Séries e Seqüências

SEQÜÊNCIAS

Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos números reais.

A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).

a₁ = f(1) ; a₂ = f(2) ; a₃ = f(3) ; ... ; a_n = f(n)

Notações:

{a_n} = {a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...}

a_n é o termo genérico da seqüência.

Exemplos:

1)

2)

Se, quando n cresce, a_n se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se que a seqüência {a_n} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:

Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.

TEOREMA DO SANDUÍCHE
Se {a_n}, {b_n}, {c_n} são seqüências tais que a_n b_n c_n para todo e se

então

SÉRIES

Definição: Se {a_n} é uma seqüência, então:

A soma infinita a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... = é chamada série.

Cada número a_i é um termo da série;

a_n é o termo genérico de ordem n.

Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

------------------------

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS

S₁, S₂, S₃, ..., S_n, ...

Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.

Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a₁+a₂+a₃+...+a_n... = S

Se a seqüência {S_n} não tem limite, então a série DIVERGE.