Cálculo do número de diagonais de um polígono

Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.

Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:

A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono.


Exemplo

Determine o número de diagonais de um polígono com:

a) 8 lados (octógono)

O octógono possui 20 diagonais.

b) 12 lados (dodecágono)

O dodecágono possui 54 diagonais.

c) 20 lados (icoságono)

O número de diagonais de um icoságono é igual a 170.

d) 3 lados (triângulo)

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.

Viagem Cósmica

Sinopse: Planeta Azul revela a Terra para nós como apenas poucas pessoas tiveram a oportunidade de conferir: vista do espaço. Orbitando 200 milhas acima da superfície terrestre, nós podemos ver as formações familiares: o majestoso Himalaia, o gigante deserto da Namíbia e suas dunas de areia e as preciosas ilhas do Caribe. Deste incomparável ponto de vista, podemos checar também as forças naturais - vulcões, terremotos e furacões, agindo sobre o planeta e como uma nova e poderosa força, a humanidade vem alterando a face da Terra. Das florestas equatoriais da Amazônia até as planícies do Serengeti.

Grandes Matemáticos

Andrei Andreyevich Markov nasceu no dia 14 de junho de 1856 em Ryazan, na Rússia. Morreu no dia 20 de julho de 1922 em Petrograd (agora St Petersburg), Rússia. Se formou na universidade de St Petersburg (1878), onde se tornou professor em 1886. Os primeiros trabalhos de Markov foram principalmente em teoria dos números e análise, frações contínuas, limites de integrais, teoria da aproximação e a convergência de séries.

Após 1900 Markov aplicou o método das frações contínuas, inicialmente desenvolvido por Pafnuty Chebyshev, na teoria da probabilidade. Ele também estudou sequências de variáveis mutuamente independentes, esperando estabelecer as leis da probabilidade de forma mais geral. Ele também provou o teorema do limite central.

Markov é particularmente lembrado pelo seu estudo de cadeias de Markov. Cadeias de Markov são um formalismo de modelagem de sistemas que descrevem o sistema como um processo estocástico. Deste ponto de vista o sistema modelado é caracterizado pelos seus estados e a forma pela qual eles se alternam..

Em 1923 Norbert Winter se tornou o primeiro a tratar rigorosamente um processo contínuo de Markov. A fundação da teoria geral ocorreu em 1930 por Andrei Kolmogorov.

Markov teve um filho (de mesmo nome) que nasceu em 9 de Setembro de 1903, que seguiu seu pai e também se tornou um renomado matemático.

Grandes Matemáticos

George Boole nasceu em 1815 e morreu em 1864. Matemático Britânico, nasceu em Lincoln a 2 de Novembro de 1815. Era filho de um sapateiro, não tendo assim condições financeiras para obter um grau elevado em termos de educação. Mas a sua determinação levaria a que ultrapassa-se esse obstáculo. Enquanto criança estudou na Escola Primária Lincoln, e depois numa Escola Comercial.

George Boole de inicio interessou-se por línguas, tendo aulas particulares de Latim com um Livreiro local. Aos doze anos de idade já conseguia traduzir um Poema Lírico em Latim, do poeta Horácio, demonstrando assim enormes capacidades. Aos 16 anos já era Professor Assistente, quatro anos mais tarde acabaria por fundar a sua própria Escola isto em 1835. Já a algum tempo que Boole estudava matemática sozinho, embora já seu Pai o tivesse estimulado quando era novo ao dar-lhe um ensaio de construção de Instrumentos Ópticos. Trabalhos de Laplace e Lagrange, eram alvo do estudo de Boole, através de notas que retirava. Recebeu encorajamento de Duncan Gregory, Editor de um Jornal Matemático, para estudar em Cambrige. Contudo não abandonaria seus Pais, que necessitavam dos seus cuidados. Em 1844, lançou um trabalho sobre, a Aplicação de métodos Algébricos, para a solução de Equações Diferenciais, recebendo uma medalha de Ouro da Royal Society.

A Analise Matemática da Lógica foi outro dos trabalhos publicados em 1847, que divulgou assim as ideias que tinha da Lógica Simbólica, assim a Lógica, apresentada por Aristóteles, poderá ser apresentada por Equações Algébricas. Boole disse inclusive. "Nós não necessitamos mais de associar Lógica e Metafísica, mas sim Lógica e Matemática".

Boole tornou-se rapidamente conhecido, e o seu trabalho e ideias reconhecidos por todos os Matemáticos Britânicos e não só. 1840 foi o ano em que foi eleito para ocupar o lugar de Professor principal de Matemática na Irlanda, em Queen´s College em Cork. E seria ali, que Boole iria permanecer para o resto da vida. Uma investigação sobre as Leis do Pensamento, seria em 1854 a sua nova publicação, onde estão cimentadas as Teorias da Lógica e das Probabilidades. Ele conseguiu aquilo que é conhecido como Álgebra de Boole, pois abordou a Lógica, de forma a reduzi-la a uma Álgebra simples, inserindo Lógica em Matemática. Boole casou em 1855, com Mary Everest.

Em 1857 foi eleito membro da Royal Society, e recebeu Honras e reconhecimento das Universidades de Dublin e Oxford. Um trabalho sobre Equações Diferenciais em 1859, e em 1860 sobre cálculo de diferenças finitas, e outro sobre Métodos Gerais nas Probabilidades, foram alvo da investigação de Boole. Publicou muitos trabalhos, e foi o primeiro a investigar a propriedade básica dos números, tal como a Propriedade Distributiva. Do seu casamento, com Mary Everest teve cinco filhas. Boole viria a falecer em 1864, com apenas 49 anos de idade vitima de Pneumonia. Hoje em dia a Álgebra de Boole, é aplicada na construção dos Computadores, sendo assim uma das razões fundamentais da revolução que os computadores estão a ter no mundo de hoje, aplica-se igualmente à pesquisa de Inteligência Artificial e na ligação dos telefones, entre muitas outras aplicações.

Boole foi e continua a ser considerado pelos colegas de profissão, e por todos aqueles que se dedicam à matemática, como tendo sido um homem genial. A lei especial da Lógica de Boole diz que x em relação a y = x. Para isso ser verdade, x = 1 ou x = 0. Sendo assim, a Lógica de Boole tem de utilizar um sistema Binário.

Grandes Matemáticos

• Filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.).
• Quando o filósofo Sócrates foi condenado à morte, em 399 a. C., pelo governo de Atenas (sob a acusação de "perverter a juventude" com seus ensinamentos filosóficos), Platão, que era seu discípulo, preferiu deixar a cidade. Passou então alguns anos percorrendo outras partes do mundo grego, desde o norte da África até a Itália, e nessas andanças tomou contato com os ensinamentos pitagóricos.
• Com 40 anos, retornou a Atenas e dedicou-se inteiramente à filosofia, fundando uma escola chamada "Academia".
• Sua obra filosófica está escrita em forma de diálogos. É nela, inclusive, que estão contidas as idéias de Sócrates (que deixou escritos).
• Segundo Platão, os sentidos físicos não nos revelam a verdadeira natureza das coisas. Por exemplo, ao observamos algo branco ou belo, jamais chegaremos a ver a brancura ou a beleza plenas, embora tragamos, dentro de nós, uma idéia do que elas são. Assim, as únicas coisas de fato permanentes e verdadeiras seriam as idéias. O mundo físico, por sua vez, não passaria de uma cópia imperfeita e mutável delas. Observar o mundo físico (tal como a ciência faz hoje em dia) pouco serviria, portanto, para alcançarmos uma compreensão da realidade, embora servisse para reconhecermos, ou recordamos, as idéias perfeitas que traríamos dentro de nós.
• O filósofo reconhecia na Matemática a importância de permitir realizar abstrações, aproximando-se assim do mundo perfeito das idéias. Talvez por isso tenha sido atribuído a ele o conceito dos cinco poliedros "perfeitos" (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, também conhecidos como poliedros de Platão), na verdade descritos por Pitágoras mais de cem anos antes. Esses sólidos geométricos expressariam, em suas formas regulares, a perfeição do mundo ideal.
• Os corpos celestes, por sua vez, descreveriam circunferências (pois esta seria a curva perfeita) em torno da Terra, mantendo-se em órbita por estarem presos a esferas cristalinas concêntricas.
• A Academia, que Platão fundou, se manteve em funcionamento após sua morte, aos 80 anos. Ela só seria fechada oito séculos depois, por ordem do imperador Justiniano. A filosofia platônica, porém, continuaria a ter influência sobre o pensamento da igreja até o século XIII, quando os conceitos de Aristóteles (384 a.C. - 322 a.C.) passariam a ser mais dominantes.
• Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.

Grandes Matemáticos

Blaise Pascal, francês; tinha como o pai, Etienne Pascal, e inclinação para a Matemática.

Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela.

Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinqüenta delas.

Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos.

Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa. sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo.

Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético. de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades.

Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, tornou-se responsável, com Fermat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática'' .

A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciência, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais'' e "Pensamentos".

Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal-estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última noticia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Grandes Matemáticos

Albert Einstein nasceu numa sexta-feira, dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha.

Ele foi o primeiro e único filho homem de Hermman Einstein e Pauline Koch.

Já nos primeiros anos de sua vida, Einstein provocava comentários. Sua mãe estava convencida de que o formato de sua cabeça era fora do comum e temia que tivesse algum problema mental, porque era muito lento para aprender a falar. Passou sua juventude em Munique, onde sua família possuía uma pequena oficina destinada à construção de máquinas elétricas. Einstein não falou até os 3 anos de idade, mas desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados.

Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana.

Albert cresceu forte e saudável, embora não gostasse de praticar esportes organizados. Era um garoto quieto e particularmente solitário, que preferia ler e ouvir música. Não gostava do regime monótono e do espírito sem imaginação da escola em Munique. Se considerasse os conselhos de um de seus professores teria abandonado a escola.

Quando sua família mudou-se para Milão, na Itália, Einstein tinha 15 anos. Nesta ocasião passou 1 ano com sua família em Milão. Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades.

Einstein não gostava dos métodos de instrução lá. Freqüentemente não assistia às aulas, usando o tempo para estudar Física ou tocar seu adorado violino. Passou nos exames e graduou-se em 1900. Seus professores não o tinham como grande aluno e não o recomendariam para uma posição na Universidade. Por dois anos Einstein trabalhou como tutor e professor substituto. Em 1902, assegurou uma posição como examinador no Escritório de Patentes da Suíça em Bern.

Em 1903, casou-se com Mileva Maric, que havia sido sua colega na Escola Politécnica.

Em 1905, após ter conseguido um emprego no serviço federal de patentes que o deixava com horas vagas para estudar os problemas da física contemporânea, o mundo tomou conhecimento de sua existência através da publicação de cinco artigos nos Annalen der Physik, revista científica alemã. No mesmo ano recebeu seu grau de Doutor pela Universidade de Zurique por uma dissertação teórica a respeito das dimensões de moléculas, e também publicou 3 trabalhos teóricos de grande importância para o desenvolvimento da Física do século 20. No primeiro desses trabalhos, sobre o Movimento Browniano, ele realizou previsões significantes sobre o movimento de partículas distribuídas aleatoriamente em um fluido. Tais previsões seriam confirmadas posteriormente, através de experiências.

O segundo Trabalho, sobre o Efeito Fotoelétrico, continha uma hipótese revolucionária a respeito da natureza da luz. Einstein não somente propôs que sob certas circunstâncias pode-se considerar a luz feita de partículas, mas também a hipótese que a energia carregada por qualquer partícula de luz, chamada de fóton, é proporcional à freqüência da radiação. Uma década mais tarde, o Físico americano Robert Andrews Millikan confirmou experimentalmente a teoria de Einstein.

Einstein, cuja preocupação primordial é compreender a natureza da radiação eletromagnética, desenvolveu posteriormente uma teoria que seria uma fusão dos modelos de partícula e onda para a luz. Novamente, poucos cientistas compreendiam ou aceitavam suas idéias.

A Teoria da Relatividade Especial - O terceiro grande Trabalho de Einstein em 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corposem Movimento", continha o que tornou-se conhecido como a Teoria Especial da Relatividade. Desde a época do Matemático e Físico inglês Isaac Newton, os filósofos naturais (como os físicos e químicos eram conhecidos) tentavam compreender a natureza da matéria e da radiação e como elas interagiam. Não existia uma explicação consistente para o modo como a radiação (a luz, por exemplo) e a matéria interagiam quando vistas de referenciais inerciais diferentes, isto é, uma interação vista simultaneamente por um observador em repouso e um observador movendo-se com velocidade constante.

No Outono de 1905, após considerar estes problemas por 10 anos, Einstein percebeu que o problema não se encontrava em uma teoria da matéria, mas em uma teoria relativa às medidas. Einstein desenvolveu, então, uma teoria baseada em dois postulados: o Princípio da Relatividade, que as leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e o Princípio da Invariância da velocidade da luz, onde a velocidade da luz no vácuo é uma constante universal. Assim, Einstein era capaz de dar uma descrição correta e consistente de eventos físicos em referenciais inerciais diferentes sem fazer suposições especiais sobre a natureza da matéria e da radiação, ou como elas interagiam. Virtualmente, ninguém compreendeu seus argumentos.

Einstein e a Teoria da Relatividade Geral - Mesmo antes de deixar o Escritório de Patentes em 1907, começara o trabalho de extender e generalizar o teoria da relatividade para todos os referenciais. Ele iniciou enunciando o Princípio da Equivalência, um postulado que campos gravitacionais são equivalentes à acelerações de referênciais. Por exemplo, uma pessoa em um elevador em movimento não pode, em princípio, decidir se a força que atua sobre ela é causada pela gravidade ou pela aceleração constante do elevador.

A Teoria da Relatividade Geral completa não foi publicada até 1916. Nesta teoria, as interações de corpos que até então haviam sido atribuídas às forças gravitacionais, são explicadas como a influência dos corpos sobre a geometria do espaço-tempo (espaço quadridimensional, uma abstração matemática, tendo as três dimensões do espaço Euclideano e o tempo como a quarta dimensão).

Baseado em sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein explicou as previamente inexplicáveis variações no movimento orbital dos planetas, e previu a inclinação da luz de estrelas na vizinhança de um corpo maciço, como o Sol. A confirmação deste último fenômeno durante um eclipse em 1919 tornou-se um grande evento, tornando Einstein famoso no mundo inteiro. Pelo resto de sua vida, Einstein devotou tempo considerável para generalizar ainda mais esta Teoria.

Seu último esforço, a Teoria do Campo Unificado, que não foi inteiramente um sucesso, foi uma tentativa de compreender todas as interações físicas - incluíndo as interações eletromagnéticas e as interações forte e fraca - em termos da modificação da geometria do espaço-tempo entre as entidades interagentes.

Entre 1915 e 1930 a grande preocupação da Física estava no desenvolvimento de uma nova concepção do caráter fundamental da matéria, conhecida como Teoria Quântica. Esta teoria continha a característica da dualidade partícula-onda (a luz exibe propriedades de partícula, assim como de onda), assim como o Princípio da Incerteza, que estabelece que a precisão nos processos de medidas é limitada. Einstein, entretanto, não aceitaria tais noções e criticou seu desenvolvimento até o final da sua vida. Disse Einstein uma vez: "Deus não joga dados com o mundo".

Durante a I Guerra Mundial, com cidadania suíça, ele trabalhou na generalização de sua teoria para os sistemas acelerados. Elaborou então, uma nova teoria da gravitação em que a clássica teoria de Newton assume papel particular. Einstein, com o passar dos anos, continua a não aceitar completamente diversas teorias. Por exemplo, Einstein não aceitava o princípio de Heisenberg que o universo estivesse abandonado ao acaso. "Deus pode ser perspicaz, mas não é malicioso.", disse ele sobre este princípio que destruía o determinismo que estava ancorada a ciência desde a Grécia Antiga.

O Nobel - Einstein, o Cidadão do Mundo. Após 1919, Einstein tornou-se internacionalmente reconhecido. Ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1921 pelo seu estudo do campo fotoelétrico, e não pela teoria da relatividade, ainda controvertida. Sua visita a qualquer parte do mundo tornava-se um evento nacional; fotógrafos e repórteres o seguiam em qualquer lugar.

O Homem Político - Einstein aceitou uma cátedra no Institute for Advance Study, em Princeton, Estados Unidos e, em 1940, adquiriu cidadania americana após o surgimento da II Guerra Mundial, em 1939. Einstein sempre assumiu posições públicas sobre os grandes problemas de sua época, fosse a respeito da existência do Estado de Israel, da União Soviética, da luta contra o nazismo, ou, após a II Guerra Mundial, contra a fabricação de armas nucleares. Einstein entregou uma carta ao presidente americano advertindo-o da possibilidade de os alemães fabricarem sua própria bomba, no entanto, a carta levou os EUA a fabricarem a sua. Num último apelo, Einstein escreveu ao presidente Theodore Roosevelt, que morreu sem ao menos ler a carta. Truman, seu sucessor, ignorou-a e lançou a bomba atômica em Hiroshima e, três dias depois, em Nagasaki, no Japão. Em 1922, Einstein tornou-se membro do Comitê de Cooperação Intelectual da Liga das Nações. Em 1925, juntamente com o líder dos direitos civis indianos Mahatma Gandhi, trabalhou numa campanha pela abolição do serviço militar obrigatório. E, em 1930, Einstein colocou novamente seu nome em outro importante manifesto internacional, desta vez organizado pela Liga Internacional da Mulher pela Paz e Liberdade. Pedia o desarmamento internacional como sendo a melhor maneira de assegurar uma contínua paz. Envolveu-se ainda em várias causas sociais.

Em 1925, Albert Einstein veio ao Brasil. Esteve no Rio de Janeiro, em visita a instituições científicas e culturais. Proferiu duas conferências: na Academia Brasileira de Ciências e no Instituto de Engenharia do Rio de Janeiro.

Quando Adolf Hitler começou seu governo na Alemanha, Einstein decidiu deixar a Alemanha imediatamente. Foi para os Estados Unidos e ocupou uma posição no Instituto para Estudos Avançados em Princeton, New Jersey.

Quando a morte de Einstein foi anunciada em 1955, a notícia apareceu nas primeiras páginas dos jornais de todo o mundo: "Morreu um dos maiores homens do século 20".

Texto extraído da coleção Aprendendo Física, Editora Scipione, 1996.

Grandes Matemáticos

Galileu Galilei foi responsável por uma revolução na física e na astronomia

O pai de Galileu Galilei queria que ele fosse médico e o mandou estudar em Pisa. Mas o jovem estava mais interessado em física e matemática. A vocação do aluno também descontentou o professor Orazio Morandi, que o estimulava a seguir a carreira artística.

Sua primeira contribuição à ciência se deu no Duomo de Pisa. O sacristão acabara de acender uma lâmpada pendurada numa longa corda e a empurrara. O movimento pendular foi medido com as batidas do coração de Galileu. Ele percebeu que o tempo de cada oscilação era sempre igual e formulou a lei do "isocronismo" do pêndulo. Assim, encontrou o primeiro uso prático para aquela regularidade e desenhou um modelo de relógio.

A famosa torre inclinada de Pisa fez parte de uma outra experiência para contestar a tese de Aristóteles de que, quanto mais pesado fosse um corpo, mais velozmente cairia. Galileu deixou cair da mesma altura duas esferas iguais em volume, mas de peso diferente. Ambas tocaram o solo no mesmo instante. Em seu livro, "Saggiatore" ("Experimentador") combateu a física aristotélica e argumentou que a matemática deveria ser o fundamento das ciências exatas.

Galileu desenvolveu os fundamentos da mecânica com o estudo de máquinas simples (alavanca, plano inclinado, parafuso etc.). Entre suas criações se destacam: o binóculo, a balança hidrostática, o compasso geométrico, uma régua calculadora e o termobaroscópio: feito para medir a pressão atmosférica, porém, serviu como termômetro.

Em 1609, construiu um telescópio muito melhor que os existentes e explorou os céus como nunca fora feito antes. Além de estudar as constelações Plêiades, Órion, Câncer e a Via Láctea, descobriu as montanhas lunares, as manchas solares, o planeta Saturno, os satélites de Júpiter e as fases de Vênus. As descobertas foram publicadas no livro "Siderus Nuntius" ("Mensageiro das Estrelas"), em 1610.

A partir de suas descobertas astronômicas, defendeu a tese de Copérnico de que a Terra não ficava no centro do Universo. Como essa teoria era contrária ao dogma da Igreja, foi perseguido, processado duas vezes e obrigado a negar (abjurar) suas idéias publicamente. Foi banido para uma vila de Arcetri, perto de Florença, onde viveu em um regime semelhante à prisão domiciliar.

As longas horas ao telescópio causaram sua cegueira. A amargura dos últimos anos de sua vida foi agravada pela morte de sua filha Virgínia, que se dedicara à vida religiosa com o nome de soror Maria Celeste. Em 1992, 341 anos após Galileu morrer, a Igreja reviu o processo da Inquisição e decidiu pela sua absolvição.

Fonte: Enciclopedia Italiana di Scienze, Lettere ed Arti (Treccani)

Grandes Matemáticos

Abu Ja'far Mohamed [ou Muhammad] ibn Musa al-Khwarizmi

(780 - 850)

Brilhante matemático e astrônomo persa-muçulmano nascido provavelmente na região de Khwarizm, sul do mar de Aral, na Ásia central, descobridor do Sistema de Numeração Decimal e dos dez símbolos, que hoje são conhecidos como algarismos indo-arábicos, e introdutor desses numerais e dos conceitos da álgebra na matemática européia.

O Califa al-Mamum ocupava o trono do Ímpério Árabe e decidiu transformar seu reino em um grande centro de ensino onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento, originando a primeira época áurea da ciência islâmica. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.

Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos.

Vivendo sob os califados de al-Mamun e al-Mutasim, de sua vida anterior a Bagdá pouco se sabe, porém escreveu principalmente sobre astronomia, geografia e matemática. Da importância de sua obra também se originou a palavra álgebra (al-jabr = reunir).

Seu extraordinário trabalho sobre matemática elementar Kitab Al-jabr w'al-mukabalah (A arte de reunir desconhecidos para igualar ao conhecido, 820), uma compilação de regras para solução aritmética de equações lineares e de segundo grau, baseado nos trabalhos de Diofante, foi traduzido no século XII para o latim e quando deu origem ao termo álgebra. Encarregado de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia, numa dessas traduções o matemático se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.

Ele ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema. Este importante trabalho (825) foi preservado numa tradução latina Algoritmi de numero Indorum (975), um texto sobre a arte hindu de calcular, obra que divulgou os símbolos e o sistema numérico indo-arábico.

Este livro introduziu bibliograficamente na Europa, o sistema numérico dos hindus, que passou a ser conhecido como algarismos arábicos, além de importantes conceitos algébricos. Deste texto surgiu o termo algorítimo.

Também compilou tabelas astronômicas, baseadas no Sind-hind, versão árabe do original sânscrito Brahma-siddhanta (século VII da era cristã).

O termo algarismo vem de al-Khowarizmi, usado para denominar os símbolos de 0 a 9, uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos.

Fonte:Fonte: http://professorjairojr.blogspot.com/2009/02/grandes-matematicos-al-khwarizmi.html

Introdução ao cálculo algébrico

Introdução

A Álgebra nos ajuda em muitas coisas, com e

la podemos generalizar situações. No estudo da álgebra usamos constantemente letras representando números: elas apenas representam, não quer dizer que são números. Poderíamos muito bem usar quadradinhos, palavras, um desenho qualquer. Mas é mais simples usar as letras, por diversos motivos: todo mundo as conhece, todos sabem escrevê-las, é fácil ler e podemos usar várias delas, sem precisar ficar criando mais e mais símbolos para representar números diferentes. É muito melhor usar letras, do que qualquer outro símbolo. Universalmente, são usadas na matemática. Uma que comumente representa um número desconhe

cido, uma incógnita, é a letra x. O “x” da questão! Como algumas vezes precisamos de mais números, usamos mais letras, como y, z, etc. Convenciona-se usar as últimas letras do alfabeto, mas você pode usar qualquer uma em seus cálculos e rascunhos.

Generalizando uma fórmula

Vamos calcular o perímetro do quadrado. Se você não sabe, perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Supomos um quadrado com 6 cm de lado:

Imagine que precisamos passar uma fita em volta de uma caixinha quadrada, de 6 cm de lado. Quantos cm de fita precisaremos? Isso depende da medida do lado da caixinha. Vejamos...

No exemplo, o lado do quadrado tem 6 cm. Para cobrirmos um lado, usaremos 6 cm de fita. Como o quadrado tem 4 lados, é claro que usaremos 4 vezes a quantidade necessária para preencher apenas um lado. Veja:

6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6 = 24

Então usaremos 2

4 cm de fita (não consideramos aqui o que na prática ficaria sobreposto ou usado para colar a fita).

Geometricamente, dizemos que o perímetro desse quadrado é 24 cm.

E se o quadrado tivesse 15 cm de lado?

Seriam: 15 × 4 = 60

60 cm de fita.

É possível escrever uma fórmula, baseada no que se observou. O perímetro do quadrado é sempre 4 vezes a medida de um dos seus lados. Se o lado mede 1 unidade de medida, o perímetro vai ser 4 × 1 = 4. Se o lado mede 12, o perímetro mede 4 × 12 = 48, e assim por diante.

Vamos supor que não sabemos quanto mede o lado do quadrado. Vamos então indicar o lado pela letra l (l de “lado”, apenas como referência, mas poderia ser qualquer outra). Veja:

Mesmo sem saber quanto vale l, pode-se concluir que o perímetro é 4 × l:

l + l + l + l

Podemos escrever:

P_Q = 4l

Onde P_Q é o “perímetro do quadrado”, e l é a medida do lado. A expressão P_Q = 4l é uma fórmula, no caso a fórmula do perímetro do quadrado: com ela podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado, substituindo a letra l pela medida do lado e fazendo os cálculos.

Como o uso de fórmulas e expressões com números e letras é freqüente na matemática, para facilitar não indicamos o sinal de multiplicação entre um número e uma letra:

P_Q = 4l quer dizer P_Q = 4 × l, ou seja, 4 vezes l. Leia da mesma forma, “quatro vezes éle” ou “quatro éle”

Sempre ao ver um número “encostado” numa letra indica que se trata de uma multiplicação, o sinal da multiplicação fica então subentendido, apenas para simplificação. Isso é usado na matemática, você verá em livros e no vestibular, testes, etc., mas se não quiser usar no seu dia-a-dia é claro que não precisa. Pode colocar o sinal de vezes, sem problemas.

Agora com a fórmula P_Q = 4l podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado. Por exemplo, qual é o perímetro de um quadrado de lado com 17 m?

Veja:

P_Q = 4l

P_Q = 4 . lado

P_Q = 4 . 17

P_Q = 68

A fórmula P_Q = 4l vale para qualquer quadrado. Por isso dizemos que a Álgebra trabalha com generalização. Claro que esta fórmula é simples, ela é aplicada de forma praticamente automática. Mas e para calcular o comprimento de circunferências, a altura de pirâmides, o volume de esferas? Deduzir e guardar as fórmulas prontas ajudam nessas tarefas, pois basta substituir as letras pelas medidas depois e calcular. Não são só medidas, claro, podemos generalizar funções específicas, como consumo de combustível, preço a pagar, etc. Estas, é claro, dependeriam de outros fatores.

Saiba +

Na fórmula PQ = 4l, “l” pode variar dependendo da medida do comprimento do lado do quadrado. Por isso, nessa fórmula, dizemos que a letra “l” é uma variável.

Generalizando outra fórmula

Agora vamos obter uma fórmula para calcular o perímetro de um retângulo. Observe:

O perímetro desse retângulo é obtido somando-se todos os lados:

5 + 12 + 5 + 12

Posso fazer 5 + 5 + 12 + 12, que dá a mesma coisa.

Você sabe que 5 + 5 = 2 . 5, e que 12 + 12 = 2 . 12. Portanto, podemos escrever também:

5 + 5 + 12 + 12 = 2 . 5 + 2 . 12

Como era uma adição e agrupamos as parcelas, devemos começar a conta pela multiplicação, veja que esta regra das expressões numéricas se justifica, senão seu cálculo sairia errado. Depois, somamos os re

sultados das multiplicações:

2 . 5 + 2 . 12 =

10 + 24 =

34

O perímetro do retângulo é 34.

Agora veja esse outro retângulo:

Sabemos que dois lados dele medem 3, mas não sabemos os valores dos outros lados. O perímetro é dado por:

3 + 3 + x + x

Ou então:

2 . 3 + 2 . x

Como 2 vezes 3 é 6, podemos já colocar:

P_R = 6 + 2x

Nesse caso a expressão 6 + 2x indica o perímetro do retângulo em que os lados medem 3, 3, x e x. Se o lado de medida desconhecida medisse 5 unidades de medida, teríamos:

P_R = 6 + 2x

P_R = 6 + 2 . 5

P_R = 6 + 10

P_R = 16

Se o lado desconhecido medisse 1:

P_R = 6 + 2x

P_R = 6 + 2 . 1

P_R = 6 + 2

P_R = 8

Por que primeiro a multiplicação mesmo? Porque ela já estava lá. A multiplicação é a simplificação de uma soma, e como simplificamos a soma numa expressão mais simples, essa expressão deve ser concluída (calculada) e não deve ter seus termos misturados com outros, apenas o resultado final é que deverá ser trabalhado depois, no contexto em que se inserir. Veja o que aconteceria se não seguíssemos essa regra (em azul estão os cálculos feitos primeiro):

PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 8 . 5 PR = 40

PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 6 . 10 PR = 16

Percebeu? O correto é 16, e não 40! Confira no retângulo, somando manualmente cada lado, considerando o x = 5.

Algebrando ainda mais

E se não conhecêssemos as medidas de nenhum dos lados, daria para montar a expressão, a fórmula? Claro! Deixamos a expressão indicada, ou seja, sem calcular, normalmente da forma mais simples que pudermos. Imagine esse retângulo:

O retângulo tem dois pares de lados iguais. Ou seja, ele tem 4 lados, sendo que dois lados têm uma mesma medida, e os outros dois também. O perímetro do retângulo acima poderia ser indicado assim:

P_R = a + a + b + b

P_R = 2 . a + 2 + b

P_R = 2a + 2b

Veja que 2a + 2b é uma forma bastante simplificada (curta de escrever). Você não pode fazer 2a + 2b = 4ab, afinal 2a é 2 . a, e 2b é 2 . b. Então 2 . a + 2 . b certamente não é 4 . a . b, o 2 não poderia ser somado.

Resumindo

Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras

.
Ex: 2ax²+bx

Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.

Monômios

As expressões algébricas que não representam as operações de adição e subtração entre os números e as variáveis, são denominadas de monômios.

Observe os exemplos:

6x, 4x, 5y, 7y

3x²y², 4x²y²

ab, 10, 12

A parte numérica de uma expressão algébrica chamada de monômios é denominada coeficiente e a outra parte da sentença formada por letras é chamada de parte literal.

Exemplos para fixação de conteúdo

De acordo com a definição sobre monômios, vamos destacar nas sentenças abaixo a parte literal e o coeficiente:

- 6x

Coeficiente: 6

Parte Literal: x

- 10y

Coeficiente: 10

Parte Literal: y

Grau de um monômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x⁵ possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x² y⁴ possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y) = 3x²y, então para x=7 e y=2 temos que: p(7,2) = 3 . 7². 2 = 294

Monômios semelhantes:

Monômios semelhantes são aqueles que possuem partes literais iguais.

Ex: (3ba³) e (7ba³) , pois possuem a mesma parte literal

Expressão algébrica inteira e fracionária

Quando não possuem variável ou variáveis no denominador são cahmadas de "Inteira"

Quando possuem variável ou variáveis no denominador são chamadas de "fracionária"

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + a₂ x^{n -2} + ... + a_{n – 1} x + a_n

A função polinomial será definida por:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n

Com:
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n são números complexos e n N.


• Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 2⁴ – 3 . 2³ + 2² – 2 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.

• Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x³ + 5x² – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.

Exemplo:

P(x) = x² - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x² - 1 = 0
x² = 1
x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x² - 1.

• Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x³ - x² + 2x -3 → temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x³, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x³ - x² + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x⁰ = 5 → grau zero.

Em polinômios de duas ou mais variáveis, o grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis nesse termo; o grau do polinômio, novamente, é o maior grau. Por exemplo,o polinômio x²y² + 3x³ + 4y tem grau 4, o mesmo grau que o termo x²y².

Grandes Matemáticos

Diofanto, matemático e filósofo Grego, supõe-se que viveu algures entre o ano 150 e 300. Não se conhece muito da sua vida, mas sabe-se que está ligado à cidade de Alexandria que na Grécia antiga foi o maior centro de matemática.

Tudo o que se conhece acerca dele foi tirado da dedicatória inscrita no seu túmulo em forma de exercício matemático:

• Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto. E os números podem mostrar. Oh milagre! Que longa foi sua vida,

Cuja Sexta parte constituiu a sua infância,

Tinha decorrido uma duodécima parte da sua vida quando de pêlos se cobriu a sua barba;

E a sétima parte da sua vida ocorreu um casamento,

Ao que aos cinco anos se deu o nascimento do seu precioso primogénito,

Que entregou seu corpo, sua maravilhosa existência durou somente a metade da de seu pai na terra,

E com profunda pena desceu à sua sepultura, tendo vivido mais 4 anos após «descida» de seu filho, mitigando a sua dor com investigações sobre a ciência dos números.

Os dados que este poema nos dá são os seguintes: x ; x/6 ; x/12 ; x/7 ; 5 ; x/2.

Temos então que: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4. E assim concluímos que Diofanto viveu 84 anos.

Diofanto, mais que um cultor da aritmética, e sobretudo da geometria, como o foram os matemáticos gregos anteriores, deve considerar-se um precursor da álgebra, e, em certo sentido, mais vinculado com a matemática dos povos orientais (Babilónia, Índia, ...) que com a dos gregos. Com a obra de Diofanto houve uma quebra na tradição clássica grega.

Fonte : http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/index2.htm

Grandes Matemáticos

Arquimedes, matemático, físico e inventor grego nasceu em Siracusa (Sicília) em 287 a.C. . Foi educado em Alexandria e pensa-se que possivelmente fora aluno de Euclides.

Regressou mais tarde à sua terra natal onde dedicou a sua vida a investigações que o imortalizaram. Foi considerado por muitos historiadores um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, sendo esta uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até hoje.

As principais obras de Arquimedes foram sobre:

• A esfera e o cilindro um dos mais belos escritos de Arquimedes

• Os conóides e os esferóides

• As espirais

• A medida do círculo

• A quadratura da parábola

• O Arenário (contador de areia)

• O Equilíbrio dos planos

• Dos corpos flutuantes

• O stomachion � jogo geométrico

• O problema dos bois (referente à teoria dos números)

Arquimedes obteve fama pelas suas invenções mecânicas, tais como a balança de Arquimedes, a teoria da alavanca simples, e ainda máquinas de guerra como catapultas necessárias à defesa de Siracusa.

Este grande matemático e físico grego é ainda célebre pelo seguinte princípio - princípio de Arquimedes - o qual diz que todo o corpo submergido num fluído experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com as suas máquinas de guerra, estes invadiram Siracusa, não impedido o estudioso de ficar reflectindo sobre um problema geométrico que traçava na areia, não se apercebendo desta invasão. Apresentou-se-lhe um soldado dando-lhe ordem de que o acompanhasse a casa de Marcelo, ele porém ignorou-o, irritando o soldado fazendo com que este o matasse com a sua espada.

Grandes Matemáticos

Euclides era um matemático grego, não se sabe ao certo onde e quando nasceu, mas viveu em Alexandria na primeira metade do séc. III a.C. Dizia-se que era o mais novo que os primeiros discípulos de Platão e mais velho que os de Arquimedes. Acredita-se que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão.

Euclides foi um dos sábios chamados para ensinar na escola criada por Ptolomeu, na Alexandria em 306 A.C., chamada "Museu". Diz-se que tinha uma grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas o caracterizam como um bondoso velho. Conta Prado de Bizâncio (412 - 485 d.C. ) que Ptolomeu perguntava a Euclides se não havia um caminho mais rápido de se aprender geometria e a sua resposta era: "Não há estrada real para geometria."

A sua grande obra foi, "Os Elementos", constituída por treze capítulos sobre Aritmética, Geometria e Álgebra.

Desapareceram vários livros de Euclides, e um dos mais lamentáveis desaparecimentos foi o de "Porismas de Euclides", que poderia conter aproximações da Geometria Analítica e Pappus dá-nos uma noção do que um porisma como algo entre um teorema (em que alguma coisa é proposta para resolver) e um problema (em que alguma coisa é proposta para construir).

Cinco das obras de Euclides sobreviveram. Uma dessas obras foi "Óptica" onde, indica seu estudo de perspectiva e desenvolve uma teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até o objecto que vemos. Em "Os Fenômenos" discorre sobre Geometria esférica para utilização dos astrónomos. "A Divisão" contém 36 proposições relativas à divisão de configurações planas. "Os Dados" forma um manual de tabelas, servindo como guia de resolução de problemas, com relação entre medidas lineares e angulares num círculo dado.

Uma edição completa das obras de Euclides foi publicada em Leipzig, com o título Opera omnia, em oito volumes, com texto grego e latim em (1883-1916).

Bibliografia: Fundamentos de Matemática Elementar

Grandes Matemáticos

Viète, François (1540--1603)

Viète nasceu em Fontenay, França. Estudou direito na Universidade de Poitiers e passou muito de seu tempo estudando matemática e criptografia enquanto mantinha uma carreira bem-sucedida como advogado. Mais tarde ele aplicou a trigonometria básica à astronomia e escreveu Harmonicum coeleste. Em 1579 publicou Canon mathematicus seu ad triangula. Mais tarde concentrou seus esforços em álgebra e geometria. Publicou In artem analyticem isagoge em 1591 e Supplementum geometriae em 1593. Essas obras foram as primeiras a introduzir a notação algébrica simbólica e as técnicas para ângulos trissecados. Ele simplificou a notação da álgebra e foi um dos primeiros a utilizar letras para representar números. Seu livro De aquationum recognitione et emendatione foi publicado apenas após sua morte. Ele continha a teoria das equações, incluindo metódos para resolução das polinomiais de segundo, terceiro e quarto graus e a introdução dos termos negativo e coeficiente.

Principal teorema: lei dos co-senos.

Principais obras: Harmonicum coeleste; Canon mathematicus seu ad triangula; De aquationum recognitione et emendatione; artem analyticem isagoge; Supplementum geometriae