4. Conectivos lógicos

Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.

Os principais conectivos lógicos são:

Equivalência lógica

Definição

Há equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.

Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔

O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova proposição P ↔ Q com valor lógico V ou F.

O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor lógico de P ↔ Q é sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia.

Exemplo

A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:



Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Veja a representação:

(p → q) ⇔ (~q → ~p)

Implicação lógica

Definição

A proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.

O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica.

Diferenciação dos símbolos → e ⇒

O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como resultado a proposição P → Q, com valor lógico V ou F.

O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia.

Exemplo

A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:



Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q)

. O conectivo e e a conjunção

O conectivo e e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p Λ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo

p = 2 é par
q = o céu é rosa

p Λ q = 2 é par e o céu é rosa



p = 9 < 6
q = 3 é par

p Λ q: 9 <>e 3 é par



p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil

p Λ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil

O conectivo não e a negação

O conectivo não e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

p = 7 é ímpar
~p = 7 não é ímpar



q = 24 é múltiplo de 5
~q = 24 não é múltiplo de 5

O conectivo ou e a disjunção

O conectivo ou e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p ∨ q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

p = 2 é par
q = o céu é rosa
p ν q = 2 é par ou o céu é rosa



p = 9 < 6
q = 3 é par
p ν q: = 9 <>ou 3 é par



p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil
p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil



p = O número 9 é par
q = O dobro de 50 é 100
p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100

O conectivo se e somente se e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.

O símbolo representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo

p = 24 é múltiplo de 3
q = 6 é ímpar
= 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.



p = 25 é quadrado perfeito
q = 8 > 3
= 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3



p = 27 é par
q = 6 é primo
= 27 é par se, e somente se, 6 é primo

O conectivo se... então... e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

P: 7 + 2 = 9
Q: 9 – 7 = 2
p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2



p = 7 + 5 < 4
q = 2 é um número primo
p → q: Se 7 + 5 <>então 2 é um número primo.



p = 24 é múltiplo de 3
q = 3 é par
p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.



p = 25 é múltiplo de 2
q = 12 < 3
p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

Operações lógicas com sentenças abertas

É possível efetuar as sentenças abertas de forma análoga à das proposições lógicas, através dos conectivos já apresentados: não, e, ou, se então, se e somente se.

Exemplo

Observando a condicional (x > 5) → (x > 2), em N, podemos notar que:

Proposições simples e compostas

As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...

As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...

Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.

Exemplo:

Proposições simples:

p: O número 24 é múltiplo de 3.
q: Brasília é a capital do Brasil.
r: 8 + 1 = 3 . 3
s: O número 7 é ímpar
t: O número 17 é primo

Proposições compostas

P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24.
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3.
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo.

Princípios fundamentais da lógica

Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo.

Principio do terceiro excluído: Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.

Proposição

Proposição ou sentença é um termo utilizado para exprimir idéias, através de um conjunto de palavras ou símbolos. Este conjunto descreve o conteúdo dessa idéia.

Sentenças abertas

Definições

Supondo que U seja um conjunto e x um elemento desse conjunto, podemos considerar que:

- U é um conjunto-universo e x a variável.

- a proposição p(x) será uma sentença aberta em U quando p(a) for verdadeira ou p(a) for falsa, ∀a ∈ U.

- se a ∈ U e p(a) for verdadeira, nesse caso a confirma p(x) ou a é a solução de p(x).

- O conjunto-verdade de p(x), em U, é formado por todos e somente os elementos de a ∈ U, onde p(a) é uma sentença verdadeira. Veja a representação deste conjunto: {a ∈ U| p(a) é V}.

Exemplos:

Tabela-Verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples.

A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.

Proposição composta do tipo P(p, q)



Proposição composta do tipo P(p, q, r)



Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)

A tabela-verdade possui 2⁴ = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.



Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)

A tabela-verdade possui 2ⁿ linhas e é formada igualmente as anteriores.

Tabela-Verdade de uma proposição composta

Exemplo

Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas proposições simples.

Resolução

Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 2⁴ = 4 linhas, logo:



Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q



b) Valores lógicos de ~p



c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)




d) Valores lógicos de p Λ q



e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p Λ q)

Tautologia, contradição e contingência

Tautologia

Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Exemplo

A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.



Exemplo

A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.



Contradição

Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

Exemplo

A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição.



Exemplo

A proposição ~(p ν q) Λ (p Λ q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F.



Contingência

Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.

Teorema contra-recíproco

A equivalência (p → q) ⇔ (~q → ~p), tem o seguinte significado:

Sendo p → q = V, nesse caso:

p ⇒ q é equivalente a (~q) ⇒ (~p)

Exemplo

b = 8 ⇒ b > 3 é equivalente a b <> ⇒ b ≠ 8

Valor lógico

Considerando os princípios citados acima, uma proposição é classificada como verdadeira ou falsa.

Sendo assim o valor lógico será:

- a verdade (V), quando se trata de uma proposição verdadeira.

- a falsidade (F), quando se trata de uma proposição falsa

Ensino Fundamental - Divisão

DIVISÃO

A operação divisão está ligado à idéia de repartir uma quantidade em partes iguais e à idéia de verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra.A divisão é a operação inversa da multiplicação. Os termos da divisão chamam-se dividendo e divisor e, o resultado da operação, quociente.

Técnicas Operatórias

Exemplo 01 Dividendo Divisor Quociente 8 : 4 = 2

Exemplo 02 46,87 |5,2 1) Igualar as casas decimais do dividendo e/ou divisor, acrescentando com Zeros (0) onde for o caso. 2) Cortar as vírgulas e efetuar a operação. Dividendo 46,87 |5,20 - Divisor - 468 9,01 - Quociente 0700 - 520 180 - Resto

Exemplo 03 783,5 |8,16 78350 |816 - 7344 96,01 4910 - 4896 1400 - 816 584

Exemplo 04 7,36 |0,5 736 |50 -50 14,72 236 -200 360 -350 100 -100 0

Exemplo 05 435 |762 4350 |762 -3810 0,57 5400 -5334 66

Exemplo 06 10201 |101 - 101 101 101 - 101 0 Fonte:http://adasantanna.vilabol.uol.com.br/

Ensino Fundamental - Multiplicação

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação é uma operação que pode estar associada à idéias de juntar quantidades iguais ou à idéia combinatória. Os termos da multiplicação chamam-se fatores e o resultado da operação, produto. O 1º fator é também conhecido como multiplicando e o 2º, como multiplicador.

Técnicas Operatórias

Exemplo 01 Multiplicando Multiplicador Produto 5.2 = 10

Exemplo 02 13,25 - 2 ordens decimais x 50,7 - 1 ordem decimal + 9275 6625 671,775 - 3 ordens decimais Seiscentos e setenta e um inteiros, setecentos e setenta e cinco milésimos (leitura por extenso). Exemplo 03 4567 - Multiplicando x 8,09 - Multiplicador + 41103 - 1º P. Parcial 36536 _ - 2º P. Parcial 36947,03 - Produto Final 3 - Centésimo 0 - Décimo 7 - Unidade Inteira ou Simples 4 - Dezena 9 - Centena 6 - Unidade de Milhar 3 - Dezena de Milhar Fonte:http://adasantanna.vilabol.uol.com.br/

Ensino Fundamental-Subtração

SUBTRAÇÃO

A subtração é uma operação que pode estar associada a três idéias diferentes:Tirar, Completar ou Comparar.A subtração é a operação inversa da adição. Os termos da subtração chamam-se minuendo e subtraendo e o resultado da operação, resto ou diferença.

Técnicas Operatórias

Exemplo 01 Minuendo Subtraendo Resto 8 - 3 = 5

Exemplo 02 86,97 - 3,6 - 11,13 = 1) Colocar vírgula debaixo de vírgula. 2) Completar com zeros e efetuar a operação. 86,97 - Minuendo - 3,60 - Subtraendo 11,13 - Subtraendo 72,24 - Resto e/ou Diferença 86,97 3,60 83,37 86,97 - 3,60 + 11,13 - 11,13 - 14,73 83,37 14,73 72,24 72,24 Setenta e dois inteiros e vinte e quatro centésimo (leitura por extenso). Fonte:http://adasantanna.vilabol.uol.com.br/

Ensino Fundamental- Adição

ADIÇÃO

A adição é uma operação ligada a situações que envolvem as ações de juntar ou

acrescentar quantidades. Os termos da adição chamam-se parcelas e o

resultado da operação, soma ou total.

Técnicas Operatórias

Exemplo 01 1ª parcela 2ª parcela Soma 8 + 3 = 11

Exemplo 02 3,07 + 5 + 2,53 = 1) Colocar vírgula debaixo de vírgula: 3,07 + 5 2,53 2) Completar com zeros e efetuar a operação: 3,07 - 1ª parcela + 5,00 - 2ª parcela 2,53 - 3ª parcela 10,60 - Soma e/ou Total Dez inteiros e sessenta centésimos (leitura por extenso) Fonte:http://adasantanna.vilabol.uol.com.br/

Congruência e Semelhança de Triângulos

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Poesia Matemática

Poesia Matemática

Millôr Fernandes


Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

Tudo sobre Millôr Fernandes e sua obra em "Biografias".

Medidas Agrárias

As medidas de superfície estão presentes em nosso cotidiano, principalmente em situações relacionadas à compra de um terreno, aquisição de uma casa ou apartamento, pintura de paredes, ladrilhamento de pisos, entre outras situações. O metro quadrado (m²) é a medida mais utilizada na medição de áreas, mas em algumas ocasiões, outras unidades de medidas como o km² são utilizadas. Por exemplo, na previsão da área de uma reserva florestal ou na medição de um lago de uma usina hidrelétrica, o km² é considerado uma medida mais usual, pois expressa superfícies de grandes extensões.

Mas vamos compreender o que significa m² e km².

São medidas que expressam qualquer superfície regular ou irregular, na forma de uma região quadrada. Se dizemos que uma área possui medida igual a 200 m², estamos ressaltando que sua superfície é composta de 200 quadrados, com lados medindo 1 metro. No caso de áreas com medidas expressas em km², como por exemplo, 100 km², estamos nos referindo a uma região que comporta 100 quadrados, com lados medindo 1 km.

No Brasil, além das unidades usuais referentes ao m² e ao km², as pessoas utilizam algumas medidas denominadas agrárias. Entre os proprietários de terras e corretores, as medidas utilizadas cotidianamente são as seguintes: are (a), hectare (ha) e o alqueire. Entre as medidas agrárias, o are é considerado a unidade de medida fundamental, correspondendo a uma superfície de 100 m², mas atualmente ele é pouco utilizado.
O hectare é ultimamente a medida mais empregada em área de fazendas, chácaras, sítios, regiões de plantações e loteamentos rurais, equivalendo a uma região de 10 000 m². O alqueire foi uma das medidas agrárias mais utilizadas pelos fazendeiros, mas atualmente ele é considerado uma medição imprópria, em virtude das diferentes quantidades de m² utilizados pelos estados brasileiros.

O alqueire paulista é equivalente a 24 200 m², o mineiro e o goiano correspondem a 48 400 m², enquanto que o alqueire da região Norte é igual a 27 225 m². Essa inconsistência de medidas entre os estados e a deficiência organizacional quanto à equiparação da unidade alqueire, tem contribuído para que os proprietários de terras abandonem esta unidade de medição, prevalecendo uma medida de padrão nacional, como o hectare.

Fonte : Brasil Escola

Revisando

A representação da quantidade de elementos de um conjunto é feita através de numerais ou símbolos matemáticos.
Por exemplo: O conjunto formado por 10 laranjas pode ser representado pelos numerais: 10, dez, X, uma dezena, ∩, ►.

Os numerais citados acima X, ∩, ► são respectivamente símbolos romano, egípcio e babilônico, utilizados para representar a quantidade de elementos de um conjunto.

Considerando o conjunto dos números naturais podemos destacar os seguintes numerais:

Numerais cardinais

Esses numerais utilizam os números pertencentes ao conjunto dos números naturais para representar a quantidade de elemento de um conjunto.
Exemplo: um, dois, três, quatro, cinco...

Numerais coletivos

Esses numerais são utilizados para representar quantidades específicas de um determinado conjunto, pois são variáveis em número e invariáveis em gênero.
Exemplo: dúzia (s), milheiro (s), milhar (es), dezena (s), centena (s), par (es), década (s).

Numeral ordinal

Esses numerais são utilizados para indicar a ordem dos elementos de um conjunto.
Exemplo: primeiro, segundo, terceiro.

Numeral multiplicativo

Esses são numerais que representam quantidades de um conjunto que podem ser expressas em forma de multiplicação.
Exemplo: dobro, triplo, quádruplo, ....

Numeral fracionário

Esses numerais são utilizados para representar partes de um inteiro (frações). Essas frações devem ser formadas através dos numerais cardinais.

Desafio

Olá matemáticos! Engenheiros! Contabilistas! Economistas! Inteligentes em geral !!!
Tentem resolver esta questão e depois vejam a resposta mais abaixo.
Dizem que foi uma das questões do vestibular da Fuvest e que provocou muita polêmica.

Qual o próximo número da seqüência abaixo?

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...


Resposta no comentários.

Depreciação Linear

É o sistema de depreciação que é aceito pela Receita Federal , ou seja aquele que o bem é depreciado em partes iguais durante a vida útil .

Formula :

D = Depreciação por periódica

P = valor ou custo inicial do bem.

VR = Valor residual

N = Vida útil

Exemplo: Qual será a depreciação anual de um equipamento que foi adquirido por

R$ 220.000,00 que terá uma vida útil de cinco anos e o valor residual após cinco anos será

nulo .

Resolvendo :

220.000,00 - 0 / 5 = 44.000,00

Calculando a depreciação anual

Ano valor contábil 220.000,00

Ano 1 valor contábil = 220.000,00 - 44.000,00 = 176.000,00

Ano 2 valor contábil = 176.000,00 - 44.000,00 = 132.000,00

Ano 3 valor contábil = 132.000,00 - 44.000,00 = 88.000,00

Ano 4 valor contábil = 88.000,00 - 44.000,00 = 44.000,00

Ano 5 valor contábil = 44.000,00 - 44.000,00 = 0,00

Peso x Massa !!!

É comum ouvirmos as seguintes frases: “Eu peso 85 kg”, “Estou acima do meu peso”, “O peso ideal para sua altura é 75 kg”. Popularmente, estamos associando a medida observada ao subirmos em uma balança à palavra peso. Essa argumentação utilizada por grande parte das pessoas está totalmente equivocada, pois não podemos relacionar peso com a massa de um corpo, que é a grandeza verificada na balança. As definições corretas são:

Peso é uma força “invisível” que atrai os corpos para a superfície da terra. Dessa forma, o nosso peso varia de acordo com o valor da gravidade, diferente em outros planetas e satélites naturais do sistema solar.
Massa é a quantidade de matéria presente em um corpo. Dizemos que a massa de uma pessoa é a mesma em qualquer lugar.

Por exemplo, vamos imaginar que uma pessoa tenha massa de 60 kg. De acordo com essa medida, podemos dizer que ela possui peso igual a aproximadamente 588 N (Newton). Vamos entender o valor desse peso:
Quando nos referimos ao peso, dizendo que seu valor depende da gravidade, então estamos colocando em prática a 2ª lei de Newton, demonstrada pela fórmula matemática: P = m * g. Nessa expressão, temos que:

P: peso
m: massa
g: aceleração da gravidade

Continuando com mais um exemplo, vamos determinar o peso de uma pessoa com massa igual a 57 kg, na terra, na lua e em outros planetas. Mas para isso, precisamos conhecer as acelerações da gravidade que estão presentes na tabela a seguir:

Uma pessoa com a massa igual a 57 kg possui os seguintes pesos:

Na terra
P = m * g → P = 57 * 9,8 → P = 558,6 N


Na lua
P = m * g → P = 57 * 1,67 → P = 95,19 N

Em Júpiter
P = 57 * 22,9 → P = 1 305,3 N

Em Plutão
P = 57 * 0,5 → P = 28,5 N

No sol
P = 57 * 274 → P = 15 618 N

Fonte : http://www.brasilescola.com

Curiosidade !!!

Os automóveis possuem potências variadas (de acordo com os motores), sendo que o consumo de combustível depende dessa potência e de outras variáveis.
O cálculo será apresentado a fim de que os donos de automóveis tomem conhecimento do consumo de seu veículo e verifiquem junto às montadoras se este consumo condiz com a natureza do mesmo.

1º passo: ao abastecer seu veículo registre a quantidade de combustível colocada no tanque.
2º passo: zerar o odômetro (marcador de distância, localizado no painel do veículo)

Ao verificar que o marcador de combustível está próximo da reserva, verifique os quilômetros rodados. O consumo será feito dividindo os quilômetros rodados pela quantidade de litros que fora abastecido anteriormente.




Exemplo

Um automóvel, foi abastecido com 50 litros de gasolina, percorrendo aproximadamente 460 Km. Qual o consumo médio do carro?

Km / l = (460 / 50) = 9,2

Aproximadamente 9,2 Km por litro de gasolina.


Fonte :http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-consumo-combustivel-um-automovel.htm

Limite de uma Função

A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.

Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: tende), isto é,
, se, tendendo x para o seu limite, de qualquer maneira, sem atingir o valor a, o módulo de f(x) – A se torna e permanece menor que qualquer valor positivo, predeterminado, por menor que seja.

Teoremas

1 – O limite da soma de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à soma dos seus limites.

2 – O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual a multiplicação de seus limites.

3 – O limite do quociente de duas ou mais funções de mesma variável deve ser igual à divisão de seus limites, ressaltando que o limite do divisor seja diferente de zero.

4 – O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real.

Devemos ter atenção em não supor que , pois depende do comportamento de f(x) para os valores de x próximos, mas diferentes de a, enquanto f(a) é o valor da função em x = a.


Determinando o limite de uma função

Gráfico da Função de 2º Grau

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual à zero, transformando a função numa equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

∆ > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

∆ = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

∆ <>

Pontos notáveis do gráfico de uma função do 2º grau

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

Lógica Pura

Lógica Pura - O Trem

Num certo trem, os empregados se dividiam em 3 pessoas:

O guarda-freio, o foguista e o maquinista.Seus nomes, por ordem alfabética, eram Afonso, Paulo Emílio e Rogério.No trem havia, também, 3 passageiros com os mesmos nomes: Sr. Afonso, Sr. Paulo Emílio e Sr. Rogério.São conhecidos os seguintes fatos:

1) O Sr Paulo Emílio vive em Detroit.

2) O guarda freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago.

3) O Sr. Afonso ganha, exatamente, 20.000 dólares por ano.

4) Rogério, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando sinuca.

5) Um vizinho do guarda freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos 3 passageiros mencionados, ganha exatamente o triplo do que ganha o guarda freio.

6) O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda freio.


Pergunta-se:
Qual o nome do maquinista?

Poste a sua resposta no comentários !!

"Resposta correta"
a) O guarda freio não é Paulo Emílio, por causa das afirmações 2 e 6. O guarda freio pode ser Rogério ou Afonso.

b) Se o Sr. Afonso ganha 20.000 mil dólares por ano, ele não é vizinho do guarda freio por causa da afirmação 5 (o salário deve ser divisível por 3). Logo, o Sr. Afonso não vive entre Detroit e Chicago (5) nem em Detroit (1). Ele deve morar em Chicago.
c) Pela afirmação 6, o guarda freio é Afonso. Se Afonso é o guarda freios, o foguista é Paulo Emílio, já que Rogério não pode ser o foguista (4).
d) Logo o maquinista é Rogério.

Fonte:http://www.uniblog.com.br/mat_blog/

NICOLAU COPÉRNICO

Matemático e astrônomo polonês, autor da Teoria Heliocêntrica, segundo a qual o sol é o verdadeiro centro do sol é o verdadeiro centro do sistema solar, devendo-se a sucessão de dias e noites, ao movimento da rotação da Terra sobre seu próprio eixo. Copérnico nasceu em Tourun, na Posnâmia (região polonesa as margens do Vístula) na fronteira com a Alemanha, à 19/02/1453, era filho de um comerciante que o deixou órfão, aos 10 anos. Sua tutela ficou à cargo de seu tio Lucius Waczenrade, Bispo de Erimland. E ele cresceu em meio ao período Renascentista, no qual o saber, bem como a cultura avançaram revulucionariamente. Também serviu a Igreja Católica, o que de certa forma foi positivo, pois lhe dava acesso ao saber entesourado da igreja .

Propriedades planetárias
Em 1491, ingressou na Universidade de Cracóvia, onde estudou, principalmente, matemática. Depois na Universidade de Bolonha estudou grego e em Pádua Medicina. Em 1500 voltou a Polônia, e já como monge, assumiu as funções de cônego em Frauenburg, exercendo a medicina. Como sua verdadeira paixão era a astronomia, teve sua atenção despertada pelo planeta Marte, e de suas observações, veio-lhe as perguntas: - Por que os planetas se tornavam cada vez maiores, mais brilhantes, ao longo de sua trajetória? - Ou cresciam, o que parecia absurdo? - Ou ficavam tão mais perto da Terra? O que certamente, os levava a sair dos epiciclos, onde deveriam permanecer... Diante de suas dúvidas, Copérnico, com sua tranquilidade característica, passou a estudar os pensadores antigos, que ousaram dar um movimento à Terra, e colocar o Sol como centro do Universo. Depois de minuciosos cálculos matemáticos, ele deduziu: A Terra executa um movimento completo em torno de seu eixo. Isso explicaria o movimento do Sol e das Estrelas, produzindo o dia e a noite. Novos cálculos o levaram a atribuir ao Sol o movimento anual, que na verdade é executado pela Terra.
Suas afirmações eram contrárias a Teoria Geocêntrica, que afirmava ser a Terra fixa, e que todos os demais astros, giravam em torno dela. A igreja fundamentava-se na Teoria Geocêntrica, e agia de modo bravio, contra qualquer conceito contrário a esta teoria. A Teoria Geocêntrica, também chamada de Teoria Ptolemaica , por ter sido elaborada por Cláudio Ptolomeu, astrônomo e geógrafo grego do séc. II, dizia que a Terra era imóvel e ao seu redor giravam a Lua, o Sol, os Planetas e as Estrelas. Durante 30 anos, Copérnico, analisando e meditando suas próprias observações, concluiu sua Teoria. Como uma de suas maiores características era ser prudente, de início, apresentou sua teoria como mera hipótese, já que naquela época eram comuns, as condenações por heresia.

As revelações
Copérnico, era eclesiástico, respeitava e temia as autoridades religiosas, para estas, a teoria de Ptolomeu era mais adequada para confirmar, as citações bíblicas, de modo conveniente para a igreja. Temendo contradizê-la, Copérnico, em 1530, apresentou sua teoria apenas entre os astrônomos, num manuscrito chamado Pequenos comentários de Nicolau Copérnico em torno de suas hipóteses sobre os movimentos celestes. Somente em 1540, permitiu que George Joaquim Rhäticus, seu discípulo, publicasse suas idéias, na obra Narrativa acerca das obras de Copérnico sobre revoluções.

Sua obra
Finalmente em 1543, esse mesmo discípulo, fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Copérnico - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese. Isto se deu sem o conhecimento de Copérnico, que teve exemplar nas mãos, já pronto, às portas de sua morte, em Frauenburg, à 24/05/1543, mesma data em que veio a falecer. Esta publicação, que tinha prefácio dedicado ao papa Paulo III, fora substituído por outro, anônimo, atribuído a Andreas Osiander, que insistia sobre o carater hipotético do novo sistema.
Só após 20 anos da divulgação da pesquisa de Copérnico, o frade dominicano Giordani Bruno acrescentou a Teoria, a idéia do Universo infinito, levantando novamente a polêmica. Por isso, a Inquisição, o condenou a morte. Justo nessa mesma época, iniciava como professor de Universidade Galileu Galilei, que finalmente fez solidificar a Teoria .
A obra de Copérnico foi comprovada por grandes astrônomos e matemáticos como Galileu, Kepler e Newton, mas até 1835, a Igreja a manteve em sua lista negra. Mas sua obra, considerada valiosa e pioneira lhe garantiu a posição de Pai da Astronomia Moderna.

Bhaskara

Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

• y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
• a famosa equação de Pell x² = N y² + 1
  Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).
  

Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

• EXEMPLO:
  para resolver as equações quadráticas da forma ax² + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
  "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x² = px + q e x² + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

• Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
  No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.
• Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
  Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.

Bibliografia: Informações do site da UFRGS.

André Marie Ampère

André Marie Ampère foi um matemático e físico francês. Nasceu em 1775 e morreu em 1836. Sua vida foi marcada por um grande brilho no campo dos conhecimentos. Aos 12 anos, já estava familiarizado com Matemática avançada. Ele viveria, contudo, grandes dissabores familiares: com 18 anos, no período da Revolução Francesa, seu pai foi guilhotinado durante uma sublevação na cidade de Lyon; com menos de 30 anos, perdeu a esposa, com quem estava casado havia pouco tempo. Foi professor de Física e Química, tornando-se depois professor de Matemática em Paris.

Em 1820, o dinamarquês Oesterd apresentou nessa cidade, na Academia Francesa de Ciências, sua descoberta: uma agulha imantada sofria desvio na vizinhança de um condutor metálico percorrido por corrente elétrica. Isso provocou enorme interesse entre os pesquisadores franceses, que se apressaram a investigar mais sobre o assunto. Um dos mais entusiasmados nessa tarefa era Ampère. De fato, apenas uma semana após aquela apresentação ele já conseguia representar, de maneira prática, o fenômeno do desvio da agulha. É o que hoje conecemos como regra de mão direita.

Até então, os fenômenos magnéticos só podiam ser observados com auxílio de materiais magnetizados, como ímãs ou limalha de ferro. Ampère, porém, descobriu outra maneira de mostrar a atração ou repulsão provocada por um fio percorrido por corrente. Para tanto, instalou outro fio eletrificado paralelamente ao primeiro. Quando a corrente percorria ambos no mesmo sentido, eles se atraíam, repelindo-se caso o sentido de uma delas fosse invertido. Ele também pesquisou o magnetismo provocado por uma corrente que percorre um fio disposto em círculo. Concluiu teoricamente que, se o fio estivesse enrolado em espiral, o resultado seria o mesmo produzido por uma barra imantada.

Podemos dizer que suas experiências abriram um novo terreno no estudo dos fenômenos elétricos: o da eletricidade em movimento, ou Eletrodinâmica. Seu trabalho é importante porque não se compõe apenas de descobertas e experimentos, mas porque ali os fenômenos elétricos e magnéticos são também descritos matematicamente. Em 1823, Ampère chegou a afirmar que as propriedades de um ímã eram causados por corrente elétricas diminutas, que circulavam em seu interior. Isso ocorreu mais de setenta anos antes que se conhecessem as partículas elétricas que se movimentam nos átomos, as quais, de fato, são responsáveis pelos campos magnéticos.

Bibliografia: Aprendendo Física, Editora Scipione.

Razões entre grandezas de espécies diferentes

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?
  Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:

• O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km². Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?
  Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km² (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?
  Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm³

Razão =

Razão = 7,8 g/cm³ (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm³ de ferro pesa 7,8g.