Produto de Matrizes

Produto de um Número Real por uma Matriz

Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (a_ij)_mxn é uma matriz B = (b_ij)_mxn tal que b_ij = . a_ij




Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz

Se A e B são matrizes de mesma ordem e e são números reais, valem as seguintes propriedades:

a) 1A = A

b) . (A + B) = A + B

c) . (b . A) = ( . b) . A

d) ( + b) . A = . A + b . A

e) ( . A)^T = . A^T

Produto de Matrizes

Dadas duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_ij)_mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.



A matriz produto (A x B)_mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.

Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.

Propriedades do Produto de Matrizes
Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:

a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA)

b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA)

c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA)

d) I É A IDENTIDADE

e) (A . B) = A . (B) = . (A . B)

f) (A . B)T = BT . AT

Observações Importantes:

1.ª A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA.

2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o anulamento do produto, isto é, podemos ter A . B = 0 mesmo com A 0 e B 0.

3.ª Não vale também a simplificação, isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A 0 e B C.

Matriz Inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A^-1, denominada inversa de A, tal que:

Operações com Matrizes

Matriz Identidade ou Matriz Unidade



Matriz Transposta (At)

É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.

Se B = (b_ij)_mxn é transposta de A = (a_ij)_mxn, então b_ij = a_ij.



Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada onde a_ij = 0, para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.



Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada A tal que A^t = A, isto é, a^ij = a^ij para i j.




Matriz Anti-simétrica

É uma matriz quadrada A tal que A^t = -A , isto é, a_ij = -a_ij para i e j quaisquer.




Operações com Matrizes

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_ij)_mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, a_ij = b_ij.



Propriedades da Igualdade

- Se A = B, então A^t = B^t

- (A^t)^t = A

Adição e subtração de Matrizes

A soma de duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_ij)_mxn de mesma ordem é uma matriz C = (a_ij)_mxn tal que C = a_ij + b_ij.

A subtração de matrizes é dada pela sentença:

A – B = A + (– B )





Propriedades da adição de Matrizes

a) A + B = B + A (COMUTATIVA)

b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)

c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO)

e) (A + B)^T = A^T + B^T (TRANSPOSTA DA SOMA)

Fórmula do Termo Geral

CLASSIFICAÇÃO

Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva.

Exemplo:

(4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva)

2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa.

Exemplo:

(10, 7, 4, 1, –2, –5)→ r = – 3 < 0 (negativa)

3. Constantes – São aquelas cuja razão é nula.

Exemplo:

(6, 6, 6, 6) →r = 0


FÓRMULA DO TERMO GERAL
Para obter o enésimo termo de uma P.A., basta somar (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo. Com isso, podemos achar qualquer termo dentro de uma PA pela expressão:

a_n = a₁ + (n - 1) . r

Em que:

an é o enésimo termo (termo geral);

a₁ é o primeiro termo;

n é o número de termos;

r é a razão.

Aplicação
Qual é o quinto termo da P. A. (3, 6...)?

Solução:

a₁ = 3

r = 6 – 3 = 3

n = 5

a_n = a₁ + (n - 1) . r

a₂₀ = 3 + (5 – 1). 3

a₂₀ = 3 + 4.3

a₂₀ = 15


INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois termos extremos a e b de uma progressão aritmética significa obter uma P. A. com (k + 2) termos.

Equações exponenciais

Equações exponenciais

Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita a ser determinada comparece como expoente.

Para resolver uma equação exponencial, você deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os expoentes para recair numa equação comum.

Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base. Para resolvê-las, freqüentemente é conveniente utilizar uma variável auxiliar.

Aplicações

01. Resolva a equação 5x = 125.

Solução:
5^x = 125→ 5^x = 5 ³ →x = 3


02. Resolva a equação 32x + 4.3x + 3 = 0.

Solução:
A expressão dada pode ser escrita na forma:

(3x)2 - 4.3x + 3 = 0

Fazendo 3x = y, temos:

y² – 4^y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3
Como 3^x= y, então 3^x= 1 x = 0 ou 3^x = 3 ^x = 1

Portanto, S = {0,1}.
Inequações exponenciais

Dada uma desigualdade de potências, sendo aⁿ > a^m:

1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e maiores que 1, é maior a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade é conservada)

1.° caso: a > 1

O cálculo do mmc

O cálculo do mmc e mdc são conteúdos que aprendemos no 6º ano do ensino fundamental, mas que muitos alunos chegam às séries mais avançadas sem saber como fazer tais cálculos.

Para o cálculo tanto do mmc e do mdc é necessário ter o conhecimento do que é os múltiplos e divisores de um número natural.

Múltiplos

45 é múltiplo de 5, pois existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 45 (5 x 9 = 45).

Exemplo:
M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...
M(10) = 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...
M(8) = 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,...

Divisores

Para que um número natural seja divisível de outro é preciso, ao dividirmos os dois números, que o resto seja igual a zero. Não é necessário que efetuemos a divisão em alguns casos para que saibamos se é divisível ou não, podemos utilizar do critério de divisibilidade.

Exemplo:
D(20) = 1, 2, 4, 5, 10,20
D(25) = 1, 5,25
D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Mínimo múltiplo comum (mmc)

O próprio nome já diz, é o cálculo do menor múltiplo comum entre dois ou mais números naturais.

Por exemplo: Se quisermos calcular o mínimo múltiplo comum de 40 e 30, devemos encontrar os seus respectivos múltiplos.

M(40) = 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240,...
M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150,...

Observando os múltiplos encontrados, o menor múltiplo comum (não contamos com o zero) é o 120, portanto o mmc (40,30) = 120.

Existe outra forma de calcular o mmc, é um processo que fazemos uso da decomposição em fatores primos dos números e depois multiplicamos os valores primos encontrados na fatoração, veja:



Máximo divisor comum (mdc)

No mmc precisamos encontrar os múltiplos de um número e no mdc é preciso encontrar os divisores e depois encontrar o maior divisor comum entre eles.

Por exemplo: Para calcularmos o mdc de 50 e 15, devemos encontrar os seus respectivos divisores.

D(50) = 1, 2, 5, 10, 25, 50.
D(15) = 1, 3, 5, 15.

Dentre os divisores de 50 e 15, o 5 é o maior divisor comum que eles têm, portanto o mdc (50,15) = 5.

O cálculo do mdc também pode ser realizado com a fatoração em fatores primos.



Portanto, concluímos que ao fatorar dois ou mais números, o cálculo do mdc será calculado com a multiplicação dos fatores primos comum aos termos.

Por Danielle de Miranda
Graduda em Matemática
Equipe Brasil Escola

Equação do Segundo Grau

Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo:

• 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.

• 3a³ + 5a – 1 = 0 → 3a³ + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a³. Portanto, a equação é de 3º grau.

• 2y² + 5 = 0 → 2y² + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y². Portanto, a equação é do segundo grau.

Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral:
ax² + bx + c = 0

onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.

Veja como identificar os valores de a, b, c em uma equação do 2º grau.
• 2x² + 5x – 1 = 0
a = 2
b = 5
c = -1

• x² – 2x + 4 = 0
a = 1
b = -2
c = 4

• (2 + 6y) (2 – 6y) = - 320, antes de identificarmos os valores dos coeficientes, devemos organizar essa equação na forma geral de uma equação do 2º grau.

(2 + 6y) (2 – 6y) = - 320 → aplicando a propriedade distributiva, temos:

4 – 36y² = - 320

- 36y2 +4 + 320 = 0

-36y² + 324 = 0 → quando uma equação do 2º grau falta algum membro ela é dita incompleta e o termo que está faltando dizemos que ele é igual a zero.

a = -36
b = 0
c = 324

• - x² – x = 0
a = -1
b = -1
c = 0

Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do 2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.

x = - b ± √∆
2a

Veja a demonstração de como chegamos a essa fórmula:

Pegamos a forma geral de uma equação do 2º grau.




Podemos dizer que b² – 4ac = ∆.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

DETERMINAÇÃO DE DIVISORES DE UM NUMERO NATURAL

DETERMINAÇÃO DE DIVISORES DE UM NUMERO NATURAL:

DIVISOR E AQUELE QUE QUANDO DIVIDIMOS O NUMERO NATURAL POR ELE DÁ RESTO ZERO .

EX: 2 E DIVIDOR DE 8 PORQUE 8:2=4 E O RESTO E ZERO .

FATORARAMOS O NUMERO 360 .

360 : 2

180 : 2

90 : 2

45 : 3

15 : 3

5 : 5

1

EM SEGUIDA PEGAMOS O RESULTADO DA FOTARAÇÃO

2³X 3²X 5 = 360

PEGAMOS OS EXPOENTES E SOMAMOS 1 A TODOS ELES

(3+1)X(2+1)X(1+1)

4 X 3 X 2 = 24

360 POSSUI 24 DIVISORES

REGRAS PARA SE FAZER AS EXPRESSÕES NUMÉRICAS

REGRAS BASICAS PARA SE FAZER AS EXPRESSÕES NUMERICAS

1-PRIMEIRO FAZEMOS:

MULTIPLICAÇÕESE DIVISÕES

2-QUANDO ENCONTRAMOS
( ) PARÊNTESES ,[ ] COLCHETES, E CHAVES { }.

3-FAZEMOS:
PRIMEIRO OS PARÊNTESES,SEGUNDO OS COLCHETES E POR ULTIMO AS CHAVES.

SEMPRE EFETUANDO.

PRIMEIRO- multiplicação ou divisão

SEGUNDO - Adição ou subtração.

QUANDO APARECER UMA POTÊNCIA NUMA EXPRESSÃO ELA DEVE SER RESOLVIDA ANTES DAS OUTRAS OPERAÇÕES .

EX:
{[3²+ 2 . (8-2²)]+ 5}=
FAÇAMOS AS POTÊNCIAS
{[9 + 2 . (8-4)]+ 5}=
AGORA A SUBTRAÇÃO NOS PARÊNTESES.
{[9 + 2 . 4 ] + 5}=
NO COLCHETE FAZEMOS PRIMEIRO A MULTIPLICAÇÃO.
{[9 + 8 ] + 5 } =
AGORA A SOMA NO COLCHETE.
{ 17 + 5 } =
O POR ÚLTIMO, A SOMA DENTRO DAS CHAVES.

Fonte : Professor Betão

Equação do Primeiro Grau

Equação do Primeiro Grau

1. Introdução

Consideremos as três igualdades abaixo:

1ª) 2 + 3 = 5
2ª) 2 + 1 = 5
3ª) 2 + x = 5

Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.

Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.

Exemplos:
1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}

2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}

2. Resolução de uma Equação

Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.

1º) Resolver a equação:

x² = 4 em R

As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:

2º) Resolver a equação:

x² = 4 em N

A única raiz natural da equação é 2, assim:

Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

x + 2 = 3

Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:

x + 2 = 3 x + 2 -2 = 3 - 2

Assim:

x + 2 = 3 x = 1

P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.

Consequência:

Observemos a equação:

–2x = 6

Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:

Assim:

-2x = 6 x = -3

3. Equação do 1º Grau

Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:

onde a e b são números conhecidos com a 0.

Exemplo:

3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)

Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.

Exemplo:

3x – 5 = 0

3x - 5 3x - 5 + 5 = 0 + 5

3x - 5 = 0 3x = 5

3x = 5

3x = 5

Assim: 3x - 5 = 0

De modo abreviado, fazemos:

3x - 5 = 0 3x = 5

Assim:

Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:

Assim:

ax + b = 0 ax = -b

Exemplo:

Resolver em R a equação:

2x + 5 = 0

4. Problemas do 1º Grau

Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamados dados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:

1) Colocar o problema em equação;
2) Resolver a equação ou equações do problema;
3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.

Exercícios Resolvidos

Resolver as equações:

01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução

3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}

02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)

Resolução

2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11

Cálculo do número de diagonais de um polígono

Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.

Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:

A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono.


Exemplo

Determine o número de diagonais de um polígono com:

a) 8 lados (octógono)

O octógono possui 20 diagonais.

b) 12 lados (dodecágono)

O dodecágono possui 54 diagonais.

c) 20 lados (icoságono)

O número de diagonais de um icoságono é igual a 170.

d) 3 lados (triângulo)

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.