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domingo, 13 de dezembro de 2009

Desafio de Natal !!!


Papai Noel deu 10 biscoitos para a primeira criança, 15 biscoitos para a segunda criança, 21 biscoitos para a terceira criança e 28 biscoitos para a quarta criança. Se Papai Noel seguisse uma seqüência lógica de números, quantos biscoitos ele deveria dar para uma quinta criança?

• A. 32 biscoitos
• B. 36 biscoitos
• C. 42 biscoitos
• D. 48 biscoitos
• E. 52 biscoitos

Resposta Correta - B

sábado, 12 de dezembro de 2009

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados os pontos P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtem-se a distância entre P e Q, traçando-se projeções destes pontos sobre os eixos coordenados e identificando um triângulo retângulo no gráfico e a partir daí, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ será a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR será um cateto e o segmento QR será o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2
e como:
[d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2

[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2=(y1 - y2)2

então

Exemplos

A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

d(P,Q) =

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto genérico P=(x,y) é dada por

d(O,P) =

Eixos Coordenados

Eixos

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (ou eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (ou eixo OY).

Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma geral P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico.

O sistema de Coordenadas Ortogonais também é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Este sistema possui quatro (4) regiões denominadas quadrantes.

Quadrante Sinal de x Sinal de y Exemplo
1o.
+
+
(2,4)
2o.
-
+
(-4,2)
3o.
-
-
(-3,-7)
4o.
+
-
(7,-2)

Determinantes V

Determinantes

P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P12)

Exemplo:

Determinantes IV

Determinantes

P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:


Propriedades dos determinantes

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:


6ª propriedade


O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R
t).

det R = ps + qr

det Rt = ps – rq



7ª propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.




8ª propriedade


O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.

Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade

Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

Determinantes III

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Determinates II

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . MCij .

Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .

Determinantes I

Determinantes

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

  • resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;

  • cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:

det M =Ia11I = a11

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

  • M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5
  • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo , de ordem 3, temos: