Estamos em 1175 na cidade de Pisa. Acaba de nascer o filho de um mercador que é batizado com o nome de Leonardo de Pisa mas que, com o passar do tempo, vai tornar-se famoso sob o nome de Fibonacci.
A ocupação de seu pai leva-o a viajar por diversas cidades do Próximo e do Médio Oriente. Durante as viagens, Fibonacci assimila conhecimentos matemáticos do mundo árabe e apercebe-se da beleza e do valor dos numerais hindu-árabes. É com muita determinação que começa a defender a sua adopção.
Os mercadores italinos mostram-se renitentes à modificação dos seus processos tradicionais. No entanto, através dos trabalhos de Fibonacci, bem assim como de outros importantes matemáticos, nomeadamente Alexandre de Villedieu e John de Halifax, o sistema hindu-árabe acaba por ser aceite e implementado.
Em 1202 Fibonacci regressa a Pisa. É aqui, na sua terra natal que publica o célebre Liber Abaci.
Em 1250 é com grande pena que vimos Fibonacci "partir".
Resta-nos agradecer-lhe os contribuiçõee preciosos que deixou à matemática.
Existem problemas matemáticos que na sua resolução utilizamos equações, expressões numéricas, iremos trabalhar agora com problemas que envolvem frações. Perceberemos como aplicar a noção de inteiros e parte desses inteiros quando eles assumirem valores reais.
Veja alguns exemplos e as explicações passo a passo de como encontrar a solução desse tipo de problema e de como a fração pode ser encontrada em situações problemas.
Exemplo 1:
Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?
Resolução: Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 meses do ano ele trabalhou 7 meses. A fração que corresponde ao tempo que ele trabalhou é . Como a situação problema
informou que o valor recebido no 13º salário é a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever que ele irá receber do salário normal. Como o salário dele é 516
reais, para descobrir quanto ele irá receber no 13º salário devemos encontrar: de 516, então 516 : 12 = 43 e 43 x 7 = 301.
Portanto, o salário que o trabalhador irá receber no seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 meses trabalhados durante o ano.
Exemplo 2:
João Carlos é operário e seu salário é apenas 520 reais por mês. Gasta com aluguel
e com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: do seu salário
foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?
Resolução: Para saber se o salário de João Carlos foi suficiente para pagar todas as suas despesas é preciso encontrar o valor que ele gastou com o pagamento do aluguel, com a alimentação e com os remédios. Então, veja: 1 de 520 = 520 : 4 x 1 = 130. 4
2 de 520 = 520 : 5 x 2 = 104 x 2 = 208 5
3 de 520 = 520 : 8 x 3 = 195. 8
Concluímos que ele gastou com essas despesas um total de 130+208+195 = 533 reais. Portanto, não sobrou nada de seu salário, pelo contrário, ele ficou devendo, pois suas despesas foram 13 reais a mais que seu salário.
Geronimo Cardano nasceu em Pavia (Lombardia, Itália) a 24 de Setembro de 1501. Cardano era filho ilegítimo (legitimado em 1524) de Clara Micheri e do jurista e doutor matemático milanês Fazio, amigo de Leonardo da Vinci.
Cresceu no meio de maus tratos, de doenças e de muitas infelicidades; apesar disso, mostrou uma extraordinária precocidade para os estudos: era já célebre como astrólogo e mago, antes de ter dado provas da sua invulgar aptidão para o estudo das ciências naturais e da Matemática.
Em 1526, depois de ter obtido o título de doutor em Medicina na Universidade de Pádua , começou imediatamente a exercer a sua actividade de médico em Siccolongo e, mais tarde, em Pádua. Em 1534 obteve a cadeira de Matemática em Milão, mas continuou a estudar Medicina, misturada com práticas de astrologia e de magia. A sua cultura enciclopédica e a sua poderosa inteligência, se bem que aliada a sua infantilidade, permitiram-lhe escrever sobre os assuntos mais diversos.
Cardano apercebendo-se do que Nicolò Tartaglia conhecia a regra de resolução das equações de 3ºgrau, conseguiu ser dela informado sob a promessa formal de a não divulgar. Quando se apercebeu de que o bolonhês Scipião Del Ferro tinha já anteriormente descoberto a fórmula, considerou-se desligado do juramento, divulgando então a descoberta na obra Grande Arte ou as Regras Algébricas. Com este incidente ganhou em Tartaglia um inimigo mortal, cujos escritos muito contribuíram para espalhar a lenda de um Cardano desonesto e corrompido.
Em 1560 um golpe terrível atingiu-o: o filho mais velho, acusado de ter morto a mulher, foi executado em Pavia. Em 1570 o tribunal de Inquisição encarcerou-o sobre a acusação de ter tirado o horóscopo de Jesus Cristo, sendo libertado, foi todavia impedido de fazer conferências.Em 1571 estabeleceu-se em Roma, entrou nas boas graças do Papa e obtevedele uma renda vitalícia que conservou até à morte. Geronimo Cardano faleceu em Roma a 21 de Setembro de 1576
Quadrilátero é a figura constituída por quatro pontos do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os unem. Para afastar, desde já, o caso do quadrilátero achatado, supõe-se que dos quatro pontos não há três que sejam colineares.
Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de reta que unem dois vértices opostos.
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°.
Quadriláteros do dia-a-dia:
Mesas, portas, janelas, paredes, livros, caixas, cédulas e outros tantos objetos que têm formato retangular estão ao alcance da vista e das mãos das pessoas.
Classificação de quadriláteros
Os quadriláteros podem ser considerados Trapézios ou Não Trapézios. O seguinte esquema ilustra a classifição dos diferentes tipos de quadriláteros.
Classificação de Quadriláteros.
Trapézios
Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.
Tipos de trapézios
Tipos de Trapézios
Trapézio Isósceles: Os lados opostos paralelos são de comprimentos diferentes, os lados opostos não paralelos são congruentes, e apresenta um eixo de simetria;
Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°, e não tem um eixo de simetria;
Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes, e os lados opostos não paralelos não são congruentes.
Paralelogramos
Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo. Um paralelogramo apresenta as seguintes características:
A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.
Tipos de Paralelogramos.
Tipos de Paralelogramos
Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Rectângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si;
A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o par ordenado que satisfaz, ao mesmo tempo, as duas equações.
Observe o exemplo:
Soluções da equação x + y = 7 (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1); etc. Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1,5); (3,4); (5,3); (7,2); etc.
O par ordenado (3,4) é a solução do sistema, pois satisfaz ao mesmo tempo as duas equações. Vamos construir o gráfico das duas equações e verificar se a intersecção das retas será o par ordenado (3,4).
Portanto, podemos verificar através da construção gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é o ponto de intersecção das duas retas correspondentes às duas equações.
Exemplo 2
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Sistema de equações
Podemos verificar através da representação gráfica que a solução do sistema de equações do 1º grau é x = 6 e y = 4. Par ordenado (6,4).
Podemos definimos o trapézio como um quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos é igual a 360º. O trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. O trapézio pode se classificar em:
Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos ( 90º). Trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais. Trapézio escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos diferentes.
Cálculo da área de uma região limitada por um trapézio
Consideremos um trapézio qualquer, traçando uma de suas diagonais, podemos dividi-lo em duas regiões triangulares de altura h e bases B e b.
Temos que a área de uma região triangular é dada por A = (b x h) / 2, então a área do trapézio será:
“Base maior mais base menor, multiplicado pela altura, dividido por dois.”
Exemplo 1 Calcule a área da seguinte região:
Exemplo 2 Calcule o valor de um lote que possui o formato de um trapézio, considerando que o valor do m2 é de R$ 42,00.
O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.
Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x2 + 3x – 10) : (x – 3).
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:
P(3) = R 32 + 3 * 3 – 10 = R 9 + 9 – 10 = R 18 – 10 = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Exemplo 2 Verifique se x5 – 2x4 + x3 + x – 2 é divisível por x – 1.
Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.
Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.
Oposto
O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.
Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = - 8 + 6i.
Conjugado
Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:
Exemplo: z = 5 – 9i, o seu conjugado será:
z = – 2 – 7i, o seu conjugado será
Igualdade
Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição: Partes imaginárias iguais Partes reais iguais
Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.
Observações:
A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero. z + (-z) = 0.
O conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.
Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.
Exemplo 1
Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.
Oposto - z = 2 - 6i
Conjugado
Oposto do conjugado
Exemplo 2
Determine a e b de modo que .
Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
2 - Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.
Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8!
3 - Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?
4 - Permutações simples
4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .
Exemplos:
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Exemplo:
Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
5 - Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução: Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.
6 - Arranjos simples
6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
Solução:
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10,3
7 - Combinações simples
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.
7.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Solução:
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48
Exercício resolvido:
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.
Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:
Assim:
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
Observações
De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos
2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.
Representação gráfica de um Par Ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.
Coordenadas Cartesianas
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:
A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:
Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
Localização de um Ponto
Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:
O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
Localize o ponto (4, 3).
Produto Cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:
Logo:
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde
. Como a situação problema
com aluguel
com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 
do seu salário
.
. Exemplos 
