É papel do educador combater o medo de errar que inibe, as possibilidades de realização e satisfação. "Prof. Marcondes Diniz Martins"
sexta-feira, 30 de abril de 2010
Cálculos Percentuais Envolvendo Frequências Relativas
Os cálculos percentuais estão presentes em situações cotidianas e nos exames de classificação de diversas universidades. Observe o exercício a seguir, ele exige conhecimentos de porcentagem, cálculos estatísticos, espaço amostral, representação de frequência relativa, cálculo de probabilidade e processos de contagem.
Uma empresa de táxis tem como meta atender em, no máximo, 20 minutos pelo menos 94% das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito de forma ininterrupta por um funcionário que utiliza um aparelho de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 20 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresenta o seguinte desempenho:
Com base no enunciado do exercício, o número de chamadas não atendidas em 15 minutos não deve ultrapassar 6%.
Estabelecendo a freqüência relativa
Razões: 10/100, 15/200, 20/300, 25/400, 28/482.
10/100 = 0,1 = 10% > 6% → acima
15/200 = 0,075 = 7,5% > 6% → acima
20/300 = 0,066 = 6,6% > 6% → acima
25/400 = 0,0625 = 6,25% > 6% → acima
28/482 = 0,058 = 5,8% < 6% → meta atingida
Concluímos que a meta somente foi cumprida quando o total de chamadas acumuladas resultou em 482.
Frequência Absoluta e Frequência Relativa
A Estatística é uma ferramenta matemática muito utilizada em vários setores da sociedade, organizando dados de pesquisas e apresentando informações claras e objetivas. Iremos através de um exemplo construir uma tabela de freqüência absoluta e freqüência relativa de uma variável.
Exemplo
Às pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida?
Pedro: Ford | Bruna: Peugeot | Anete: Ford | Paulo: Peugeot | Célio: Volks | Manoel: GM |
Carlos: GM | Fred: Volks | Sérgio: Fiat | Gilson: GM | Rui: Fiat | Cláudia: Volks |
Antônio : Fiat | Márcio: Volks | Marcelo: GM | Ana: Nissan | Geraldo: Volks | Rita: Ford |
Pedro: Ford | Alicia: Renault | Meire: GM | Flávio: Peugeot | Lia: GM | Fabiano: Renault |
Construindo uma tabela para melhor dispor os dados:
Marcas | Frequência Absoluta (FA) | Frequência Relativa (FR) |
Ford | 4 | 16,7% |
Fiat | 3 | 12,5% |
GM | 6 | 25% |
Nissan | 1 | 4,2% |
Peugeot | 3 | 12,5% |
Renault | 2 | 8,3% |
Volks | 5 | 20,8% |
Total | 24 | 100% |
Freqüência relativa: é dada em porcentagem. A marca Ford tem freqüência relativa
4 em 24 ou 4/24 ou ~0,166 ou 16,66% ou 16,7%.
domingo, 18 de abril de 2010
CONVERGÊNCIA ABSOLUTA
CONVERGÊNCIA ABSOLUTA
Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos
é convergente.
Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.
TEOREMA
Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.
TESTE DE D'ALEMBERT
Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:
* Se L <> ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.
* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.
* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).
RESUMO
TESTE | SÉRIE | CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA | COMENTÁRIOS |
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO | DIVERGE se | Nada se pode afirmar se | |
SÉRIE GEOMÉTRICA | * CONVERGE e tem soma se | r | <>* DIVERGE se | r | 1 | Útil para testes de comparação | |
SÉRIE-P | * CONVERGE se p > 1 * DIVERGE se p 1 | Útil para testes de comparação | |
da COMPARAÇÃO no limite | e an > 0, bn > 0 | * Se , , então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM. * Se e CONVERGE, então CONVERGE. * Se e DIVERGE, então DIVERGE. | A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p. Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito. |
de LEIBNIZ | ALTERNADA an > 0 | CONVERGE se: * * A série dos módulos é decrescente. | Aplicável somente a séries alternadas. Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA. |
SÉRIE-P
SÉRIE-P
CONVERGE se p > 1
DIVERGE se p1
Se p = 1, a série
é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o teorema, é divergente.
SÉRIE ALTERNADA
É da forma:
SÉRIES DE POTÊNCIA
Séries de potências de x:
ou
Séries de potência de (x-c):
Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.
Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode convergir ou divergir.
Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.
Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.
Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste da razão.
TESTE DE LEIBINZ
Uma série alternada CONVERGE se:
* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.
* A série dos módulos é decrescente.
Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.
a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .
b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .
c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f é decrescente.
TEOREMA
TEOREMA
Se a série converge, então
OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.
* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:
TESTE DA DIVERGÊNCIA Dada a série , diverge. |
SÉRIE GEOMÉTRICA
TIPO: com a0
r é a razão.
Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
a = 1
r =
SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA
A série geométrica
Converge e tem soma se | r | <>
Diverge se | r | 1.
TESTE DA COMPARAÇÃO
Sejam e duas séries de termos positivos. Então:
* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.
* Se e se converge, então também converge.
* Se e se diverge, então também diverge.
OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de bn somente os termos de maior importância.
Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:
é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:
Logo, conclui-se que a série CONVERGE.