Equações Exponenciais

Equações Exponenciais

INTRODUÇÃO

Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.

Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.

FUNÇÃO EXPONENCIAL

a) Definição

Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real a^x. Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:

• A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem a^x não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, a^x é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a⁰ = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
• Uma função f é dita crescente se dados x₁ <>2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x₁) <>2);
• Uma função f é dita descrescente se x₁ <>2 então f(x₁) > f(x₂);
• No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 <>
• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x₁ diferente de x₂ então f(x₁) é diferente de f(x₂). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
• Como a base a é maior que zero, temos que a^x > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
• Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.

T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.

T2. Dados a, x₁ e x₂ pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 <>

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:

T4. Dados a, x₁ e x₂ pertencentes aos conjunto dos reais, 0 <>

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

• Método de redução a uma base comum;
• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.

b) Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

c) Exercícios Resolvidos

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Poema Matemático

Resolução de equações

Uma equação é fogo para se resolver
é igualdade difícil e de grande porte
é necessário saber todas as regras
é ter até uma boa dose de sorte.

A primeira coisa a ter em conta
quando se olha uma equação
é ver se tem parênteses,
é que umas têm outras não.

Se tiver, é por aí que tudo deve começar.
Sinal "+" antes: fica tudo igual.
Mas tudo o que vem a seguir se deve trocar
se antes do parênteses o "-" for o sinal.

A seguir…alerta com os denominadores!
Todos têm que ter o mesmo para se poder
avançar.
Os sinais negativos antes de fracções
são degraus onde podem tropeçar.

É preciso não esquecer nenhum sinal
e estar atento ao coeficiente maroto
e se um termo não interessa de um lado
muda-se o sinal e passa-se para o outro.

Quando a incógnita estiver sozinha
podemos então dar a tarefa por finda.
E então,
sem nunca esquecer o que foi feito
escreve-se o conjunto solução

O Incentro

O Incentro
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semi-recta interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais. As bissetrizes dos ângulos internos dum triângulo interceptam-se num ponto chamado incentro I, que está à mesma distância (equidistante) dos lados do mencionado triângulo e é o centro de uma circunferência inscrita no mesmo.

O Ortocentro

O Ortocentro
A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado oposto. Um triângulo admite três alturas. As alturas (Ha,Hb e Hc) de um triângulo interceptam-se num ponto H,chamado ortocentro.

O Baricentro

O Baricentro A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice e o ponto médio do lado oposto. Um triângulo admite três medianas. As medianas de um triângulo interceptam-se num ponto chamado baricentro que dista dois terços do vértice da mediana correspondente (Teorema de Ceva). O baricentro é o centro de gravidade do triângulo. Isto quer dizer que, se suspendermos um triângulo de material homogéneo pelo seu baricentro, ele fica em equilíbrio.

equação fracionária

Toda equação fracionária possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:

Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?

Frações Algébricas

Frações Algébricas

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

Simplificação de frações algébricas:

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente.

Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.

Exs:

O Princípio de Indução Completa

As ciências naturais utilizam o método chamado de indução empírica para formular leis que devem regar determinar fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. Este tipo de procedimento, embora não seja logicamente correto, é freqüentemente satisfatório: por exemplo, ninguém duvidaria de que quando um corpo é liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da Terra, ele cai segundo a vertical local.

A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos permitirá concluir que ela é válida em geral. Com efeito, dada a expressão f(n) = n²-n+41, considere a seguinte afirmação: para cada inteiro positivo n, o valor de f(n) é um número primo (estamos supondo aqui que o leitor está familiarizado com a noção de número primo. Para n = 1 temos que f(1) = 41. Da mesma forma, f(2) = 43, f(3)=47, caso fossemos fazendo estas contas poderíamos verificar que a afirmação é verdadeira para os primeiros 40 valores de n. Porem para n= 41 temos que f(41) = 41x41 que não é um número primo. Consideremos então uma afirmação como a seguinte: a soma dos n primeiros inteiros positivos é igual a n(n+1), ou símbolos: 2

1 + 2 + 3 +...+ n - n(n+1)

2

Como verificar sua validade ? Evidentemente, é impossível demonstra-la em todos os casos particulares.

Para demonstrar a verdade deste tipo de propósito, que na realidade é uma seqüência infinita de proposições, uma para cada inteiro positivo - Introduziremos o chamado método de recorrência ou de Indução completa. Para isso, começaremos demonstrando o seguinte resultado:

Teorema - Sejam a um Inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a que tem as seguintes propriedades:

(i) a ÎS

(ii) Se um Inteiro k >= a pertence a S, então k+1 também pertence a S

Então S é o conjunto de todos os Inteiros maiores ou iguais a a

Demonstração

Suponhamos que a afirmação seja falsa. Então, o conjunta S’ dos Inteiros maiores ou iguais a a que não pertencem a S e não vazia (e limitado inferiormente por a). Conforme me a proposição existe m = mim S’.

Como a ÎS certamente a < a ="<">

Ainda, m-1 Ï S’, isto é, m-1 Î S. Conforme a propriedade (ii), ter-se-á então que m= (m-1)+i Î S, uma contradição, já que m Î S'.

Princípio de Indução Completa – 1ª.forma

Seja a um Inteiro dado. Suponhamos que para cada inteiro n >= a está dada uma afirmação A(n) de forma tal que:

(I) A(a) é verdadeira.

(II) Se para um Inteiro k>= a. A(k) é verdadeira, então A(k+1) é verdadeira.

Então a afirmação A(n) é verdadeira para todo Inteiro n >= a

Demonstração

Basta considerar o conjunto S dos Inteiros n >= a para os quais A(n) é verdadeira e verificar que está nas condições do teorema anterior. Assim, S contém todos os inteiros maiores ou iguais a a e segue a tese.

Exemplo - Provaremos agora que a formula

1 + 2 + ... + n =

é verdadeira para todo n >= 1

Para n= 1 a fórmula acima dá 1 = (1+1), 1=1.

2

Assim nossa afirmação é verdadeira para n=1. Deveremos mostrar agora que, se a afirmação é verdadeira para n= k, então também a verdadeira para n= k+1.

Estamos admitindo então como verdadeiro que

1+ 2 + ... + k = k( k+1)

2

Somando k + 1 a ambos os membros desta Igualdade temos:

1 + 2 +...+ k + (k+1) = k(k+1) + (k+1) a k(k+1) + 2(k+1)

2 2

é,

1 + 2 +...+k+(k+1) - (k+1) (k+2)

2

que é a fórmula correspondente a n = k+1, cuja validade queríamos demonstrar.

Os Famosos Juros

Calculando juros simples

Calcular juros nem sempre é tarefa fácil. Existem diferentes tipos de juros e cálculos e formulas especíicas para cada um deles. Neste estudo você irá aprender como calcular juros e entender a diferença entre juros simples e juros compostos.

Juros Simples

é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual

Em "A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples".

O raciocínio é:
Se o capital 100 produz 10 em um ano, então o capital 2.000 produzirá 600 em 3 anos.

Temos os seguintes dados:

O Capital é 99K C = 2:000
A Taxa é 99K i = 10(em % ao ano)
O tempo é 99K t = 5(em anos)
Os juros são 99K J = 600

Observações:
Denominamos juros simples aqueles que não são somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Se a taxa "i" for referida ao ano, m^es, dia etc, o tempo "t" também deveria ser tomado correspondentemente em anos, meses, dias, etc.

Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de 30 dias cada.

Técnica Operatória

Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema;
Grandezas

100... i... l
C... j.... t

Interpretação

Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital "c"produzirá "j" em "t" anos.

Quando resolvemos isolando "j", temos:

J = C.i.t
-----
100

Exemplos de cálculo de juros

1. Quanto renderia um capital de R$ 5.000,00 empregando a taxa de 5% a:a, em regime de juros simples, durante 3 anos?

Temos:

C = 5000;
I = 5;
T = 3;

Substituindo os respectivos valores na formula, temos:

J = 5000.5.3 = 750
--------
100

Assim, teria um rendimento de R$ 750,00.

Sistemas de equações

Sistemas de equações

Sistemas de equação do 1º grau

Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

1º) método da adição

Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.

EXEMPLO:



1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x



2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.



3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

2º) método da substituição

Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.

EXEMPLO:



1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.




2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.



3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.

y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

Teorema de Tales

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:


AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6



Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir: