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Postagem interessante !!!

O uso das figuras geométricas em questões algébricas

O conceito de produtos notáveis apareceu na Grécia em contextos de álgebra geométrica, ferramenta bastante empregada pelos gregos para lidar com situações que envolvessem números irracionais.

A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C.). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos ― desde os pitagóricos (século VI a.C.) até Euclides, Arquimedes (287-212 a.C.) e Apolônio (262-190 a.C.) ― já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição de situações essencialmente algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais.

Vários fatores podem ser associados a essa tradição, dentre eles a dificuldade de lidar, na época, com números irracionais e números racionais; inexistência de uma notação algébrica satisfatória (que surge somente no século XVI d.C.) e o avanço enorme da Geometria (que levaria de forma natural a emprega-la sempre que possível na representação de situações matemáticas). Portanto, era natural para os matemáticos gregos desse período adotar um estilo geométrico para o qual tinham gosto e habilidade.

No livro II de Os elementos se encontram algumas identidades algébricas, tais como:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² - b²

4ab + (a – b)² = (a + b)²

Entretanto, essas identidades não eram apresentadas dessa forma, pois, na época, não havia essas notações. Os gregos, desde os pitagóricos até a época de Euclides, pensavam nessas situações geometricamente.

Por exemplo, o produto “ab” era visto como um retângulo de base “a” e altura “b”. Assim a identidade (a + b)² = a² + 2ab + b² era pensada em termos do diagrama apresentado na figura abaixo:

e enunciada da seguinte maneira:

“Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm”.

Euclides deixou registrado esse resultado pitagórico na proposição 4 do livro II de Os elementos e a prova é dada diretamente pela interpretação geométrica da situação.

Na figura, “o quadrado sobre a linha toda” é o quadrado de ABDE, “os quadrados sobre as duas partes” são os quadrados de áreas a² e b² (em azul) e “duas vezes o retângulo que as partes contêm” são dois retângulos de área “ab” (em verde).

Essa proposição (4) é representativa da forma como os problemas que envolvem álgebra eram concebidos e apresentados. Seguramente, as tentativas de expressão de todas as situações algébricas surgidas naquela época, segundo a álgebra geométrica, podiam levar a construções muito complicadas. Em virtude disso, a álgebra geométrica necessita mais do que texto escrito para que seja bem entendida, por isso o uso de figuras.  


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FRACÕES ALGÉBRICAS

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Fatoração

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Hipérbole

Equação da Elipse

Piadas Matemáticas

O estudante, cansado de assistir aulas de Matemática, levanta a mão e confronta o professor:
- Eu acho que a gente nunca vai usar essas coisas na vida real.
O professor sorri e responde:
- É verdade, especialmente se a sua vida real não for nada mais que servir café na lanchonete.

Geometria Analítica: Circunferência Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Geometria Analítica: Circunferência
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Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
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Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação
 ( x - a)² + ( y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e :

    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)² + ( y - b )² = r², temos:

Assim:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
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   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.

   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

• 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

• 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

• 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

• 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

   Em relação à circunferência de equação ( x - a )² + ( y - b )² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência

    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )² + ( y - b )² - r²:

• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² =    0, então P pertence à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência.

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
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Equações da circunferência
Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência. Então:

    Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

Equação geral

   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

   A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16

   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Circunferência