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sábado, 19 de fevereiro de 2011

Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É muito frequente encontrarmos na literatura sobre os termos: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Notações comuns neste trabalho
Expressão geral Exemplo numérico
Sinal de divisão /
n! = 1.2.3...n 6!=1.2.3.4.5.6=720
C(n,p)=n!/[p!(n-p)!] C(6,2)=6!/[2!4!]=15
A(n,p)=n!/(n-p)! A(6,4)=6!/4!=30

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (pSimples

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Com repetição

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Condicional

Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Simples

São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Com repetição

Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Circulares

Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m) = (m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC

o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p

Simples

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Com repetição

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma

A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto

A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo

Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn.

De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege.

Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...3.2.1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como o fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!
0! = 1

Exemplo: De quantas formas podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}


Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

o que pode ser reescrito

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]

Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:


m!
C(m,p) = -----------


p! (m-p)!

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

10!
7!
5!
10!
C(10,3).C(10-3,2).C(10-3-2,5) = ---- x ---- x ---- x ----

3!7!
2!5!
5!0!
3!2!5!

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Consideremos o conjunto A = (a,b,c,d,e) e p = 6. As coleções (a,a,b,d,d,d); (b,b,b,c,d,e); (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos com pontos ¤ e vazios Ø onde cada ponto ¤ é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) <=> ¤¤Ø¤Øؤ¤¤Ø
(b,b,b,c,d,e) <=> ؤ¤¤Ø¤Ø¤Ø¤
(c,c,c,c,c,c) <=> Øؤ¤¤¤¤¤ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6 ¤ e 4 Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p) = C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p) = C(m-1,p) + C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10) = C(11,10)+C(11,9)=11×55=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

( n )
p

Exemplo:

( 8 ) = C(8,2) = 28
2

Observação: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de um número real r qualquer tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais indicar como sendo a combinação C(r,p). Como Pi=3,1415926535..., então:

( Pi ) = Pi(Pi-1)/2 = 3,36400587375
2

Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos C(m,p) =mp. Então:

(a+b)m = am + m1am-1b + m2 am-2b2 + m3 am-3 b3 +...+ mm bm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Vamos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m = am+m1am-1b +m2 am-2b2 +m3am-3b3+... +mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k):(a+b)k = ak + k1 ak-1b + k2 ak-2b2 + k3 ak-3b3 +...+ kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1 = ak+1 + (k+1)1 akb + (k+1)2 ak-1b2 +...+ (k+1)(k+1)bk+1

(a + b)k+1= (a + b).(a + b)k

(a + b).[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk]

a.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk] +
b.[ak + k1 ak-1 b + k2 ak-2 b2 + k3 ak-3 b3 + ... + kk bk]

ak+1 + k1 ak b + k2 ak-1 b2 + k3 ak-2 b3 + ... + kk a bk +
akb + k1 ak-1 b2 + k2 ak-2 b3 + k3 ak-3 b4 + ... + kk bk+1

ak+1 + [k1+1] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + ... + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1

ak+1 + [k1+k0] ak b + [k2+k1] ak-1 b2 + [k3+k2] ak-2 b3 + [k4+k3] ak-3 b4 + ... + [kk-1+kk-2] a2 bk-1 + [kk+kk-1] a bk + kk bk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0 = C(k,1) + C(k,0) = C(k+1,1) =(k+1)1
k2+k1 = C(k,2) + C(k,1) = C(k+1,2) =(k+1)2
k3+k2 = C(k,3) + C(k,2) = C(k+1,3) =(k+1)3
k4+k3 = C(k,4) + C(k,3) = C(k+1,4) =(k+1)4
... ... ... ... ... ...
kk-1+kk-2 = C(k,k-1) + C(k,k-2) = C(k+1,k-1) =(k+1)k-1
kk+kk-1 = C(k,k) + C(k,k-1) = C(k+1,k) =(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b)k+1 = ak+1 + (k+1)1 ak b + (k+1)2 ak-1 b2 + (k+1)3 ak-2 b3 +
(k+1)4 ak-3 b4 + ... + (k+1)k-1 a2 bk-1 + (k+1)k a bk + kk bk+1

que é o resultado desejado.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ÁRABE

Coube ao matemática italiano Leonardo de Piza (apelidado Fibonacci ) a glória de ter trazido para a Europa a numeração indo-arábica que veio substituir o complicado sistema inventado pelos romanos. No entanto, a introdução dos numerais indo-árabes encontrou oposição do público, visto que estes símbolos dificultavam a leitura dos livros dos mercadores.


Friso com inscrições árabes

A introdução dos dez símbolos na Europa Ocidental foi lenta. O primeiro manuscrito francês onde são encontrados data de 1275.

O sistema de numeração Árabe é o sistema de numeração da civilização Europeia. Também é denominado por sistema hindu, indo-árabe ou decimal. Teve a sua raiz nas línguas que estiveram na origem do latim e do grego e dos povos primitivos que o habitaram. Foi introduzido na Europa no final da Idade Média, contudo, o seu uso só foi generalizado no séc. XIV.

O sistema de numeração árabe ou decimal, (ou de base 10), é o mais utilizado nos dias de hoje.

Para representar todos os números, emprega apenas 10 símbolos diferentes, os chamados algarismos árabes. Estes símbolos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e zero (ou cifra - 0).

O símbolo correspondente a um número qualquer compõe-se de vários algarismos dispostos, uns a seguir aos outros, correspondendo, os seus lugares, às diferentes ordens, a começar pela direita. Estes lugares denominam-se por casas: casa das unidades, casa das dezenas, ...

Cada algarismo é, também, valorizado segundo a casa que ocupa, indicando a ordem dessas unidades, segundo a casa em que está situado. Não havendo unidades de certa ordem, a casa é ocupada por um zero. Deste modo, um algarismo colocado à esquerda de outro indica unidades da ordem imediatamente superior; colocado à direita, indica unidades de ordem imediatamente inferior.

No quadro seguinte estão indicadas as várias casas, as classes e os grupos, segundo a nomenclatura correspondente ao Sistema de Numeração Árabe (ou decimal):

Grupos

Classes Ordens
Triliões Triliões Dezenas de triliões
Triliões
Biliões Milhares

de biliões

Centenas de milhares de biliões
Dezenas de milhares de biliões
Milhares de biliões
Biliões Centenas de biliões
Dezenas de biliões
Biliões
Milhões Milhares

de milhões

Centenas de milhares de milhões
Dezenas de milhares de milhões
Milhares de milhão
Milhões Centenas de milhões
Dezenas de milhões
Milhões
Unidades Milhares Centenas de milhares
Dezenas de milhares
Milhares
Unidades Centenas
Dezenas
Unidades
Vejamos a seguinte representação num ábaco, a título de curiosidade:

Nos números de mais quatro algarismos, separam-se as classes por pequenos intervalos (grupos de três a três), para facilidade de leitura. As unidades das diferentes ordens estão relacionadas com a unidade simples segundo as potências de 10, o que dá o nome de decimal ao sistema e às unidades das diversas ordens: a dezena vale 10 unidades, a centena 102 unidades, o milhar 103, o milhão 108, o bilião 1012, o trilião 1018, … Deste modo um número cujos algarismos sejam an, an-1, an-2,… a2, a1, a 0 (onde os índices exprimem a ordem correspondente à casa que ocupam) equivale à seguinte soma: an×10n+an-1×10n-1+an-2×10n-2+…+a2×102+ +a1×101+a0×100 (chamada representação polinomial).

Vejamos os seguintes exemplos:

5 = 5×100;

99 = 9×101+9×100;

709 = 7×102+0×101+9×100;

543827 = 5 *105+4*104+3*103+8*102+ 2*101+7*100;

Podemos desta forma traduzir graficamente qualquer número representado foneticamente, escrevendo os algarismos que exprimem as unidades das diferentes ordens, da esquerda para a direita; e reciprocamente, para ler um número, divide-se este em classes, a partir da direita, e a seguir faz-se a leitura de cada grupo de classes, em separado, a começar pela esquerda.

Como por exemplo:

O número 5 lê-se da seguinte forma : cinco unidades;

O número 99 lê-se da seguinte maneira: noventa e nove unidades;

O número 709 lê-se da seguinte forma: setecentos e nove unidades;

O número 543827 lê-se da seguinte maneira: quinhentos e quarenta e três mil oitocentos e vinte sete unidades;

O número 43758953426287365205 lê-se da seguinte maneira: quarenta e três triliões, setecentos e cinquenta e oito mil e novecentos e cinquenta e três biliões, quatrocentos e vinte seis mil duzentos e oitenta e sete milhões, trezentos e sessenta e cinco mil duzentos e cinco unidades;

O sistema estende-se aos números decimais, com a criação das casas décimas, centésimas, milésimas,..., ordenadas segundo a mesma convenção das casa dos números inteiros, a que servem de continuação para a direita, e o emprego de uma virgula para assinalar a casa das unidades.

Vejamos as seguintes representações:

1. 128,09643251

2. 23,567890001

Fonte: www.educ.fc.ul.pt

Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);

Um ponto e uma reta que não contem o ponto;

Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;

Duas retas paralelas que não se sobrepõe;

Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;

Duas retas concorrentes;

Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br