida de estrangeiros lá, e ele reconsiderou.

Chegou a Alemanha como diretor de matemática da recém-fundada Academia de Berlim, que tinha então como presidente Maupertius. As contribuçoes de Euler para a Academia foram notáveis. Ele supervisionava o observatório e o jardim botânico, selecionava pessoal, gerenciava várias questões financeiras. Além disso, coordenou a publicação de mapas geográficos, uma fonte de dividendos para a Academia. Também trabalhou no comitê da Academia, lidando com a publicação de trabalhos científicos. E como se não bastasse, sua própria produção científica neste período foi excepcional. Durante os 25 anos que morou em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos, livros sobre Cálculo de variações e órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, construção naval e navegação, sobre o movimento da Lua, cálculo diferencial e uma obra científica para leigos: Letters to a Princess of Germany(Cartas a uma Princesa da Alemanha, 3 vols. 1768-72).

Em 1759, com a morte de Maupertius, Euler assumiu a direção da Academia, embora não fosse nomeado presidente. Desavenças com Frederico, o Grande, em torno dessa questão fizeram-no deixar a Alemanha e retornar a São Petersburgo, em 1766.

Em, 1771, velho e doente, Euler teve sua casa destruída num incêndio. Tudo o que ele salvou foram seus manuscritos. Foi nesta época que ele ficou totalmente cego. O impressionante é que mesmo depois disso ele continuou com seus projetos, e quase a metade de toda a sua produção científica foi concluída após esses incidentes. Evidentemente, Euler não logrou todas essas conquistas sozinho. Ele contou com a ajuda valorosa de dois de seus filhos, Johann Albrecht Euler, que seguia os passos do pai, e Christoph Euler, que estava na carreira militar, e também dois membros da Academia, A. J. Lexell e o jovem matemático N. Fuss, esposo de sua neta.
Euler morreu em 18 de setembro de 1783.

Obra

Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais produtivo de todos os tempos. Para se ter uma idéia, a Academia de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler até 50 anos depois da sua morte .

Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão a introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante.

Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações para uma função, para uma função, para a base do logaritmo natural, para a raiz quadrada de -1, para a somatória, para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. Vamos examinar superficialmente alguns dos trabalhos de Leonhard Euler que consideramos mais relacionados com um curso de cálculo universitário.

Talvez o resultado mais importante alcançado por Euler em sua juventude tenha sido a solução do problema de Basel, que consistia em encontrar uma forma fechada para a soma de séries infinitas . Esse problema desafiou muitos dos melhores matemáticos da época, como os Bernoulli, Leibniz, Stirling e de Moivre. Euler ainda calculou o valor desta função para os argumentos 4, 6, 8, 10 e 12: , , , , , .

Outro trabalho dele relacionado a séries infinitas incluiu a introdução de sua famosa constante , que ele provou ser o limite de :

quando tende ao infinito. Ele calculou o valor de com 16 casas decimais. Euler também estudou as séries de Fourier e em 1744 ele foi o primeiro a expressar uma função algébrica por uma série desse tipo, quando encontrou o resultado:

Esse resultado só foi publicado em 1755.

Alguns podem dizer que a análise matemática começou com Euler. Em 1748, na obra Introductio in analysin infinitorum, ele deu mais precisão à definição de funções idealizada por Johann Bernoulli. Neste trabalho, Euler baseou o cálculo em funções elementares, em oposição às curvas geométricas, como era feito até então. Ainda nele, é apresentada a fórmula:

Em Introductio in analysin infinitorum, Euler lida com logaritmos tomando apenas valores positivos, muito embora seja descoberta sua a igualdade:

Seus estudos em funções analíticas de variáveis complexas conduziram-no às equações de Cauchy-Riemann, em 1777, mas o mesmo resultado fora alcançado 25 anos antes por díAlembert.

Em Institutiones calculi differentialis, Euler aborda o comportamento da diferenciação mediante substituições.

EmInstitutiones cauculi integralis (1768-1770) Euler investigou integrais que podem ser expressas em termos de funções elementares, tratou de integrais duplas e trabalhou com equações diferenciais ordinárias e parciais.

Problemas em física levaram Euler a estudar equações diferenciais. Seus trabalhos abrangeram equações lineares com coeficientes constantes, equações de segunda ordem com coeficientes variáveis, soluções de equações diferenciais em séries de potências, fatores integrantes, e muitos outros tópicos. Observando membranas vibrantes, chegou à equação de Bessel, a qual ele resolveu introduzindo as funções de mesmo nome.

As contribuições de Euler para o conhecimento ainda abrangeram muitas outras áreas. Notadamente , sua aptidão matemática permitiu-lhe empreender grandes avanços no campo da astronomia, incluindo:

... determinação da órbita de cometas e planetas baseadas em poucas observações, métodos de cálculo da paralaxe do Sol, a teoria da refração, considerações sobre a natureza dos cometas,... Seus trabalhos mais impressionantes, pelos quais ele ganhou vários prêmios da Academia de Ciências de Paris, estão relacionados à mecânica celeste, que atraía muitos cientistas da época.

Podem-se citar ainda, da autoria de Leonhard Euler, trabalhos aliando matemática à teoria musical (pouco conhecidos), e em cartografia.

Fonte:http://www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/history/euler/euler.html

Grandes Matemáticos



Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida.

Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol.


Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

Alguns pensamentos de Pitágoras:


· Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si.

· Todas as coisas são meros.

· Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe.


· Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

· Educai as crianças e não será preciso punir os homens.


· A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.


· A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.


· Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues
.


Fonte :http://www.suapesquisa.com/pesquisa/pitagoras.htm


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Grandes Matemáticos


Augustin Louis Cauchy

Nascido 21 de agosto de 1789, em Paris, França

Falecido 23 de maio de 1857, em Sceaux (próximo a Paris), França

Quando Augustin-Louis Cauchy era uma criança, Paris era um lugar difícil de se viver devido aos eventos relativos à Revolução Francesa. Com quatro anos, seu pai, temendo por sua vida em Paris, mudou-se com a família para Arcueil.

Logo eles voltaram a Paris e o pai de Cauchy era participante ativo em sua educação. Laplace e Lagrange visitavam regularmente a casa da família Cauchy e Lagrange em particular parecia ter um interesse maior na educação matemática do jovem Cauchy. Lagrange aconselhou ao pai de Cauchy a primeiro dar uma boa base em línguas para depois começar os estudos de Matemática. Em 1802 Augustin-Louis entrou na École Centrale du Panthéon, onde passou dois anos estudando línguas clássicas.

Em 1804 Cauchy tomou aulas de Matemática e fez o exame de admissão para a École Polytechnique em 1805. Ele foi examinado por Biot e ficou em segundo lugar. Lá teve aulas com Lacroix, de Prony e Hachette, sendo tutorado em Análise por Ampère. Em 1807 graduou-se e entrou na escola de engenharia École des Ponts et Chaussées. Ele era um estudante excepcional e por seu trabalho prático foi designado para trabalhar sob as vistas de Pierre Girard, no projeto do Canal Ourcq.

Em 1810 Cauchy arrumou seu primeiro emprego em Cherbourg para trabalhar no porto para a frota de invasão Inglesa de Napoleão. Ele levou com ele uma cópia de Méchanique Céleste, de Laplace e de Thèorie des Fonctions. Apesar da carga intensa de trabalho no porto, Cauchy dedicou-se intensamente à pesquisa matemática e ele provou em 1811 que os ângulos de um poliedro convexo são determinados por suas faces. Ele submeteu seu primeiro trabalho neste tópico e então, encorajado por Legendre e Malus, submeteu outro sobre polígonos e poliedros em 1812. Cauchy sentia que deveria retornar a Paris se quisesse deixar sua marca na pesquisa. Infelizmente Cauchy voltou pelos motivos errados: provavelmente uma severa depressão.

De volta a Paris, Cauchy investigou funções simétricas e submeteu um artigo sobre este tópico em novembro de 1812, que foi publicado no Journal of the École Polytechnique em 1815. Contudo ele deveria voltar a Cherbourg em fevereiro de 1813, quando tivesse recobrado sua saúde, mas isto não se encaixava com suas ambições matemáticas. Seu pedido a de Prony para ser um professor associado na École des Ponts et Chaussées foi recusado, mas foi-lhe permitido continuar como engenheiro no projeto do Canal Ourcq, ao invés de voltar a Cherbourg.

O que realmente Cauchy desejava era uma carreira acadêmica e então inscreveu-se para um posto no Bureau des Longitudes. Legendre ficou com a vaga. Também falhou ao se inscrever para a seção de geometria do Institute, indo a vaga para Poinsot.

Outros postos ficaram vagos, mas um em 1814 foi a Ampère e uma vaga em Mecânica no Institute, que era de Napoleão Bonaparte, foi para Molard. Na última eleição Cauchy não recebeu um único voto! Contudo sua produção matemática continuava grande e em 1814 ele publicou um trabalho sobre integrais definidas que posteriormente viria a se tornar a base da teoria de funções complexas.

Em 1815 Cauchy perdeu para Binet um cadeira em Mecânica na École Polytechnique, mas foi apontado como professor assistente de Análise. Ele era responsável pelo segundo ano de curso. Em 1816 ele ganho o Grand Prix of the French Academy of Science por um trabalho em ondas. Ele atingiu realmente a fama, porém, quanto submeteu um trabalho ao Institute resolvendo uma das afirmações de Fermat acerca de números poligonais feita a Mersenne. Graças à ajuda política Cauchy agora ocupava um posto na Academy of Sciences.

Em 1817 Cauchy substituiu Biot em seu posto no Collège de France, pois Biot saíra em expedição. Lá deu aulas sobre métodos de integração desenvolvidos por ele, mas ainda não publicados. Cauchy foi o primeiro a fazer um estudo rigoroso das condições de convergência de séries infinitas, além de sua rigorosa definição de integral. Seu texto Cours d'analyse de 1821 foi escrito para estudantes da École Polytechnique e tratava do desenvolvimento dos teoremas básicos do Cálculo, tão rigorosamente quanto possível.

Em 1826 começou um estudo do cálculo de resíduos em Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinétesimal enquanto que em 1829 em Leçons sur le Calcul Différential ele define pela primeira vez uma função complexa de uma variável complexa.

Em 1830 os eventos políticos em Paris e os anos de trabalho intenso começaram a cobrar seu preço e Cauchy decidiu tirar umas férias. Ele deixou Paris em setembro de 1830, antes da revolução de Julho, e passou algum tempo na Suíça. Lá ele foi um ajudante entusiástico na organização da Académie Helvétique mas este projeto colapsou pois ele foi pego em eventos políticos.

Eventos políticos na França significavam que Cauchy deveria jurar lealdade ao novo regime, mas tendo falhado em retornar a Paris, ele perdeu todas as suas posições. Em 1831 Cauchy foi a Turim e durante algum tempo, por oferecimento do Rei de Piemonte, ocupou uma cadeira de Física teórica. Ele ensinou em Turim em 1832. Menabrea assistiu a estas aulas em Turim e escreveu que os cursos

eram muito confusos, passando repentinamente de uma idéia a outra, de uma fórmula à próxima, sem nenhum esforço de dar uma conexão entre elas. Suas apresentações eram nuvens obscuras, iluminadas de tempos em tempos por um brilho de pura genialidade. ... dos trinta colegas comigo, eu era o único a perceber isto.

Cauchy voltou a Paris em 1838 e recuperou sua posição na Academia, mas não suas posições como professor por ter recusado jurar lealdade. De Prony morreu em 1839 e sua posição no Bureau des Longitudes tornou-se vaga. Cauchy era fortemente apoiado por Biot e Arago mas Poisson opunha-se radicalmente a ele. Cauchy foi eleito mas, tendo recusado-se a jurar lealdade, não foi indicado e não poderia participar de reuniões ou receber um salário.

Em 1843 Lacroix morreu e Cauchy tornou-se candidato para sua cadeira no Collège de France. Liouville e Libri eram também candidatos. Cauchy teria facilmente sido indicado, mas suas atividades políticas e religiosas (como ajudar os Jesuítas), foram fatores cruciais. Libri foi escolhido, claramente o mais fraco dos três matematicamente falando, e Liouville escreveu no dia seguinte que ele estava

profundamente humilhado como homem e como matemático pelo que acontecera ontem no Collège de France.

Durante este período a produção matemática de Cauchy foi menor do que no período de exílio auto-imposto. Ele fez trabalhos importantes na área de Equações Diferenciais e aplicações à Física Matemática. Ele também escreveu sobre Astronomia Matemática, especialmente por ser candidato a posições no Bureau des Longitudes. O texto em 4 volumes Exercises d'analyse et de physique mathematique publicado entre 1840 e 1847 mostrou-se extremamente importante.

Quanto Louis Philippe foi deposto em 1848 Cauchy recuperou suas posições na Universidade. A cadeira ocupada por Libri vagou (fugiu, acusado de roubar livros), sendo novamente disputada por Liouville e Cauchy. Liouvilli ganhou, azedando a relação entre os dois.

Os últimos anos da vida de Cauchy foram particularmente amargos, por ter se envolvido com Duhamel a respeito de um resultado sobre choques inelásticos. Foi provado que Cauchy estava errado, mas ele nunca admitiu isso.

Inúmeros termos em Matemática levam o nome de Cauchy: o teorema da integral de Cauchy, a teoria de funções complexas, o teorema de existência de Cauchy-Kovalevskaya, as equações de Cauchy-Riemman e as seqüências de Cauchy. Ele produziu 789 trabalhos em Matemática, um feito extraordinário.

Uma coleção com seus trabalhos, Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy (1882-1970), foi publicada em 27 volumes.


Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/cauchy/cauchy.html


Grandes Matemáticos


Sir Isaac Newton

Nascido 4 de janeiro de 1643, em Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra

Falecido 31 de março de 1727, em Londres, Inglaterra


A vida de Isaac Newton pode ser dividida em três períodos distintos:

O primeiro vai de sua infância, em 1643, até ser indicado para uma cátedra em 1669.

O segundo período vai de 1669 a 1687, e foi seu período mais produtivo (era professor Lucasiano em Cambridge).

O terceiro e último período (quase tão longo quanto os dois anteriores combinados) mostra um Newton oficial bem pago do governo, com pouco interesse em Matemática.

Isaac Newton veio de uma família de fazendeiros, mas nunca conheceu seu pai - também Isaac Newton - que morreu três meses antes de seu nascimento. Embora Isaac Newton Senior possuísse propriedades e animais que o classificavam como um homem bem-posto, ele não tinha estudo nenhum e nem sabia assinar o próprio nome.

A mãe de Isaac, Hannah Ayscough, casou-se novamente com Barnabas Smith quando Isaac tinha apenas dois anos. Ele foi então deixado aos cuidados de sua avó, Margery Ayscough. Basicamente tratado como um orfão, Isaac não teve uma infância feliz.

Após a morte de seu padrasto em 1653, Newton viveu em uma família estendida consistindo de sua mãe, avó, um meio-irmão e duas meio-irmãs. Logo após esta época, Newton começou a freqüentar a Escola Livre de Gramática em Grantham. Contudo, ele mostrou não ter um futuro acadêmico muito promissor. Na escola era descrito como "preguiçoso" e "desatento". Sua mãe, agora uma mulher razoavelmente estável no sentido financeiro, imaginou que seu filho mais velho seria a pessoa ideal para gerenciar seus negócios. Isaac foi tirado da escola, mas logo demonstrou não ter nenhum talento - ou interesse - em negócios.

Um tio de Isaac, William Ayscough, decidiu que ele deveria preparar-se para entrar na Universidade, e persuadiu sua mãe a deixá-lo voltar a escola. Desta vez Newton morou com Stokes, que era o diretor da escola. Apesar dos acontecimentos anteriores, Newton parece ter convencido as pessoas a sua volta de que sim, ele era uma boa aposta no mundo acadêmico.

Nada se sabe acerca do que Isaac estudou para se preparar para a Universidade, mas Stokes era muito habilidoso e certamente treinou Newton e deu-lhe uma boa base.

Newton entrou no Trinity College Cambridge, em 5 de junho de 1661. Ele era mais velho que a maioria de seus colegas e, apesar de sua mãe ser uma mulher de posses, ele entrou como monitor. Um monitor em Cambrigde era um aluno que recebia uma bolsa da escola para servir aos outros estudantes. Este fato é controverso, pois ele parece ter se associado mais com estudantes de "melhor posição" do que com outros monitores. Há também a hipótese de Newton ter sido financiado por Humphrey Babington, um parente distante.

O objetivo de Newton em Cambridge era formar-se advogado. Em Cambridge, a instrução era dominada pela filosofia de Aristóteles, mas algum grau de liberdade era permitido a partir do terceiro ano de curso. Newton estudou a filosofia de Descartes, Gassendi, Hobbes e em particular Boyle. A mecânica da astronomia Copernicana de Galileu o atraiu, e ele também estudou a Óptica de Kepler. Ele registrou seus pensamentos em um livro intitulado Quaestiones Quaedam Philosophicae (Certas Questões Filosóficas). É fascinante notar como Newton já formava suas idéias por volta de 1664. Ele começou o texto com uma frase em latim significando "Platão é meu amigo, Aristóteles é meu amigo, mas meu melhor amigo é a verdade", mostrando-se como um pensador livre desde este estágio.

Como Newton chegou aos mais avançados textos de Matemática em sua época é um pouco menos claro. De acordo com de Moivre, o interesse de Newton em Matemática começou no outono de 1663, quando comprou um livro de astrologia em uma feira em Cambridge e descobriu que não podia entender a Matemática nele. Sendo um livro eminentemente de trigonometria, descobriu que sua falha era em Geometria, e decidiu então ler a edição de Barrow para os Elementos, de Euclides. Os primeiros resultados foram tão simples que ele quase desisitiu, mas mudou de idéia quando leu que

... paralelogramos de mesma base e entre paralelas são iguais.

Voltando ao começo, Newton leu o livro todo com renovado respeito. Depois leu Clavis Mathematica de Oughtred e La Géométrie de Descartes. As novas Álgebra e Geometria Analítica de Viète foram lidas por Newton da edição de Frans van Schooten. Outros grandes trabalhos em Matemática que ele estudou foram Geometria a Renato Des Cartes de van Schooten e Algebra, de Wallis. Newton fez anotações sobre o tratamento dado por Wallis às séries, mas também criou suas próprias provas dos teoremas, escrevendo:

Assim fez Wallis, mas pode ser feito assim ...

A despeito de algumas evidências mostrarem que seu progresso não foi particularmente bom, Newton recebeu o grau de acadêmico em abril de 1664 e o de bacharelado em abril de 1665. Aparentemente seu gênio científico ainda não havia se manifestado, mas o fez quando a Universidade foi repentinamente fechada por causa da peste e ele teve de voltar a Lincolnshire. Lá, em um período de menos de dois anos, enquanto Newton tinha ainda 25 anos, ele começou avanços revolucionários em Matemática, Óptica, Física e Astronomia.

Enquanto Newton ficou em casa, ele lançou as fundações do Cálculo Diferencial e Integral, vários anos antes da descoberta (independente) de Leibniz. O Método das Fluxões, como ele o denominou, foi baseado na idéia crucial de que a integração de uma função era meramente o procedimento inverso da diferenciação. Tomando a diferenciação como operação básica, Newton criou métodos analíticos simples, que unificaram diversas técnicas anteriormente desenvolvidas para resolver problemas aparentemente não relacionados, como achar áreas, tangentes, comprimentos de curvas e máximos e mínimos de funções. De Methodis Serierum et Fluxionum foi escrito por Newton em 1671 mas não foi publicado até que uma tradução para o Inglês foi feita por John Colson em 1736.

Quando a Universidade de Cambridge reabriu após a peste em 1667, Newton apresentou-se como candidato a uma cadeira. Em outubro ele foi eleito para uma cadeira menor no Trinity College mas, após obter seu título de Mestre ele foi eleito para uma cadeira plena em julho de 1668. Em 1669 Barrow tentou garantir que as conquistas matemáticas de Newton se tornassem públicas. Ele mandou o texto de Newton De Analysis para Collins em Londres escrevendo:

[Newton] trouxe-me outro dia alguns artigos, onde ele estabelece os métodos para calcular as dimensões de magnitudes como as de Mr Mercator a respeito da hipérbola, mas mais geral; também na solução de equações; suponho que você se surpreenderá; mandarei a você em breve.

Collins mantinha contato com os matemáticos mais proeminentes da epóca, o que poderia levar o trabalho de Newton a um rápido reconhecimento. Collins mostrou a Brouncker, Presidente da Royal Society, os resultados de Newton, mas depois disso Newton pediu que seu manuscrito fosse devolvido. Barrow deixou sua cadeira de Lucasiano em 1669 para devotar-se a divindade, recomendando Newton (com apenas 27 anos) como seu sucessor.

O primeiro trabalho de Newton como professor Lucasiano foi em óptica e este foi o tópico de sua primeira aula, em janeiro de 1670. Ele concluiu, durante os dois anos de peste, que a luz não era uma entidade simples. Todo cientista desde Aristóteles acreditava que a luz era um entidade simples e básica, mas a aberração cromática na lente de um telescópio convenceu Newton do contrário. Quando ele passou um raio de luz através de um prisma, notou o espectro de luz que se formava. Ele sustentava que a luz branca era na realidade uma mistura de vários tipos de raios refratados em ângulos ligeiramente diferentes, e cada tipo de raio produzia uma cor diferente. Graças a esta idéia, Newton concluiu erroneamente que todo telescópio refrativo sofreria aberração cromática. Ele então propôs e construiu um telescópio refletivo.

Em 1672 Newton foi eleito membro da Royal Society, após doar um telescópio refletivo. Também em 1672 Newton publicou seu primeiro trabalho científico sobre cor e luz na Philosophical Transactions da Royal Society. O trabalho foi bem aceito em geral, mas Hooke e Huygens fizeram objeções à tentativa de Newton de provar, apenas experimentalmente, que a luz consiste de pequenas partículas em movimento e não de ondas.

A recepção à sua publicação não melhorou em nada a atitude de Newton de tornar seus trabalhos conhecidos. Ele sempre se dividia em duas direções: algo em sua natureza desejava fama e reconhecimento, enquanto um outro lado tinha medo de críticas, e o melhor jeito de não ser criticado era não publicar. Certamente pode-se dizer que sua reação às críticas era irracional, e seu esforço em humilhar Hooke em público era anormal. Contudo, talvez pela sua reputação, sua teoria corpuscular reinou até que a teoria de ondas fosse revivida no século 19.

Newton publicou em 1704, logo após a morte de Hooke, o trabalho Optiks, relacionado à teoria de luz e cor e com

Investigações de cores de folhas delgadas.

Anéis de Newton.

Difração da luz.

Para explicar algumas de suas observações ele teve de usar teoria de ondas em conjunção com sua teoria corpuscular.

Outra discussão, desta vez com os jesuítas ingleses em Liège sobre sua teoria de cores, levou a uma agressiva troca de cartas, até que em 1678 Newton sofre um colapso nervoso. Sua mãe morre no ano seguinte, resultando em um isolamento ainda maior de sua parte.

A maior conquista de Newton foi seu trabalho em Física e Mecânica Celestial, que culminou na teoria da Gravitação Universal. Em 1666 Newton já tinha as primeiras versões de suas três leis do movimento. Ele também descobriu a lei que dá a força centrífuga de uma corpo em movimento circular uniforme. Contudo, ele não tinha ainda um bom entendimento do movimento circular.

A novidade da idéia de Newton era imaginar que a gravidade da Terra influenciava a Lua, contrabalançando sua força centrífuga. Desta lei e da terceira lei de Kepler do movimento planetário, Newton deduziu a lei do inversos dos quadrados.

Halley persuadiu Newton a escrever um tratado de sua nova Física e suas aplicações a Astronomia. Um ano depois (1687) Newton publicou Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia como é conhecido.

Principia é tido como um dos maiores livros científicos já escritos. Newton analisou o movimento de corpos em meios com e sem resistência soba a ação de forças centrípetas. Os resultados foram aplicados a corpos em órbita, projéteis, pêndulos e quedas livres próximas à Terra. Ele também demonstrou que planetas são atraídos na direção do Sol por uma força que varia com o inverso dos quadrado da distância e generalizou que corpos pesados atraem uns aos outros mutuamente.

Mais generalização levou-o à lei da Gravitação Universal:

... toda matéria atrai outra matéria com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Newton foi capaz de explicar um grande número de fenômenos aparentemente não relacionados: a excentricidade da órbita dos cometas, as marés, a precessão do eixo terrestre e os movimentos da Lua perturbados pelo Sol.

Depois de um segundo colapso nervoso em 1693, Newton aposentou-se da pesquisa. Várias razões para este colapso foram propostas: envenenamento químico por causa de seus experimentos, frustração com as pesquisas ou problemas relativos a sua crença religiosa. Provavelmente seu problema era não outro senão uma depressão severa, que parece ter-lhe acompanhado por boa parte da vida.

Newton foi ainda Mestre da Casa da Moeda, onde, ao contrário do que se possa imaginar, fez grandes contribuições ao processo de cunhagem de moedas.

Em 1703 foi eleito presidente da Royal Society e foi re-eleito cada ano subseqüente até sua morte. Também foi sagrado cavaleiro em 1705 pela rainha Anne, sendo o primeiro cientista a ser assim tão condecorado por seu trabalho. Contudo, o final de sua vida não foi fácil, em particular por causa da controvérsia com Leibniz a respeito da invenção do Cálculo. (Ele chegou a nomear um comissão "imparcial" para julgar quem era o inventor do Cálculo, mas os textos da comissão eram na verdade anonimamente escritos por ele mesmo.


Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/newton/newton.html