Área do setor circular

O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem do centro para a circunferência. Esses segmentos de reta são os raios do círculo, veja a figura:



O ângulo α é chamado de ângulo central.

Dessa forma, percebemos que o setor circular é uma parte da região circular, ou seja, ele é uma fração da área do círculo. Assim podemos afirmar que a área do setor circular é diretamente proporcional ao valor de α, pois a área de todo o círculo é diretamente proporcional a 360º.

Assim podemos montar a seguinte relação (regra de três):

Área do setor ---------- α
Área do círculo -------- 360°

Asetor = α
πr² 360°

Asetor . 360° = α . πr²

Asetor = α . πr²
360°

Exemplo: Determine a área do setor circular de raio 6cm cujo ângulo central mede:

• 60°

Asetor = 60° . π6²
360°

Asetor = 60° . π 36
360°

Asetor = 6π cm²

• π/2

π/2 corresponde a 90°

Asetor = 90° . π6²
360°

Asetor = 90° . π36
360°

Asetor = 9π cm²

Medindo a área do arco de um círculo

A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcularemos a área de um segmento circular.

Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe:

360º ------------- π * r²
θº ------------------ x

onde:
π = 3,14
r = raio do círculo
θº = medida do ângulo central
x = área do arco

Exemplo 1

Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.
Resolução:

360º ------------- π * r²
32º ------------------ x

360x = 32 * π * r²
x = 32 * π * r² / 360
x = 32 * 3,14 * 2² / 360
x = 32 * 3,14 * 4 / 360
x = 401,92 / 360
x = 1,12

A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².



Exemplo 2

Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.

360º ------------- π * r²
120º ------------------ x


360x = 120 * π * r²
x = 120 * π * r² / 360
x = 120 * 3,14 * 12² / 360
x = 120 * 3,14 * 144 / 360
x = 54259,2 / 360
x = 150,7

A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².