Grandes Matemáticos

Eudoxo de Cnidos

408 AC em Cnidos (península Resadiye), Ásia Menor (atual Turquia)

355 AC em Cnidos, Ásia Menor (atual Turquia)

Sabe-se que Eudoxo de Cnidos viajou a Tarento, atualmente na Itália, para estudar com Arquitas, que foi um discípulo de Pitágoras.

Eudoxo também visitou a Sicília, onde estudou medicina com Filiston, antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do médico Teomedon. Eudoxo passou dois meses em Atenas, certamente participando de seminários sobre filosofia com Platão e outros acadêmicos.

Eudoxo fez importantes contribuições para a teoria da proporção, criando uma definição que permitia a comparação de comprimentos irracionais de maneira análoga à multiplicação em cruz hoje existente. Uma das grandes dificuldades da Matemática naquele tempo era o fato de que certos comprimentos não são comparáveis. O método de comparar dois comprimentos x e y procurando um comprimento t tal que x = m.t e y = n.t para m e n inteiros não funcionava para segmentos de comprimentos 1 e 2, como mostrado pelo Teorema de Pitágoras.

Eudoxo resolveu o problema de comprimentos irracionais no sentido de que agora poderiam ser comparados comprimentos de qualquer natureza, irracionais ou não.

Outra contribuição de Eudoxo digna de nota foi seu trabalho em integração usando seu método da exaustão. Este trabalho emergiu diretamente de sua teoria de proporções, já que ele agora era capaz de comparar números irracionais. Este trabalho também se baseou em idéias mais antigas de aproximação da área do círculo por polígonos inscritos com um número crescente de lados (Antífon). Eudoxo formalizou a teoria de Antífon, provando rigorosamente os teoremas, anteriormente apresentados por Demócrito:

O volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma de mesmas base e altura.

O volume de um cone é um terço do volume do cilindro com mesmas base e altura.

Arquimedes atribuiu a prova destes teoremas a Eudoxo em seu trabalho Sobre a esfera e o cilindro e naturalmente Arquimedes usou o método de exaustão de Eudoxo para provar um conjunto memorável de teoremas.

Não podemos deixar de mencionar aqui o trabalho que talvez tenha tornado Eudoxo famoso, acerca de teoria planetária e publicado no livro Sobre velocidades, atualmente perdido. Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia Pitagórica através de seu mestre Arquitas, criando um sistema planetário inteiramente baseado em esferas (considerada por Pitágoras a forma perfeita).

O sistema Eudoxiano consiste de um determinado número de esferas de raios iguais em rotação, com eixos passando pelo centro da Terra. Cada eixo de rotação, por sua vez, também se rotaciona através de pontos fixos em outra esfera em rotação, gerando assim uma composição de movimentos.

Observando o diagrama a direita, suponha que tenhamos duas esferas S1 e S2 de mesmo raio, o eixo XY de S1 sendo o diâmetro da esfera S2. Conforme S2 rotaciona sobre o eixo AB, então o eixo XY de S1 rotaciona com ela. Se as duas esferas rotacionam com velocidades angulares constantes, porém opostas, então o ponto P no equador de S1 descreve um curva com formato de "8". Esta curva recebe o nome de hipopédia.

Eudoxo usou esta construção e considerou um planeta com sendo o ponto P "passeando" pela curva. Ele introduziu uma terceira esfera que correspondia ao movimento geral do planeta contra o fundo de estrelas, enquanto o movimento da hipopédia reproduzia o movimento retrógrado. Este sistema com três esferas era ainda inserido em uma quarta esfera, que reproduzia o movimento rotatório diário das estrelas.

Certamente o modelo não representa as verdadeiras trajetórias dos planetas, mesmo com um nível mínimo de precisão. De qualquer modo, talvez seja uma tendência moderna imaginar como Eudoxo desenvolveu uma teoria tão complexa sem testá-la com dados experimentais.