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sexta-feira, 14 de agosto de 2009

Equações Exponenciais

Equações Exponenciais

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Definição Função Exponencial

Observações, Propriedades e Exemplos:

  • A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
  • A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
  • A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
  • Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
  • Uma função f é dita crescente se dados x1 <>2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) <>2);
  • Uma função f é dita descrescente se x1 <>2 então f(x1) > f(x2);
  • No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 <>
  • A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
  • Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
  • Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
  • Exemplos de funções exponenciais:

Exemplos

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 1

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Teorema 2

Demonstração:

Demonstração Teorema 2

Daqui, pelo teorema T1 temos:

Demonstração Teorema 2

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 <>

Teorema 3

Demonstração:

Demonstração Teorema 3

Pelo teorema T1, vem que:

Demonstração Teorema 3

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 <>

Teorema 4

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Exemplos de Equações Exponenciais

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

  • Método de redução a uma base comum;
  • Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

Método de Redução a uma base comum

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Referência:

  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

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