TEOREMA

TEOREMA

Se a série converge, então

OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico tende a zero e que não são convergentes.

* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que constitui o:

TESTE DA DIVERGÊNCIA Dada a série , diverge.

SÉRIE GEOMÉTRICA

TIPO: com a0

r é a razão.

Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

a = 1

r =

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

A série geométrica

Converge e tem soma se | r | <>

Diverge se | r | 1.

TESTE DA COMPARAÇÃO

Sejam e duas séries de termos positivos. Então:

* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes.

* Se e se converge, então também converge.

* Se e se diverge, então também diverge.

OBS: Se a_n é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto no denominador de b_n somente os termos de maior importância.

Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:

é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste da comparação, temos:

Logo, conclui-se que a série CONVERGE.

Séries e Seqüências

SEQÜÊNCIAS

Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais.

A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

a₁ = f(1) ; a₂ = f(2) ; a₃ = f(3) ; ... ; a_n = f(n)

Notações:

{a_n} = {a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...}

a_n é o termo genérico da seqüência.

Exemplos:

1)

2)

Se, quando n cresce, a_n se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a seqüência {a_n} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:

Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.

TEOREMA DO SANDUÍCHE
Se {a_n}, {b_n}, {c_n} são seqüências tais que a_n b_n c_n para todo e se

então

SÉRIES

Definição: Se {a_n} é uma seqüência, então:

A soma infinita a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = é chamada série.

Cada número a_i é um termo da série;

a_n é o termo genérico de ordem n.

Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

------------------------

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS

S₁, S₂, S₃, ..., S_n, ...

Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.

Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a₁+a₂+a₃+...+a_n... = S

Se a seqüência {S_n} não tem limite, então a série DIVERGE.

Exercícios Alunos Helena Guerra

Microsoft word expressoes-algebricas

View more documents from Betão Betão.

Acho que agora vai dar para fazer !!! Quem não conseguir baixar visualizar e copiar resolvendo os exercícios !!!




ALUNOS COPIAR O EXERCÍCIOS NO CADERNOS PELA VISUALIZAÇÃO E RESOLVER .

Abraços !!!!

Trabalho Alunos E.E. Helena Guerra

Copie os exercícios no caderno e resolva .


Pagina 50 do livro exercícios 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Pagina 148 do livro exercícios 1,2,3,4,5,6,7,8

Amanhã vou postar mais uma lista de exercícios .

Com Capricho !
Bons Estudos !!!

Atividades para os alunos Helena Guerra

Exercicios de geometria

View more documents from Betão Betão.

ALUNOS COPIAR E RESOLVER OS EXERCÍCIOS NO CADERNO PELA VISUALIZAÇÃO !!


Abraços Betão

Prisma

Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser:

Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.

Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º.

Todos os prismas possuem área da base, área lateral, área total e volume. Todas essas medidas dependem do formato do polígono que se encontra nas bases; por exemplo, os prismas acima possuem em sua base um pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base devemos determinar a área do pentágono. No caso do prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem retângulos e a do prisma oblíquo é formada por paralelogramos.
A área total de um prisma é calculada somando a área lateral e o dobro da área da base. E o volume é determinado calculando a área da base multiplicada pela medida da altura.

Observe alguns exemplos de prismas:

Prisma Triangular Reto

Prisma Hexagonal Reto

Prisma Pentagonal Oblíquo

Prisma Quadrangular Oblíquo

A área do círculo

A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14.

A = π * r²

O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados).

Vamos determinar a área de algumas regiões circulares.

Exemplo 1

Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros.

A = π * r²
A = 3,14 * 20²
A = 3,14 * 400
A = 1256 m²


Serão necessários 1256 m² de grama.


Exemplo 2

Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros.

Área da região com raio medindo 10 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 m²

Área da região com raio medindo 3 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 3,14 * 9
A = 28,26 m²

Área da região em destaque
A = 314 – 28,26
A = 285,74 m²


Exemplo 3

Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados.

Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros.

A = π * r²
A = 3,14 * 6²
A = 3,14 * 36
A = 113,04 m²

Calculando 10%
10% = 10/100
10/100 * 113,04
11,30

Total de ladrilhos a serem comprados
113,04 + 11,30
124,34 m²

Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos.

Área do setor circular

O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem do centro para a circunferência. Esses segmentos de reta são os raios do círculo, veja a figura:



O ângulo α é chamado de ângulo central.

Dessa forma, percebemos que o setor circular é uma parte da região circular, ou seja, ele é uma fração da área do círculo. Assim podemos afirmar que a área do setor circular é diretamente proporcional ao valor de α, pois a área de todo o círculo é diretamente proporcional a 360º.

Assim podemos montar a seguinte relação (regra de três):

Área do setor ---------- α
Área do círculo -------- 360°

Asetor = α
πr² 360°

Asetor . 360° = α . πr²

Asetor = α . πr²
360°

Exemplo: Determine a área do setor circular de raio 6cm cujo ângulo central mede:

• 60°

Asetor = 60° . π6²
360°

Asetor = 60° . π 36
360°

Asetor = 6π cm²

• π/2

π/2 corresponde a 90°

Asetor = 90° . π6²
360°

Asetor = 90° . π36
360°

Asetor = 9π cm²

Medindo a área do arco de um círculo

A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcularemos a área de um segmento circular.

Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe:

360º ------------- π * r²
θº ------------------ x

onde:
π = 3,14
r = raio do círculo
θº = medida do ângulo central
x = área do arco

Exemplo 1

Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.
Resolução:

360º ------------- π * r²
32º ------------------ x

360x = 32 * π * r²
x = 32 * π * r² / 360
x = 32 * 3,14 * 2² / 360
x = 32 * 3,14 * 4 / 360
x = 401,92 / 360
x = 1,12

A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².



Exemplo 2

Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.

360º ------------- π * r²
120º ------------------ x


360x = 120 * π * r²
x = 120 * π * r² / 360
x = 120 * 3,14 * 12² / 360
x = 120 * 3,14 * 144 / 360
x = 54259,2 / 360
x = 150,7

A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².

Área da coroa circular

Considere uma circunferência inscrita em outra circunferência, ou seja, duas circunferências concêntricas (mesmo centro), a região plana delimitada por elas é chamada de coroa circular.

Veja ilustrações abaixo:



Assim, teremos dois raios: um da circunferência maior e outro da menor.



Pela figura podemos dizer que a área da coroa circular será igual à diferença da área dos dois círculos que formam a coroa:

Acoroa = Acírculo maior – Acírculo menor

Acoroa = (π . R2) - (π . r2)

Acoroa = π . (R2 - r2)

Exemplo: Determine a área da superfície colorida:



AC = AO/2
AO = 10

Como a região colorida é 1/4 da coroa circular, teremos que dividir por 4 a área total da coroa:

Acolorida = π(R2 - r2)
4

Acolorida = π(152 - 102)
4
Acolorida = π (225 – 100)
4
Acolorida = π 125
4
Acolorida = 125π cm2
4

Exemplo: A região colorida na figura abaixo tem 32 π/25 m2 de área. Se o raio do arco mede 4m, quanto mede o raio do menor?



360° : 45° = 8, isso significa que a parte pintada corresponde a 1/8 da coroa circular, assim podemos dizer que a coroa terá área igual a:

A coroa = 32 π/25 . 8 = 256 π / 25

Para descobrir o valor do raio menor basta aplicar a fórmula e fazer as devidas substituições:

Acoroa = π . (R2 - r2)

256 π / 25 = π . (42 - r2)

256 π / 25 = π . (16 – r2)

10,24 = 16 – r2

10,24 – 16 = – r2 (-1)

-10,24 + 16 = r2

5,76 = r2

2,4 = r

Combinação

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.


Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Resolução
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

Poderão ser formadas 4060 equipes.

Arranjos

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.



Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:

A_3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:



Exemplo 2:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula

A _{n , p} = n!
(n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

Permutação

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24

Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades