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domingo, 11 de julho de 2010

Soma e Produto

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:

ax2 + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.


SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”



- b - √∆ - b + √∆ +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a

-2b :2
2a :2

-b
a

Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a

PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”



Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a

Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:

Dada a equação x2 – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10



Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10

(-5) . (-2) = 10

1 . 10 = 10

(-1) . (-10) = 10

Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7

Portanto, x’ = 5 e x” = 2.

Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente


As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 <>.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}


Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.


S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}


Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x <> 3}

Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares:

|x| > 5

|x| < 5

|x – 3| ≥ 2


Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo.

Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo:

Se |x| < k então, – k < x < k

Se |x| > k então, x < – k ou x > k


Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1

|x| ≤ 6

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 6 ≤ x ≤ 6

S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6}


Exemplo 2

|x – 7| <>

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 2 < x – 7 < 2
– 2 + 7 < x < 2 + 7
5 <>

S = {x Є R / 5 <>



Exemplo 3

|x² – 5x | > 6

Precisamos verificar as duas condições:

|x| > k então, x < – k ou x > k

|x| < k então, – k < x < k


Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k
x² – 5x > 6
x² – 5x – 6 > 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 6
x” = –1

Pela propriedade:
x > 6
x < –1


Fazendo |x| < k então, – k < x < k
x² – 5x < – 6
x² – 5x + 6 < 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 3
x” = 2

Pela propriedade:
x > 2
x < 3

S = {x Є R / x < –1 ou 2 <> 6}.

sábado, 10 de julho de 2010

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Solução

Logo, V= {58}.

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

Solução

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.


EQUAÇÕES BIQUADRADAS

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática

  • Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade:.

  • Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

y2 - 3y = -2

y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

  • resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125

Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

  • Compor a equação biquadrada cujas raízes são:


Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0

x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .


SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU & PROBLEMAS DO 2º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192


Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

  • Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
  • Resolva a equação ou o sistema de equações.
  • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

  • Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .

Solução

Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

  • Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18
x ( x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

  • Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente:

Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

  • Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Fonte : somatematica