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segunda-feira, 8 de fevereiro de 2010

POTÊNCIAS

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido in = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 23

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 35

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

Notação: 23 = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

Notação: 35 = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)1 = 1/2

51 = 5

31 = 3

2) Expoente igual à zero (0)

50 = 1

60 = 1

70 = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 53 = 5 x 5 x 5 = 125

2) 40 = 1

3) 100 = 1

4) 201 = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 ÷ 2 = 24-1 = 23

2) 35 ÷ 32 = 35-2 = 32

3) 46 ÷ 43 = 46-3 = 43

Temos então: Im ÷ In = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 24 x 2 = 24+1 = 25

2) 35 x 32 = 35+2 = 37

3) 46 x 43 = 46+3 = 49

Temos então: Im x In = Im+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (23)4 = 212 , pois = 23 x 23 x 23 x 23

2) (32)3 = 36 , pois = 32 x 32 x 32

3) (42)5 = 410 , pois = 42 x 42 x 42 x 42 x 42

Temos então: (In)m = Inxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b5ya3 )4 = b20y4a12

2) (c2d2e5 )2 = c4d4e10

3) (d3a4 )3 = d9a12

Temos então: (I.T)m = I m x T m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2-4 = 1/24 = 1/16

2) 3-3 = 1/33 = 1/27

3) 4-2 = 1/42 = 1/16

Temos então: (I)-m = 1/I m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)4 = a4/b4 = b#0

2) (a2 /b4)3 = a6/b12 = b#0

3) (a3 /b2)3 = a9/b6 = b#0

Temos então: (a/b)m = am/bm b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 104 = 10000

b) 106 = 1000000

c) 107 = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.102

b) 7000 = 7.1000 = 7.103

c) 10.000 = 1.10000 = 1.104

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)2 = 4 / / (-2)4 = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)3 = 27 / / (-3)3 = -27

Observação importante: -22 # (-2) 2 , pois -22 = -4 e (-2) 2 = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Potências - Regras para multiplicação e divisão

Resumo

Regras para a multiplicação de potências :

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes

Regras para a divisão de potências :

Para dividir potências com o mesmo expoente, dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Para dividir potências com a mesma base mantêm-se a base e subtrai-se os expoentes

Potência de potência

Numa potência de potência mantêm-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Quadro resumo