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domingo, 18 de abril de 2010

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

CONVERGÊNCIA ABSOLUTA

Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos

é convergente.

Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.

TEOREMA

Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.

TESTE DE D'ALEMBERT

Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:

* Se L <> ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.

* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).

RESUMO
TESTE
SÉRIE
CONVERGÊNCIA ou DIVERGÊNCIA
COMENTÁRIOS
da DIVERGÊNCIA ou do N-ÉSIMO TERMO Image1.gif (932 bytes) DIVERGE se Nada se pode afirmar se series10.gif (490 bytes)
SÉRIE GEOMÉTRICA series36.gif (517 bytes) * CONVERGE e tem soma se | r | <>* DIVERGE se | r | maior.gif (296 bytes) 1

Útil para testes de comparação
SÉRIE-P series26.gif (497 bytes) * CONVERGE se p > 1

* DIVERGE se p menor.gif (295 bytes) 1

Útil para testes de comparação
da COMPARAÇÃO no limite Image1.gif (932 bytes)e series38.gif (391 bytes)

an > 0, bn > 0

* Se , series39.gif (354 bytes), então ambas as séries CONVERGEM ou ambas DIVERGEM.

* Se e CONVERGE, então CONVERGE.

* Se e DIVERGE, então DIVERGE.

A série de comparação , é, em geral, uma série geométrica ou uma série-p.

Para achar bn, consideram-se apenas os termos de an que têm maior efeito.

de LEIBNIZ ALTERNADA

series40.gif (524 bytes)

an > 0

CONVERGE se:

*

* A série dos módulos é decrescente.

Aplicável somente a séries alternadas.

Se o primeiro item é falso, aplica-se o TESTE DA DIVERGÊNCIA.

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