1.200.000 VISUALIZAÇÕES! OBRIGADO!!

sexta-feira, 30 de abril de 2010

Cálculos Percentuais Envolvendo Frequências Relativas

A porcentagem é uma razão centesimal utilizada na comparação de valores de uma determinada situação. A frequência relativa é representada por um número percentual oriundo da comparação entre um evento e o espaço amostral ao qual ele faz parte. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é constituído de dois eventos: cara ou coroa, portanto, a frequência relativa nesse caso é de 50% para cara e 50% para coroa.

Os cálculos percentuais estão presentes em situações cotidianas e nos exames de classificação de diversas universidades. Observe o exercício a seguir, ele exige conhecimentos de porcentagem, cálculos estatísticos, espaço amostral, representação de frequência relativa, cálculo de probabilidade e processos de contagem.

Uma empresa de táxis tem como meta atender em, no máximo, 20 minutos pelo menos 94% das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito de forma ininterrupta por um funcionário que utiliza um aparelho de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 20 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresenta o seguinte desempenho:



Com base no enunciado do exercício, o número de chamadas não atendidas em 15 minutos não deve ultrapassar 6%.

Estabelecendo a freqüência relativa

Razões: 10/100, 15/200, 20/300, 25/400, 28/482.

10/100 = 0,1 = 10% > 6% → acima

15/200 = 0,075 = 7,5% > 6% → acima

20/300 = 0,066 = 6,6% > 6% → acima

25/400 = 0,0625 = 6,25% > 6% → acima

28/482 = 0,058 = 5,8% < 6% → meta atingida

Concluímos que a meta somente foi cumprida quando o total de chamadas acumuladas resultou em 482.

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

A Estatística é uma ferramenta matemática muito utilizada em vários setores da sociedade, organizando dados de pesquisas e apresentando informações claras e objetivas. Iremos através de um exemplo construir uma tabela de freqüência absoluta e freqüência relativa de uma variável.

Exemplo
Às pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida?

Pedro: Ford Bruna: Peugeot Anete: Ford Paulo: Peugeot Célio: Volks Manoel: GM
Carlos: GM Fred: Volks Sérgio: Fiat Gilson: GM Rui: Fiat Cláudia: Volks
Antônio : Fiat Márcio: Volks Marcelo: GM Ana: Nissan Geraldo: Volks Rita: Ford
Pedro: Ford Alicia: Renault Meire: GM Flávio: Peugeot Lia: GM Fabiano: Renault

Construindo uma tabela para melhor dispor os dados:

Marcas

Frequência Absoluta (FA)

Frequência Relativa (FR)

Ford

4

16,7%

Fiat

3

12,5%

GM

6

25%

Nissan

1

4,2%

Peugeot

3

12,5%

Renault

2

8,3%

Volks

5

20,8%

Total

24

100%


Freqüência absoluta: quantas vezes cada marca de automóvel foi citada.
Freqüência relativa: é dada em porcentagem. A marca Ford tem freqüência relativa
4 em 24 ou 4/24 ou ~0,166 ou 16,66% ou 16,7%.

domingo, 18 de abril de 2010

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:

* Se L <> ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO
TESTE
SÉRIE
CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA
COMENTÁRIOS
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO Image1.gif (932 bytes) DIVERGE se Nada se pode afirmar se series10.gif (490 bytes)
SÉRIE GEOMÉTRICA series36.gif (517 bytes) * CONVERGE e tem soma se | r | <>* DIVERGE se | r | maior.gif (296 bytes) 1

Útil para testes de comparação
SÉRIE-P series26.gif (497 bytes) * CONVERGE se p > 1

* DIVERGE se p menor.gif (295 bytes) 1

Útil para testes de comparação
da COMPARAÇÃO no limite Image1.gif (932 bytes)e series38.gif (391 bytes)

an > 0, bn > 0

* Se , series39.gif (354 bytes), então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.

* Se e CONVERGE, então CONVERGE.

* Se e DIVERGE, então DIVERGE.

A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.

de LEIBNIZ ALTERNADA

series40.gif (524 bytes)

an > 0

CONVERGE se:

*

* A série dos módulos é decrescente.

Aplicável somente a séries alternadas.

Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.

SÉRIE-P

SÉRIE-P

series26.gif (497 bytes)

CONVERGE se p > 1

DIVERGE se p1

Se p = 1, a série

é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.

SÉRIE ALTERNADA

É da forma:

series28.gif (1137 bytes)

SÉRIES DE POTÊNCIA

Séries de potências de x:

series34.gif (1019 bytes)

ou

Séries de potência de (x-c):

series32.gif (1297 bytes)

Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.

Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.

Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.

Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.

Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.

TESTE DE LEIBINZ

Uma série alternada CONVERGE se:

* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

* A série dos módulos é decrescente.

Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.

a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .

c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.

TEOREMA

TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA

Dada a série , diverge.



SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO: com adiferente.gif (293 bytes)0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

A série geométrica

Converge e tem soma se | r | <>

Diverge se | r | 1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam e duas séries de termos positivos. Então:

* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se e se converge, então também converge.

* Se e se diverge, então também diverge.

OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

series19.gif (491 bytes)

series20.gif (492 bytes)

series21.gif (453 bytes)

é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

series22.gif (1524 bytes)

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.