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quinta-feira, 3 de junho de 2010

4. Conectivos lógicos

Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.

Os principais conectivos lógicos são:

Equivalência lógica

Definição

Há equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional PQ for uma tautologia ou quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.

Diferenciação dos símbolos e ⇔

O símbolo representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova proposição PQ com valor lógico V ou F.

O símbolo representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P Q, ou ainda que o valor lógico de PQ é sempre V, ou então P Q é uma tautologia.

Exemplo

A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:



Portanto, p q é equivalente a ~q ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Veja a representação:

(p q) ⇔ (~q ~p)

Implicação lógica

Definição

A proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P Q for uma tautologia.

O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica.

Diferenciação dos símbolos e ⇒

O símbolo representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como resultado a proposição P Q, com valor lógico V ou F.

O símbolo representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de PQ, ou ainda que o valor lógico da condicional P Q será sempre V, ou então que P Q é uma tautologia.

Exemplo

A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:



Portanto, (p Λ q) (p q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (pq)

. O conectivo e e a conjunção

O conectivo e e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p Λ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo

p = 2 é par
q = o céu é rosa

p Λ q = 2 é par e o céu é rosa



p = 9 < 6
q = 3 é par

p Λ q: 9 <>e 3 é par



p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil

p Λ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil

O conectivo não e a negação

O conectivo não e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

p = 7 é ímpar
~p = 7 não é ímpar



q = 24 é múltiplo de 5
~q = 24 não é múltiplo de 5


O conectivo ou e a disjunção

O conectivo ou e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p ∨ q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

p = 2 é par
q = o céu é rosa
p ν q = 2 é par ou o céu é rosa



p = 9 < 6
q = 3 é par
p ν q: = 9 <>ou 3 é par



p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil
p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil



p = O número 9 é par
q = O dobro de 50 é 100
p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100


O conectivo se e somente se e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.

O símbolo representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo

p = 24 é múltiplo de 3
q = 6 é ímpar
= 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.



p = 25 é quadrado perfeito
q = 8 > 3
= 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3



p = 27 é par
q = 6 é primo
= 27 é par se, e somente se, 6 é primo

O conectivo se... então... e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:



Exemplo:

P: 7 + 2 = 9
Q: 9 – 7 = 2
p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2



p = 7 + 5 < 4
q = 2 é um número primo
p → q: Se 7 + 5 <>então 2 é um número primo.



p = 24 é múltiplo de 3
q = 3 é par
p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.



p = 25 é múltiplo de 2
q = 12 < 3
p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.


Operações lógicas com sentenças abertas

É possível efetuar as sentenças abertas de forma análoga à das proposições lógicas, através dos conectivos já apresentados: não, e, ou, se então, se e somente se.

Exemplo

Observando a condicional (x > 5) → (x > 2), em N, podemos notar que:

Proposições simples e compostas

As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...

As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...

Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.

Exemplo:

Proposições simples:

p: O número 24 é múltiplo de 3.
q: Brasília é a capital do Brasil.
r: 8 + 1 = 3 . 3
s: O número 7 é ímpar
t: O número 17 é primo

Proposições compostas

P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24.
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3.
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo.

Princípios fundamentais da lógica

Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo.

Principio do terceiro excluído: Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.

Proposição

Proposição ou sentença é um termo utilizado para exprimir idéias, através de um conjunto de palavras ou símbolos. Este conjunto descreve o conteúdo dessa idéia.

Sentenças abertas

Definições

Supondo que U seja um conjunto e x um elemento desse conjunto, podemos considerar que:

- U é um conjunto-universo e x a variável.

- a proposição p(x) será uma sentença aberta em U quando p(a) for verdadeira ou p(a) for falsa, ∀a ∈ U.

- se a ∈ U e p(a) for verdadeira, nesse caso a confirma p(x) ou a é a solução de p(x).

- O conjunto-verdade de p(x), em U, é formado por todos e somente os elementos de a ∈ U, onde p(a) é uma sentença verdadeira. Veja a representação deste conjunto: {a ∈ U| p(a) é V}.

Exemplos:


Tabela-Verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples.

A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.

Proposição composta do tipo P(p, q)



Proposição composta do tipo P(p, q, r)



Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)

A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.



Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)

A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.


Tabela-Verdade de uma proposição composta

Exemplo

Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas proposições simples.

Resolução

Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:



Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q



b) Valores lógicos de ~p



c) Valores lógicos de (p ν q) (~p)




d) Valores lógicos de p Λ q



e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) (~p)) (p Λ q)

Tautologia, contradição e contingência

Tautologia

Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Exemplo

A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.



Exemplo

A proposição (p Λ q) (p q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.



Contradição

Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

Exemplo

A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição.



Exemplo

A proposição ~(p ν q) Λ (p Λ q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F.



Contingência

Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.

Teorema contra-recíproco

A equivalência (p q) ⇔ (~q ~p), tem o seguinte significado:

Sendo p q = V, nesse caso:

p ⇒ q é equivalente a (~q) ⇒ (~p)

Exemplo

b = 8b > 3 é equivalente a b <> ⇒ b ≠ 8

Valor lógico

Considerando os princípios citados acima, uma proposição é classificada como verdadeira ou falsa.

Sendo assim o valor lógico será:

- a verdade (V), quando se trata de uma proposição verdadeira.

- a falsidade (F), quando se trata de uma proposição falsa


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