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quarta-feira, 22 de setembro de 2010

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, presentes em pequenos santuários budistas japoneses.

Essas tabletas visíveis hoje são em sua maioria do século [;XIX;], mas sabe-se que a prática já era corrente em meados do século [;XVII;]. O conteúdo e a forma dos sangaku mudaram pouco desde época em que surgiram: trata-se de enunciados de problemas, propostos por um indivíduo, com ou sem solução. Eles são relativamente sucintos e inspirados, na maioria dos casos, em composições geométricas complexas, nas quais quadrados, círculos, elipses, esferas ou cubos se cruzam ou tangenciam harmoniosamente.

Uma possível explicação do papel dessas tabuletas, foi a de divulgar os jovens talentosos isolados e desprovidos de recursos. Para esses últimos, pendurar a resolução de um problema difícil num lugar muito visitado era uma maneira eficaz de atrair a atenção para eles. Um exemplo é o caso do matemático Aida Yasuaki [;(1747-1817);] no momento em que decidiu se tornar conhecido na capital.

Neste post, veremos alguns sangakus com soluções e outros que deixarei como desafio para os meus leitores. Vejamos então alguns problemas:

[;1);] Os círculos azul, laranja e vermelho são tangentes entre si dois a dois, e tangentes a uma reta comum. Determine o raio do círculo menor em função dois outros dois círculos.

Resolução: Sejam [;r_1,\ r_2;] e [;r_3;] os raios dos círculos de centros [;O_1;], [;O_2;] e [;O_3;] respectivamente. Segue da figura abaixo que a hipotenusa do triângulo retângulo é [;r_1 + r_2;] e o cateto menor é [;r_1 - r_2;].


Assim, pelo teorema de Pitágoras,

[;AB^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 = 4r_1r_2 \quad \Rightarrow \quad AB = 2\sqrt{r_1r_2};]

Analogamente, [;AC = 2\sqrt{r_1r_3};] e [;BC = 2\sqrt{r_2r_3};]. Logo,

[;AB = AC + CB \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3};]

Dividindo ambos os membros por [;\sqrt{r_1r_2r_3};], segue que

[;\frac{1}{sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_2}} + \frac{1}{\sqrt{r_1}};]

[;2);] Dado dois círculos de raios inscritos iguais como mostrado na figura abaixo, prove que [;AP = \sqrt{p(p-a)};], onde [;p;] é o semi-perímetro do [;\Delta ABC;].


Resolução: Na figura acima, [;r;] é o inraio do [;\Delta ABC;]. Sejam [;p_1;] e [;p_2;] o semi-perímetro dos [;\Delta ABP;]e [;\Delta ACP;] respectivamente, que aliás possuem o mesmo inraio denotado por [;k;]. Fazendo [;AP = x;], segue que [;2p_1 + 2p_2 = 2p + 2x;]. Por outro lado, pela igualdade de áreas, [;rp = kp_1 + kp_2;]. Portanto,

[;x = rp/k - p \quad \quad (1);]
Por semelhanças de triângulos,

[;\frac{p-b}{p_1 - x} = \frac{r}{k} = \frac{p - c}{p_2 - x} \quad \quad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que

[;\frac{p(p-b)}{p_1 - x} - p = x = \frac{p(p - c)}{p_2 - x} - p;]

Dessas equações obtemos o sistema na variável [;x\ ;], ou seja:

[;\begin{cases}p(p - b) - pp_1 + px &= p_1x - x^2\\p(p - c) - pp_2 + px &= p_2x - x^2\\\end{cases};]

Somando essas equações, temos:

[;p(2p - b - c) - p(p_1 + p_2) + 2px = x(p_1 + p_2) - 2x^2;]

[;pa - p(p + x) + 2px = x(p + x) - 2x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = p^2 - pa;]
Logo,
[; x = \sqrt{p(p-a)};]

Problemas Propostos:

[;1);] A corda [;ST;] é perpendicular ao diâmetro [;CP;] de um círculo de centro [;O;]. [;Q;] é um ponto de [;CP;] entre [;P;] e [;R;]. [;SQ;] intercepta o círculo em [;V;]. Seja [;r;] o raio do círculo inscrito no triângulo curvilíneo [;TQV;] (conforme a figura abaixo). Prove que

[;\frac{1}{r} = \frac{1}{PQ} +   \frac{1}{QR};]


[;2);] Considere o quadrado
[;ABCD;] abaixo de lado [;a;] e diagonal [;AC;]. Os raios inscritos dos triângulos [;ACN;] e [;BCN;] são iguais a [;r;]. Escreva [;r;] em função do lado [;a;].


Sugestão: Sendo [;\Delta BCN;] retângulo, mostre que

[;r = (BN + BC + CN)/2 -  CN = (BN + BC - CN)/2;]

Por outro lado, sendo os raios inscritos nos dois triângulos iguais, segue que do Exemplo 2) que [;CN^2 = p(p - AB);], onde [;p;] é o semi-perímetro do [;\Delta ABC;]. Usando o fato que [;AC = a\sqrt{2};], segue o resultado.

Referências Bibliográficas:
- Unger, J. Marshall. A Collection Sangaku Problems. Department of East Asian Languages & Literatures.The Ohio State University.
- Horiuchi Annick. Geometria a Serviço dos Deuses no Japão. Etnomatemática: Edição Especial da Scientif American Brasil.

Fonte:http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/os-sangakus-e-matematica-japonesa.html