Vetores

Vetores

Vetor

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY/XY ~ AB}

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .

um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Vetores iguais

Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.

Vetor Nulo

Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por .

Vetores Opostos

Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por ou por .

Vetores

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Direção e Sentido

Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:

ou coincidentes

Observações

1. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

2. Dois Segmentos orientados opostos têm sentidos contrários.

Segmentos Equipolentes

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

Observações

1. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.

2. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

Propriedades da Equipolência

1. AB ~ AB (reflexiva).

2. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica).

3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva).

4. Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

Vetores

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Reta Orientada - Eixo

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

Segmento orientado

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.

Segmento Nulo

Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.

Segmentos Opostos

Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

Medida de um Segmento

Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por .

Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:

= 5 u.c.

Observações

1. Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

2. = .

Função Quadrática

Função Quadrática

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a <>, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a <>,

a <>

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a<>

4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;

5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Raízes da Função de 2º Grau

Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:



Número de raízes reais da função do 2º grau

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.


1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.


2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.


3º caso → Δ <>


Soma e produto das raízes

Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:

Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por e o produto das raízes por . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:




Soma das raízes





Produto das raízes



Efetuando a multiplicação, temos:




Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:




Após a simplificação, temos:

Equação Irracional

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional

Exemplo 1



1º passo: isolar o radical


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado


3º passo: organizar a equação
x² - 10x +25 – x – 7 = 0
x² - 11x + 18 = 0

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49

x’ = (11+7)/2 = 9

x” = (11 – 7)/2 = 2

5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.

x = 9

Portanto, 9 não serve.

x = 2

A única solução da equação é 2.