Rafael Bombelli

Algebrista italiano nascido em Bologna, o mais importante da história da matemática da Itália, pioneiro no estudo sobre os números imaginários: sua principal publicação sobre álgebra, Álgebra, composto de cinco volumes, e com os livros IV e o V estivessem incompletos, só foi editada (1573) no ano seguinte à sua morte.

O mais velho dos seis filho de Antonio Mazzoli, cuja família havia chegado a Bologna no século anterior (1443). Com o controle da cidade tomado de Giovanni II Bentivoglio pelo papa Júlio II (1506), seu pai envolveu-se numa tentativa de retomado do poder pelos antigos governantes, os Bentivoglios, porém foram derrotados (1508), os cabeças dos Bentivoglios executados, sua família exilada e todos os bens confiscados.

Após vários anos de exílio os Mazzoli foram perdoados e Antonio Mazzoli pode voltar para Bologna, recuperar as propriedades da família e se tornou um bem-sucedido negociante no ramo de lãs. Embora não tenha tido educação universitária, mudou seu nome para Bombelli, na tentativa de disfarçar sua descendência e, depois de várias atividades menores, passou a trabalhar para um nobre romano, Alessandro Rufini, futuro bispo de Melfi.

Neste período interessou-se por matemática e envolveu-se na coqueluche da época que era a solução das cúbicas e quárticas, envolvendo del Ferro, Fior, Tartaglia, Cardano e Ferrari, teminando com o encontro entre Ferrari e Tartaglia, em Milão (1548). Estudou matemática com o professor Pier Francesco Clementi (1548), que era ligado ao papado, e quando seu patrão adquiriu os direitos sobre a região do Val di Chiana (1549), que passara a pertencer aos Estados Papais, ele foi encarregado de demarcar as fronteiras (1551-1555), quando teve de interromper os serviços por causa de uma reclamação dos vizinhos fronteiriços. Foi nesse período, enquanto aguardava o recomeço das demarcações, que resolveu escrever seu famoso livro de álgebra, partindo dos estudos de Cardano.

Ele começou a escrevê-lo quando o trabalho em Val di Chiana ainda estava suspenso (1557). Quando o trabalho recomeçou (1560) o livro ainda estava sendo escrito. Após uma visita ao professor da Universidade de Roma, Antonio Maria Pazzi, este lhe mostrou um manuscrito de Diofanto, Aritmética, que o deixou encantado e os dois resolveram fazer uma tradução, porém no seu livro III, a despeito de 143 dos 272 problemas existentes serem baseados nos escritos de Diofanto, ele não deu os devidos créditos ao grande matemático grego.

Desafortunadamente morreu, provavelmente em Roma, antes de completar os livros IV e V, porém sua criação mudou a história da álgebra. O pesquisador Bortolotti encontrou seus manuscritos numa biblioteca de Bologna (1923) e republicou seus cinco livros (1929), uma contribuição fundamental para o estudo dos números complexos. Em sua álgebra ele escreveu por exemplo:

MAIS vezes MAIS é igual a MAIS;
MENOS vezes MENOS é igual a MAIS;
MAIS vezes MENOS é igual a MENOS;
MENOS vezes MAIS é igual a MENOS;
+RAIZ QUADRADA DE -n . +RAIZ QUADRADA DE -n = - n;
+RAIZ QUADRADA DE -n . - RAIZ QUADRADA DE -n = +n;
- RAIZ QUADRADA DE -n . +RAIZ QUADRADA DE -n = +n;
- RAIZ QUADRADA DE -n . - RAIZ QUADRADA DE -n = - n.

Exemplos das notações empregadas por Bombelli

Em seu trabalho descreveu a adição, subtração e multiplicação dos números complexos e forneceu a correta solução das cúbicas empregando a fórmula Cardan-Tartaglia sempre que ocorressem situações com raízes quadradas de números negativos. Outra admirável contribuição do autor foi a larga, prática e renovadora notação empregando símbolos em suas expressões matemáticas. Com menos projeção também exerceu engenharia e arquitetura, principalmente em obras de pontes e drenagem de pântanos.

Tabela traduzida do site TURNBULL WWW SERVER:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

Fonte: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/

ROBERT RECORDE

Robert Recorde foi um matemático inglês, filho de Thomas Recorde e Rose Jones. Nasceu no ano de 1510 em Tenby, Wales (Inglaterra), e morreu em 1558 in Londres. É bastante conhecido por ter criado o sinal de igualdade (=), no ano de 1557. O símbolo de igualdade nem sempre foram os traços paralelos a que tanto estamos acostumados. No século XVI, François Viète foi o primeiro a usar a palavra aequalis, e mais tarde o sinal ~, para denotar a igualdade. No entanto, foi Robert Recorde que inventou o sinal =.

Em seu gabinete de trabalho, iluminado pela luz de uma vela, Robert Recorde estava debruçado sobre uma folha repleta de números e letras, com uma pena na mão. Tomando sua decisão, mergulhou a pena no tinteiro e desenhou um tracinho horizontal. Bem acima, desenhou um segundo traço do mesmo comprimento, rigorosamente paralelo.

____
____

Colocou a pena sobre a mesa, pegou a folha e ergueu-a esticando bem os braços. Ficou satisfeito com o sinal que havia criado. E com razão, visto que diante dele estava o que se tornaria o mais célebre sinal da matemática, o de igualdade. Pouco depois, quando o sinal já circulava no mundo dos matemáticos, interrogaram Recorde sobre o porquê da escolha. Ele justificava:

"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante que dois gêmeos".

Não sabe-se exatamente os tópicos que ele estudou, mas sabe-se que obteve o grau de B.A. em 1531, e naquele ano foi eleito membro do All Souls College, em Oxford. Robert Recorde praticamente estabeleceu a escola inglesa de matemáticos, fazendo a introdução da álgebra na Inglaterra.

Escreveu vários livros-texto elementares, e fez isso com uma política bastante deliberada. Tinha a idéia de produzir um curso completo de instrução matemática, e escreveu esses livros na ordem na qual ele achava que deveria ser estudada em um curso de matemática. Ele queria que esse curso estivesse disponível para qualquer pessoa, e não somente para poucos homens que podiam ler em latim ou grego. Então, ele escreveu todos esses livros em inglês e, tentando usar expressões claras e simples. Para isso, introduziu novas palavras inglesas equivalentes aos termos em latim ou grego em uso na época.

As idéias de Recorde eram desenvolvidas claramente, passo a passo, com os pontos difíceis sendo guardados até que o estudante obtivesse experiência suficiente para entendê-los. Em 1543, Recorde publicou The Grounde of Artes, um livro de aritmética de bastante sucesso:

...teaching the perfect work and practice of Arithmeticke etc.

nas próprias palavras de Recorde. O livro abordava operações com números arábicos, computação com contadores, proporções, regra de três, tudo sendo estudado aritmeticamente com números naturais. Houve uma segunda e uma terceira edição em 1549 e 1550. Em 1552, Recorde publicou também uma segunda versão ampliada do The Grounde of Artes, estendendo o trabalho da primeira edição.

Em 1551, Recorde escreveu a obra Pathwaie to Knowledge, que alguns consideravam como uma versão resumida dos "Elementos" de Euclides. Foi o único dos seus livros que ele escreveu na forma de diálogo entre mestre e estudante. Ele explicava porque os teorema são verdadeiros e dava diversos exemplos para fazer com que o estudante entendesse não só o que estava sendo ensinado, mas também porque aquilo estava sendo ensinado.

Em 1556 publicou The Castle of Knowledge, onde apresentou uma elementar introdução à versão de Ptolomeu sobre astronomia. Foi, portanto, um trabalho matemático sobre a esfera, e Recorde certamente leu os trabalhos de Ptolomeu, Proclus, Sacrobosco e Oronce Fine antes de escrevê-lo.

Em relação ao sinal de igual (=), ele apareceu no seu livro The Whetstone of Witte, publicado em 1557.

Fonte: Somatematica

Notação Científica

A notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. A segredo é multiplicar um numero pequeno por uma potência de 10.

A forma de uma Notação científica é: m . 10 ^e, onde m significa mantissa e E significa ordem de grandeza. A mantissa SEMPRE será um valor em módulo entre 1 e 10.

Transformando
Para transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:

200 000 000 000 » 2,00 000 000 000

note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, entao em notação cientifica este numero fica: 2 . 10¹¹.

Para com valores muito pequenos, é só mover a virgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza:

0,0000000586 » movendo a virgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 . 10^-8

-12.000.000.000.000 » -1,2 . 10¹³

Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n um número natural .

Exemplo:
B = (3x - 2y)⁴ ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Nota 1:
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)² = a² + 2ab + b²
b) (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³
c) (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴
d) (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Nota 2:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a³b² (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)⁷ será:
(a + b)⁷ = a⁷ + 7 a⁶b + 21 a⁵b² + 35 a⁴b³ + 35 a³b⁴ + 21 a²b⁵ + 7 ab⁶ + b⁷

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a²b⁵) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
(a + b)ⁿ são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)ⁿ é igual a 2ⁿ .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n é dado por

Tp+1 = Cn,p . an - p .bp (Fórmula do Termo geral de um binómio de Newton).

onde Cn,p = n! / [(n-p)! . p!] .

Obs :

1) o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio.

2)o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .

3) os coeficientes dos termos equidistantes (mesma distancia) dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .

4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Thomas Harriot

Renomado matemático algebrista e astrônomo inglês nascido em Oxford, fundador da escola inglesa de álgebra e introdutor de vários símbolos e notações empregados em álgebra ainda hoje como os sinais > (maior que) e < (menor que). Recebeu o bachelor's degree da University of Oxford (1580) e ingressou na vida profissional como matemático, astrônomo e pesquisador em ciências naturais financiado ao longo de sua vida científica por várias fontes como Sir Walter Raleigh, Henry Percy e o Nono Conde de Northumberland.
Pensando em explorar terras na América, foi enviado por Sir Walter Raleigh como conselheiro científico (1585-1586) em uma expedição a Roanoke Island, na costa americana de Carolina do Norte.
Das observações desta viagem publicou A Briefe and True Report of the New Found Land of Virginia (1588), reimpresso várias vezes e tornou-se o principal cientista no círculo de Raleigh e passou a recebeu uma pensão do Duque de Northumberland. Suas publicações foram prejudicadas por problemas políticos na Inglaterra, no reinado de Elizabeth I.
Sua principal obra matemática veio a ser publicada postumamente: Ars analyticae praxis (1631), demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias Também construiu telescópios, o primeiro foi feito na mesma época que o de Galileu, e estudava os cometas.
Descobriu as manchas solares e os satélites de Júpiter independentemente de Galileu porém não publicou suas descobertas. Descobriu a lei da refração (curvatura da luz) antes do notável matemático holandês Willebrod van Roijen Snell ou o eminente matemático e filósofo francês René Descartes, mas deixou de publicar sua descoberta. Morreu em Londres e sobre sua viagem a América do Norte (1585) como mensurador, publicou True report of the New-found land of Virgínia (1586). Também com seus alunos fez o estudo da topografia lunar, mas seu mapa da lua só foi publicado muito depois de sua morte (1965) como também sua descrição da topografia lunar (1788).

Grandes Matemáticos

Matemático e físico grego. Nascido em Siracusa-Sicília, por volta do ano 287 a.C, o seu nome é originário do grego Arkhimedes. Quando jovem muda-se para Alexandria, centro da atividade matemática, onde continua as aulas de Euclides. De volta à sua pátria, entrega-se por completo aos estudos científicos.

Segundo narração de Plutarco, general romano, refere as passagens relativas à luta travada pelos romanos para a posse da Sicília, especialmente para a conquista da cidade de Siracusa. Quando os Romanos atacaram Siracusa, Arquimedes dirige a defesa da sua cidade, para o que se serve de máquinas de guerra (catapultas, etc.). Após um longo assédio, as tropas de Marcelo entram na cidade. Segundo Plutarco, apesar das ordens de Marcelo para respeitar a vida do sábio, um soldado romano, irritado porque Arquimedes, absorto na resolução de um problema, não responde às suas intimações, mata-o. Cícero, questor da Sicília, encontra o seu túmulo, onde figura uma esfera inscrita num cilindro.

São bastantes as obras de Arquimedes que chegaram até aos nossos dias. Na matemática, destacam-se Da Esfera e do Cilindro, A Medida do Círculo, Dos Esferóides e dos Conóides e Das Linhas Espirais. Nas obras de mecânica há que citar, Do Equilíbrio dos Planos e Dos Corpos Flutuantes. Outros achados importantes, são A Quadratura da Parábola e O Método.

DEdicou-se a aritmética, mecânica e hidrostática. Atribuem-se a Arquimedes a invenção do parafuso sem fim, da espiral ou parafuso de Arquimedes (aparelho para elevar água por meio de um tubo enrolado em hélice à volta de um cilindro giratório sobre o seu eixo), de diversas combinações de roldanas para levantar pesos, da roda dentada, relação da circunferência com o diâmetro (o número pi), a quadratura da parábola, as propriedades das espirais, etc.

Há uma célebre anedota da Antiguidade relacionada com os estudos hidrostáticos de Arquimedes. Trata-se do chamado problema da coroa. Hiero, rei de Siracusa, encomenda uma coroa que paga como se fosse de ouro puro, mas posteriormente suspeita que o ourives fez mistura do ouro com prata. Arquimedes resolve o problema determinando o volume da coroa, para o que a submerge num recipiente completamente cheio de água e pesa de seguida o líquido derramado. Averigua assim a densidade da coroa e calcula a proporção de prata que o desleal ourives utiliza. Conta-se que Arquimedes inventa este procedimento quando, ao se introduzir num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transborda. Sai então do banho a gritar Eureka! (que em grego significa «Achei!»). O clássico enunciado deste princípio, chamado de Arquimedes, é o seguinte: todo o corpo submergido num fluido experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Formula também a teoria da alavanca simples, resumida numa frase célebre: «Dai-me um ponto de apoio e levantarei a Terra.

Equações modulares

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir:

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4.

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral:

Exemplos
a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10

c) |x – 4| =
x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4
– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x <1


Equações Modulares

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.

Exemplos de equações modulares:

|x| = 7

|x + 6| = x + 6

|x – 3| + 4x = 7

|x + 2| = 4

Formas de resolução


Exemplo 1

|x + 2| = 4
Condições:
x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4
Resolução:
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6

S = {–6; 2}


Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1
Condições:
|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.

|4x – 8| = x + 1
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1)

Resolução:
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3}


Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3|

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível)

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1

Solução: {1}


Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-modular.htm

MATEMÁTICA DE MENDIGO

MATEMÁTICA DE MENDIGO

Tenho que dar os parabéns ao estagiário que elaborou essa pesquisa, pois o resultado que ele conseguiu obter é a mais pura realidade.

Preste atenção...

Um sinal de trânsito muda de estado em média a cada 30 segundos (trinta segundos no vermelho e trinta no verde). Então, a cada minuto um mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,10, o que numa hora dará: 60 x 0,10 = R$6,00.

Se ele trabalhar 8 horas por dia, 25 dias por mês, num mês terá faturado: 25 x 8 x 6 = R$ 1.200,00.

Será que isso é uma conta maluca?

Bom, 6 reais por hora é uma conta bastante razoável para quem está no sinal, uma vez que, quem doa nunca dá somente 10 centavos e sim 20, 50 e às vezes até 1,00.

Mas, tudo bem, se ele faturar a metade: R$ 3,00 por hora terá R$600,00 no final do mês, que é o salário de um estagiário com carga de 35 horas semanais ou 7 horas por dia.

Ainda assim, quando ele consegue uma moeda de R$1,00 (o que não é raro), ele pode descansar tranqüilo debaixo de uma árvore por mais 9 viradas do sinal de trânsito, sem nenhum chefe pra 'encher o saco' por causa disto.

Mas considerando que é apenas teoria, vamos ao mundo real.

De posse destes dados fui entrevistar uma mulher que pede esmolas, e que sempre vejo trocar seus rendimentos na Panetiere (padaria em frente ao CEFET ). Então lhe perguntei quanto ela faturava por dia. Imagine o que ela respondeu?

É isso mesmo, de 35 a 40 reais em média o que dá (25 dias por mês) x 35 = 875 ou 25 x 40 = 1000, então na média R$ 937,50 e ela disse que não mendiga 8 horas por dia.

Moral da História :

É melhor ser mendigo do que estagiário (e muito menos PROFESSOR), e pelo visto, ser estagiário e professor, é pior que ser Mendigo..

Se esforce como mendigo e ganhe mais do que um estagiário ou um professor.

Estude a vida toda e peça esmolas; é mais fácil e melhor que arrumar emprego.

E lembre-se :

Mendigo não paga 1/3 do que ganha pra sustentar um bando de ladrão.

Viva a Matemática.

Que país é esse?

Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares

Animações

Sólidos e Planificações

Os sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.

Esses sólidos foram estudados por Arquimedes (287 - 252 a.C.), no entanto, os escritos originais deste autor estão perdidos. O quinto livro de “Mathematical Collection”, do matemático grego Pappus de Alexandria (cerca de 290 a 350 d.C.), faz referência aos estudos de Arquimedes sobre esses sólidos.

Os sólidos arquimedianos foram gradualmente sendo redescobertos durante o Renascimento, por vários artistas. Em 1619, na obra "Harmonices Mundi", Johanes Kepler (1571-1630) apresentou um estudo sistematizado sobre essa categoria de sólidos.

Sete dos treze arquimedianos (tetraedro truncado, cubo truncado, cuboctaedro, octaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado) podem ser obtidos truncando um poliedro platônico. Três séries de truncamento geram esses sete arquimedianos:

• cubo (platônico) – cubo truncado (arquimediano) – cuboctaedro (arquimediano) – octaedro truncado (arquimediano) – octaedro (platônico) (Figura 1).

Figura 1: Truncamento de vértices a partir do cubo

• tetraedro (platônico) – tetraedro truncado (arquimediano) - octaedro (platônico) (Figura 2).

Figura 2: Truncamento de vértices a partir do tetraedro

• icosaedro (platônico) – icosaedro truncado (arquimediano) – icosidodecaedro (arquimediano) – dodecaedro truncado (arquimediano) – dodecaedro (platônico).

Figura 3: Truncamento de vértices a partir do icosaedro

Para obter o cuboctaedro truncado, o rombicuboctaedro, o icosidodecaedro truncado e o rombicosidodecaedro não é suficiente o truncamento. É preciso combinar truncamento com um processo que transforme os retângulos, resultantes do truncamento, em quadrados (Figuras 4 e 5).

Figura 4: Processo de obtenção do Cuboctaedro Truncado e do Rombicuboctaedro

O processo mostrado na Figura 4 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas, é possível obter o rombicuboctaedro diretamente do cubo ou do octaedro.

Figura 5: Processo de obtenção do Icosidodecaedro Truncado e do Rombicosidodecaedro

O processo mostrado na Figura 5 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas, é possível obter o rombicosidodecaedro diretamente do icosaedro ou do dodecaedro.

Restam o cubo snub e dodecaedro snub, que não podem ser obtidos como os anteriores. Resumidamente, o processo de obtenção desses sólidos envolve mover, respectivamente, as faces do cubo e do dodecaedro para fora, de modo que estas não mais se toquem. Promover uma pequena rotação em seus centros (tudo no sentido horário ou tudo no sentido anti-horário) até que os espaços no meio possam ser preenchidos com triângulos eqüiláteros.

Por outros processos, o cubo snub e dodecaedro snub também podem ser obtidos respectivamente do octaedro e do icosaedro. Daí, também serem chamados de cuboctaedro snub e icosidodecaedro snub, respectivamente.

Cada um desses dois arquimedianos tem duas formas em que cada uma é a imagem num espelho da outra. São formas enantiomórficas, como uma mão vista ao espelho. Se essas formas fossem contadas separadamente, teríamos 15 arquimedianos. Mas, em geral, são considerados somente 13.

Figura 6: As duas formas do Cubo Snub (à esquerda) e do Dodecaedro Snub (à direita).

Os prismas cujas faces laterais são regulares são, por definição, arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, essas duas categorias de poliedros são infinitas e, em geral, não são incluídas na família dos arquimedianos.

Geralmente, utiliza-se a configuração do vértice para designar um sólido arquimediano. Por meio dessa notação exprime-se a seqüência das faces em torno de cada vértice. Por exemplo, a notação (3, 4, 3, 4) é referente ao cuboctaedro e significa que, em torno de cada vértice desse sólido, existe a seqüência de faces triângulo, quadrado, triângulo, quadrado (Figura 7).

Figura 7: Cuboctaedro (3,4,3,4).

Fonte :http://www.es.cefetcampos.br/poliedros/solidos_arquimedes.html

Como se calcula a área e perímetro de um quadrado.

A área é a quantidade de espaço na superfície. Calcular área é um dos exercícios mais pedidos em Matemática. Na Olimpíada de Matemática, Enem e vestibulares é comum encontrar questões que envolvam como calcular área.

Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado. Exemplo: O lado de um quadrado mede 8 cm.

A = L x L
A= 8×8
A= 64 cm

Perímetro

Perímetro é a soma dos lados de uma figura. Ainda usando as medidas do exemplo acima, vamos calcular qual é o perímetro de um quadrado.

P= L + L + L + L = 4xL
P= 4×8
P= 32

Portanto, o perímetro do quadrado do exemplo é 32 cm e área é 64 cm.

Perímetro e Área

Perímetro

O que é perímetro? E como o calculamos?

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.



Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.




Por exemplo:



O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3

P = 18 + 4 + 9 + 5

P = 22 + 14

P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro...

Área

Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:



Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:


Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

DICIONÁRIO MATEMÁTICO

Letra Q

QUADRADO - Um quadrilátero que tem todos os quatro ângulos retos e os quatro lados congruentes, paralelos dois a dois.



QUADRADO MÁGICO - Os números são dispostos em quadrados (3 x 3, 4 x 4, 5 x 5, ...) de modo que a soma dos números na vertical, na horizontal ou na diagonal é sempre a mesma.



QUADRADO PERFEITO - São os números que tem uma raiz quadrada inteira.



QUADRANTE - Uma região do plano cartesiano delimitada por duas semi-retas. O plano cartesiano possui 4 quadrantes.



QUADRICELULAR - que é dividido em células.



QUADRÍDUO - Espaço de quatro dias.



QUADRIÊNIO - Período de quatro anos.



QUADRILÁTERO - Um polígono com quatro lados.



QUÁDRUPLO - Multiplicado por quatro; quatro vezes maior.



QUARTETO - Trecho de música executado por quatro vozes ou por quatro instrumentos.



QUARTILHO - A quarta parte de uma camada.



QÜINDÊNIO - Período de quinze anos.



QUINÁRIO - Aplica-se esse adjetivo ao elemento que contém cinco partes. Exemplo: Compasso quinário.



QUINGENTÉSIMO - Ordinal correspondente ao Cardinal 500.



QUINHENTISMO - Relativo ao século XVI que vai de 1501 até 1600. Os escritores desse século são chamados quinhentistas.


QUINQUAGÉSIMO - Ordinal correspondente ao cardinal 50.


QÜINQÜENAL - Que dura cinco anos, ou que ocorre de cinco em cinco anos.


QÜINQÜENÁRIO - Que dura cinco anos, ou que ocorre de cinco em cinco anos.


QÜINQÜÊNIO - Período de cinco anos.


QÜINQÜÍDIO - Espaço de cinco dias.


QUINTETO - Composição musical de cinco instrumentos.


QUINTILHA - Estância de cinco versos.


QUINZENA - Período de quinze dias sucessivos. Uma das partes do mês dividido em duas partes iguais.


QUOCIENTE - O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o quociente é 2.

Letra R

RACIONALIZAR UMA FRAÇÃO - Obter uma fração equivalente à dada, onde o denominador seja um número racional. Exemplo:

RADIANO - Unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo central subtendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio desta mesma circunferência.

RAIO - O segmento de reta que liga o centro do círculo a qualquer ponto da circunferência do círculo.

RAIZ DE UMA FUNÇÃO - Valor de x para o qual f(x) = 0.

RAIZ QUADRADA - A raiz quadrada de um número N é um número a tal que a x a = N. De uma maneira geométrica podemos dizer que a raiz quadrada de N é o lado quadrado cuja área é N. A raiz quadrada de 16 é 4 pois 4 x 4 = 16.

RAZÃO (:) - Comparação de dois números ou duas quantidades obtida pelo quociente entre elas. A razão entre 6 e 3 é igual a 2 a razão entre 3 e 6 é igual 0.5.

O termo razão também pode significar a diferença entre termos consecutivos de uma progressão aritmética, ou o quociente entre dois termos consecutivos de uma progressão geométrica.

REAJUSTE - Ajuste que se faz no preço das tarifas.

RECÍPROCO DE UM NÚMERO - Dois números são recíprocos se o seu produto é igual a 1. Também chamado inverso.

REDE - Obtém um padrão quando se desenvolve um sólido, isto é, se estende a superfície exterior de um sólido para obter uma superfície plana.

REDUÇÃO (Sistemas) - Método de resolução de um sistema que consiste em obter para uma das incógnitas, coeficientes com o mesmo valor. Assim ao somar algebricamente 2 a 2 essas equações faz-se desaparecer essa incógnita.

REFLEXÃO - A formação dos pontos de um objeto de modo que a nova figura obtida se pareça como uma imagem refletida em um espelho.

REGRESSÃO LINEAR - Método para encontrar a reta que mais se aproxima de um conjunto de pontos.

RELAÇÃO DE EULER (lê-se:"Óiler") - Em um poliedro convexo, a soma do número V de vértices com o número F de faces é igual ao número A de arestas mais dois.

V + F = A + 2

RENDA PER CAPTA - Quantia representativa da renda de cada pessoa de um país.

RESTO - A quantidade que sobra após a divisão de um número inteiro por outro. Ao dividir 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.

RETA - (Conceito primitivo) É um conjunto infinito de pontos alinhados de tal forma que os segmentos com extremidades em dois quaisquer desses pontos têm sempre a mesma inclinação.

RETÂNGULO - Paralelogramo que possui todos os ângulos retos e lados iguais dois a dois.

RETÂNGULO DE OURO - Trata-se de um retângulo construído de forma que o quociente entre os lados seja igual ao número de ouro.

RETA NUMERADA - Uma reta graduada que tem o número 0 (zero) como ponto inicial, um número 1 (unidade) como ponto de referência e outros números em ordem crescente (por convenção: para a direita), relativamente à medida do segmento que começa em 0 e termina em 1.

RETÂNGULO - Um paralelogramo que tem 4 ângulos retos e os lados são paralelos e congruentes dois a dois.

RETAS CONCORRENTES - Retas que se cruzam.

RETAS OBLÍQUAS - Duas retas que se cortam com um ângulo não perpendicular.

RETAS PARALELAS - Retas que nunca se cruzam e que não estão sobrepostas.

RETAS PERPENDICULARES - Retas que se cruzam formando um ângulo reto.

REVOLUÇÃO - Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

ROTAÇÃO - Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.

Letra S

SECÇÕES CÔNICAS - Curvas que se obtém interseccionando uma superfície cônica por um plano. Conforme a posição do plano assim se obtém: ponto, circunferência, elipse, parábola, hipérbole.

SEGMENTO DE RETA - Parte de uma reta limitada entre dois pontos.

SEGUNDOS - Unidade de tempo traduzida por segundos = 1 minuto. Também chamamos segundos unidade de ângulos.

SEMANA - Espaço de sete dias. A palavra semana deriva-se de septum (sete) e mane (manhã ou dia).

SEMELHANTE - Diz-se que duas figuras são semelhantes se ambas são congruentes ou uma delas é uma ampliação ou redução da outra.

SEMICÍRCULO - Metade de um círculo, ou seja uma das partes do círculo delimitadas pelo diâmetro.

SENO (Sen) - Em um triângulo retângulo o sen A (ângulo agudo) é quociente entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

SENTENÇA DE UMA FUNÇÃO - sua definição expressa através de variáveis. Ex: f(x) = 3x + 5.

SEPTULO - Que vale sete vezes outro, ou que é sete vezes maior que outro.

SEPTUPLICAR - Tornar sete vezes maior. Multiplicar por sete.

SEPTENATO - Denominação pela qual ficou conhecido o governo da França, estabelecido em 1873 e com a duração de sete anos.

SEQÜÊNCIA - Números ou figuras geométricas dispostos em certa ordem. 1, 3, 5, 7, ... é a seqüência dos números ímpares, por exemplo.

SETEMBRO - No calendário romano era setembro o sétimo mês do ano. No calendário muçulmano o sétimo mês correspondente ao Ramadã, isto é, o mês da quaresma.

SEXAGESIMAL - Unidade que utiliza a base 60. Como no caso da medida de ângulos onde um grau tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos.

SÍMBOLO - Sinal gráfico que representa uma idéia matemática. Os números são escritos com símbolos chamados ALGARISMOS.

SIMÉTRICO - Uma figura em uma, duas ou três dimensões é dita simétrica se ela possui um ente de simetria (ponto, eixo ou plano), de modo que do outro lado deste ente de simetria a figura seja semelhante, porém invertida, como se tivesse sido colocada na frente de um espelho.

SINAIS - Há diversos sinais que são usados na escrita matemática, como, por exemplo, os sinais das operações e os próprios algarismos. Para comparar números são usados os sinais: > (maior que), < (menor que), (diferente que), = (igual a)

SISTEMA BINÁRIO - É um sistema de numeração que utiliza dois algarismos (0 e 1) para representar quantidades. Este é o sistema utilizado pelos computadores, pois precisamos de dois dígitos para representar as duas situações (ligado ou desligado) que ocorrem nos seus circuitos eletrônicos internos.

SISTEMA DECIMAL - É um sistema de numeração que utiliza dez algarismos para representar quantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

SISTEMA HEXADECIMAL - É um sistema de numeração que utiliza dezesseis algarismos para representar quantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Normalmente é vinculado à informática, pois os computadores interpretam as linguagens de programação em bytes, que são compostos de oito dígitos.

SISTEMA OCTAL - É um sistema de numeração que utiliza oito algarismos para representar quantidades. Ex.: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. É um sistema do tempo dos processadores de 8 bits. Atualmente este tipo de notação praticamente não é usado.

SISTEMA DE EQUAÇÕES - Conjunto de equações com as mesmas variáveis e que admitem as mesmas raízes.

SÓLIDO - Uma figura em três dimensões. Exemplos de sólidos são: cubo, paralelepípedo, pirâmide.

SOMA - Uma das principais operações básicas da aritmética, que resulta na adição de números.

SOMATÓRIO - Forma sintética de indicar uma adição de parcelas diferentes. O símbolo usado é um sigma maiúsculo. Exemplo: esta nomenclatura é o mesmo que escrever a soma de potências de 2 cujos expoentes vão de 1 a 5, ou seja 2 + 4 + 8 + 16 + 32.

SUBCONJUNTO - Diz-se que A é um subconjunto de B se todos os elementos de A pertencem a B.

SUBSTITUIÇÃO - Método de resolução de um sistema de equações que consiste em determinar em uma delas o valor de uma incógnita e substituir nas restantes equações, essa incógnita pelo valor encontrado.

SUBTRAÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, que objetiva retirar um número de outro. É uma operação artificial criada a partir da adição.

SUCESSÃO - Conjunto de objetos apresentados segundo uma certa sequência. Exemplo: Qual o número seguinte das sucessões: 1, 2, 3, 4.... e 7, 14, 21, 28, 35... São respectivamente 5 e 42.

SUCESSÃO DE FIBONACCI - Uma sucessão infinita onde cada termo é obtido pela adição dos dois anteriores. Na natureza ela aparece com frequência, por exemplo na distribuição das "pétalas" de uma pinha. Exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

SUPERFÍCIE - Um ente geométrico bidimensional suave (que não possui bicos) e que possui medida de área, isto é, uma região que pode ser planificada (colocada sobre um plano) de modo que a nova região planificada tenha a área equivalente a de um quadrado.

SUPERFÍCIE CILÍNDRICA - Superfície gerada por uma reta (geratriz) que se desloca paralelamente a si mesma e apoiada numa curva (diretriz).

SUPERFÍCIE CÔNICA - Superfície gerada por uma reta (geratriz) que se desloca apoiada em uma curva (diretriz) mantendo um ponto fixo (vértice).

Letra T

TABUADA - Tabela usada nas séries iniciais que contém as operações aritméticas fundamentais.

TANGENTE - Linha ou superfície que toca outra linha ou superfície em um só ponto sem haver intersecções.

TANGRAM - Conjunto de peças gráficas específicas que pode ser reunido para montar figuras geométricas. Muito utilizado nas atividades práticas de Geometria.

TENTATIVA E ERRO, CHUTE - Uma estratégia de resolução de problemas onde se faz uma escolha para viabilizar o resultado. Assim, procede-se várias vezes até que se chegue a alguma conclusão próxima ao objetivo para a resolução do problema.

TEODOLITO - Instrumento óptico para medir com precisão ângulos horizontais e ângulos verticais; muito usado em trabalhos topográficos e geodésicos.

TEOREMA - Proposição que, para se tornar evidente, precisa de demonstração.

TERMO - Um dos objetos matemáticos em uma operação.

TETRAEDRO - Um poliedro com 4 faces. Se o tetraedro for regular, ele terá 4 faces congruentes, 4 vértices e 6 arestas também congruentes.

TONELADA - (t) Medida de massa em que 1 tonelada = 1000 quilogramas.

TOTAL - O resultado de uma adição, subtração, multiplicação, divisão.

TRANFERIDOR - Um instrumento que serve para medir ângulos.

TRANSITIVA - Nas igualdades: se a = b e b = c, então a = c. Nas desigualdade: se a > b e b > c, então a > c ou se a <>

TRANSLAÇÃO - Movimentar uma figura por forma que todos os seus pontos se desloquem na mesma direção e sentido mantendo as distâncias entre eles. Transformação geométrica que respeita as características já apontadas.

TRAPEZÓIDE - que tem a forma de um trapézio; trapezoidal.

TRIGONOMETRIA - Ramo da matemática que estuda no triângulo as relações entre as medidas dos lados e amplitude dos ângulos.

TRIÂNGULO - Polígono de três lados.

TRIÂNGULO ACUTÂNGULO - todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.

TRIÂNGULO DE PASCAL - Uma forma de dispor números (na forma de triângulo) em que o elemento inicial e o final de cada linha são 1, e os outros elementos obtém-se somando o elemento que o precede e o que lhe sucede na linha anterior.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO - Os três lados têm medidas iguais (veja animação abaixo).

TRIÂNGULO ESCALENO - Os três lados têm medidas diferentes (veja animação abaixo).

TRIÂNGULO ISÓSCELES - Dois lados têm a mesma medida (veja animação abaixo).

TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO - Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90°.

TRIÂNGULO RETÂNGULO - Possui um ângulo interno reto (90 graus).

TRINÔMIO - Polinômio com três termos, três monômios.

Letras U/V

UNIÃO - Conjunto de todos os elementos pertencentes a dois ou mais conjuntos. Chama-se também reunião.

UNIDADE - A grandeza que serve de referência na medida. No caso da numeração o 1 é a unidade usada.

UNITÁRIO - Conjunto que tem um único elemento.

UNÍVOCA - Correspondência que faz com que um objeto corresponda a uma e somente uma imagem.

VALOR ABSOLUTO - O valor absoluto de um número real a, também chamado "módulo de a", é denotado por |a| e definido como o máximo valor entre a e -a, isto é:

|a| = max{a,-a}

VALOR POSICIONAL - O valor da posição de um algarismo depende de sua posição no número. No número 728, o algarismo 7 ocupa a posição das centenas, o 2 ocupa a posição das dezenas e o 8 a posição das unidades.

VARA - Medida antiga de comprimento equivalente a 1,10 m.

VARIÁVEL - A grandeza que pode ser mudada, ou melhor, cujo valor pode assumir diferentes grandezas. As letras mais usadas neste caso são as últimas letras do alfabeto: x, y e z, mas como mero hábito, já que a variável pode ser representada por qualquer símbolo. Exemplo: na equação f + 5 = 12, f é a variável ou incógnita, cujo valor determinado será 7.

VAZIO - Nome dado ao conjunto que não tem elementos. Representa-se por { } .

VELOCIDADE - Distância percorrida na unidade de tempo. Em um movimento uniforme pode-se calcular pela fórmula v = d / t.

VERTICAL - Reta perpendicular à horizontal. De outra maneira: reta na direção da força da gravidade (dirigida ao centro da terra).

VÉRTICE - O ponto de junção de duas semi-retas de um ângulo, de dois lados de um polígono ou de três (ou mais) faces de um sólido.

VETOR - Segmento de reta orientado, usado para a representação de forças, acelerações etc. Nessa representação aparece a grandeza (expressa pelo comprimento do segmento), a direção (dada pela reta) e o sentido (dado pela seta).

VETOR NULO - Vetor nulo ou vetor zero de um espaço vetorial.

VÍRGULA - É um sinal matemático que separa a parte inteira da parte decimal de um número.

VISTAS - Você pode olhar um objeto sob vários ângulos. Conforme o ângulo, você tem uma vista diferente desse objeto. Se você está em um avião sobrevoando uma cidade, você tem a vista superior da cidade. O mapa de uma cidade é a vista superior simplificada da cidade. A planta de uma casa também é a vista superior simplificada da casa.

VOLUME - O volume de um objeto é definido como a medida do lugar ocupado pelo objeto no espaço. Por exemplo, o volume de uma caixa é medido em cm³.

Letras X/Z

ZERO - Representação do nada. O mais recente dos algarismos. O ponto de separação dos números negativos e positivos na reta real.

ZERO DE UMA FUNÇÃO - Valor de x para o qual se tem f(x) = 0.

POTÊNCIAS

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

Notação: 2³ = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2

5¹ = 5

³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1

6⁰ = 1

7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2) 4⁰ = 1

3) 10⁰ = 1

4) 20¹ = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ ÷ 2 = 2^4-1 = 2³

2) 3⁵ ÷ 3² = 3^5-2 = 3²

3) 4⁶ ÷ 4³ = 4^6-3 = 4³

Temos então: I^m ÷ Iⁿ = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ x 2 = 2⁴⁺¹ = 2⁵

2) 3⁵ x 3² = 3⁵⁺² = 3⁷

3) 4⁶ x 4³ = 4⁶⁺³ = 4⁹

Temos então: I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴ = 2¹² , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³

2) (3²)³ = 3⁶ , pois = 3² x 3² x 3²

3) (4²)⁵ = 4¹⁰ , pois = 4² x 4² x 4² x 4² x 4²

Temos então: (Iⁿ)^m = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴ = b²⁰y⁴a¹²

2) (c²d²e⁵ )² = c⁴d⁴e¹⁰

3) (d³a⁴ )³ = d⁹a¹²

Temos então: (I.T)^m = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16

2) 3^-3 = 1/3³ = 1/27

3) 4^-2 = 1/4² = 1/16

Temos então: (I)^-m = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴ = a⁴/b⁴ = b#0

2) (a² /b⁴)³ = a⁶/b¹² = b#0

3) (a³ /b²)³ = a⁹/b⁶ = b#0

Temos então: (a/b)^m = a^m/b^m b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

b) 10⁶ = 1000000

c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

b) 7000 = 7.1000 = 7.10³

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4 / / (-2)⁴ = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27 / / (-3)³ = -27

Observação importante: -2² # (-2) ² , pois -2² = -4 e (-2) ² = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Potências - Regras para multiplicação e divisão

Resumo

Regras para a multiplicação de potências :

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes

Regras para a divisão de potências :

Para dividir potências com o mesmo expoente, dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Para dividir potências com a mesma base mantêm-se a base e subtrai-se os expoentes

Potência de potência

Numa potência de potência mantêm-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Quadro resumo