Grandes Matemáticos

Sir Isaac Newton

4 de janeiro de 1643, em Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra

31 de março de 1727, em Londres, Inglaterra

A vida de Isaac Newton pode ser dividida em três períodos distintos:

O primeiro vai de sua infância, em 1643, até ser indicado para uma cátedra em 1669.

O segundo período vai de 1669 a 1687, e foi seu período mais produtivo (era professor Lucasiano em Cambridge).

O terceiro e último período (quase tão longo quanto os dois anteriores combinados) mostra um Newton oficial bem pago do governo, com pouco interesse em Matemática.

Isaac Newton veio de uma família de fazendeiros, mas nunca conheceu seu pai - também Isaac Newton - que morreu três meses antes de seu nascimento. Embora Isaac Newton Senior possuísse propriedades e animais que o classificavam como um homem bem-posto, ele não tinha estudo nenhum e nem sabia assinar o próprio nome.

A mãe de Isaac, Hannah Ayscough, casou-se novamente com Barnabas Smith quando Isaac tinha apenas dois anos. Ele foi então deixado aos cuidados de sua avó, Margery Ayscough. Basicamente tratado como um orfão, Isaac não teve uma infância feliz.

Após a morte de seu padrasto em 1653, Newton viveu em uma família estendida consistindo de sua mãe, avó, um meio-irmão e duas meio-irmãs. Logo após esta época, Newton começou a freqüentar a Escola Livre de Gramática em Grantham. Contudo, ele mostrou não ter um futuro acadêmico muito promissor. Na escola era descrito como "preguiçoso" e "desatento". Sua mãe, agora uma mulher razoavelmente estável no sentido financeiro, imaginou que seu filho mais velho seria a pessoa ideal para gerenciar seus negócios. Isaac foi tirado da escola, mas logo demonstrou não ter nenhum talento - ou interesse - em negócios.

Um tio de Isaac, William Ayscough, decidiu que ele deveria preparar-se para entrar na Universidade, e persuadiu sua mãe a deixá-lo voltar a escola. Desta vez Newton morou com Stokes, que era o diretor da escola. Apesar dos acontecimentos anteriores, Newton parece ter convencido as pessoas a sua volta de que sim, ele era uma boa aposta no mundo acadêmico.

Nada se sabe acerca do que Isaac estudou para se preparar para a Universidade, mas Stokes era muito habilidoso e certamente treinou Newton e deu-lhe uma boa base.

Newton entrou no Trinity College Cambridge, em 5 de junho de 1661. Ele era mais velho que a maioria de seus colegas e, apesar de sua mãe ser uma mulher de posses, ele entrou como monitor. Um monitor em Cambrigde era um aluno que recebia uma bolsa da escola para servir aos outros estudantes. Este fato é controverso, pois ele parece ter se associado mais com estudantes de "melhor posição" do que com outros monitores. Há também a hipótese de Newton ter sido financiado por Humphrey Babington, um parente distante.

O objetivo de Newton em Cambridge era formar-se advogado. Em Cambridge, a instrução era dominada pela filosofia de Aristóteles, mas algum grau de liberdade era permitido a partir do terceiro ano de curso. Newton estudou a filosofia de Descartes, Gassendi, Hobbes e em particular Boyle. A mecânica da astronomia Copernicana de Galileu o atraiu, e ele também estudou a Óptica de Kepler. Ele registrou seus pensamentos em um livro intitulado Quaestiones Quaedam Philosophicae (Certas Questões Filosóficas). É fascinante notar como Newton já formava suas idéias por volta de 1664. Ele começou o texto com uma frase em latim significando "Platão é meu amigo, Aristóteles é meu amigo, mas meu melhor amigo é a verdade", mostrando-se como um pensador livre desde este estágio.

Como Newton chegou aos mais avançados textos de Matemática em sua época é um pouco menos claro. De acordo com de Moivre, o interesse de Newton em Matemática começou no outono de 1663, quando comprou um livro de astrologia em uma feira em Cambridge e descobriu que não podia entender a Matemática nele. Sendo um livro eminentemente de trigonometria, descobriu que sua falha era em Geometria, e decidiu então ler a edição de Barrow para os Elementos, de Euclides. Os primeiros resultados foram tão simples que ele quase desisitiu, mas mudou de idéia quando leu que

... paralelogramos de mesma base e entre paralelas são iguais.

Voltando ao começo, Newton leu o livro todo com renovado respeito. Depois leu Clavis Mathematica de Oughtred e La Géométrie de Descartes. As novas Álgebra e Geometria Analítica de Viète foram lidas por Newton da edição de Frans van Schooten. Outros grandes trabalhos em Matemática que ele estudou foram Geometria a Renato Des Cartes de van Schooten e Algebra, de Wallis. Newton fez anotações sobre o tratamento dado por Wallis às séries, mas também criou suas próprias provas dos teoremas, escrevendo:

Assim fez Wallis, mas pode ser feito assim ...

A despeito de algumas evidências mostrarem que seu progresso não foi particularmente bom, Newton recebeu o grau de acadêmico em abril de 1664 e o de bacharelado em abril de 1665. Aparentemente seu gênio científico ainda não havia se manifestado, mas o fez quando a Universidade foi repentinamente fechada por causa da peste e ele teve de voltar a Lincolnshire. Lá, em um período de menos de dois anos, enquanto Newton tinha ainda 25 anos, ele começou avanços revolucionários em Matemática, Óptica, Física e Astronomia.

Enquanto Newton ficou em casa, ele lançou as fundações do Cálculo Diferencial e Integral, vários anos antes da descoberta (independente) de Leibniz. O Método das Fluxões, como ele o denominou, foi baseado na idéia crucial de que a integração de uma função era meramente o procedimento inverso da diferenciação. Tomando a diferenciação como operação básica, Newton criou métodos analíticos simples, que unificaram diversas técnicas anteriormente desenvolvidas para resolver problemas aparentemente não relacionados, como achar áreas, tangentes, comprimentos de curvas e máximos e mínimos de funções. De Methodis Serierum et Fluxionum foi escrito por Newton em 1671 mas não foi publicado até que uma tradução para o Inglês foi feita por John Colson em 1736.

Quando a Universidade de Cambridge reabriu após a peste em 1667, Newton apresentou-se como candidato a uma cadeira. Em outubro ele foi eleito para uma cadeira menor no Trinity College mas, após obter seu título de Mestre ele foi eleito para uma cadeira plena em julho de 1668. Em 1669 Barrow tentou garantir que as conquistas matemáticas de Newton se tornassem públicas. Ele mandou o texto de Newton De Analysis para Collins em Londres escrevendo:

[Newton] trouxe-me outro dia alguns artigos, onde ele estabelece os métodos para calcular as dimensões de magnitudes como as de Mr Mercator a respeito da hipérbola, mas mais geral; também na solução de equações; suponho que você se surpreenderá; mandarei a você em breve.

Collins mantinha contato com os matemáticos mais proeminentes da epóca, o que poderia levar o trabalho de Newton a um rápido reconhecimento. Collins mostrou a Brouncker, Presidente da Royal Society, os resultados de Newton, mas depois disso Newton pediu que seu manuscrito fosse devolvido. Barrow deixou sua cadeira de Lucasiano em 1669 para devotar-se a divindade, recomendando Newton (com apenas 27 anos) como seu sucessor.

O primeiro trabalho de Newton como professor Lucasiano foi em óptica e este foi o tópico de sua primeira aula, em janeiro de 1670. Ele concluiu, durante os dois anos de peste, que a luz não era uma entidade simples. Todo cientista desde Aristóteles acreditava que a luz era um entidade simples e básica, mas a aberração cromática na lente de um telescópio convenceu Newton do contrário. Quando ele passou um raio de luz através de um prisma, notou o espectro de luz que se formava. Ele sustentava que a luz branca era na realidade uma mistura de vários tipos de raios refratados em ângulos ligeiramente diferentes, e cada tipo de raio produzia uma cor diferente. Graças a esta idéia, Newton concluiu erroneamente que todo telescópio refrativo sofreria aberração cromática. Ele então propôs e construiu um telescópio refletivo.

Em 1672 Newton foi eleito membro da Royal Society, após doar um telescópio refletivo. Também em 1672 Newton publicou seu primeiro trabalho científico sobre cor e luz na Philosophical Transactions da Royal Society. O trabalho foi bem aceito em geral, mas Hooke e Huygens fizeram objeções à tentativa de Newton de provar, apenas experimentalmente, que a luz consiste de pequenas partículas em movimento e não de ondas.

A recepção à sua publicação não melhorou em nada a atitude de Newton de tornar seus trabalhos conhecidos. Ele sempre se dividia em duas direções: algo em sua natureza desejava fama e reconhecimento, enquanto um outro lado tinha medo de críticas, e o melhor jeito de não ser criticado era não publicar. Certamente pode-se dizer que sua reação às críticas era irracional, e seu esforço em humilhar Hooke em público era anormal. Contudo, talvez pela sua reputação, sua teoria corpuscular reinou até que a teoria de ondas fosse revivida no século 19.

Newton publicou em 1704, logo após a morte de Hooke, o trabalho Optiks, relacionado à teoria de luz e cor e com

Investigações de cores de folhas delgadas.

Anéis de Newton.

Difração da luz.

Para explicar algumas de suas observações ele teve de usar teoria de ondas em conjunção com sua teoria corpuscular.

Outra discussão, desta vez com os jesuítas ingleses em Liège sobre sua teoria de cores, levou a uma agressiva troca de cartas, até que em 1678 Newton sofre um colapso nervoso. Sua mãe morre no ano seguinte, resultando em um isolamento ainda maior de sua parte.

A maior conquista de Newton foi seu trabalho em Física e Mecânica Celestial, que culminou na teoria da Gravitação Universal. Em 1666 Newton já tinha as primeiras versões de suas três leis do movimento. Ele também descobriu a lei que dá a força centrífuga de uma corpo em movimento circular uniforme. Contudo, ele não tinha ainda um bom entendimento do movimento circular.

A novidade da idéia de Newton era imaginar que a gravidade da Terra influenciava a Lua, contrabalançando sua força centrífuga. Desta lei e da terceira lei de Kepler do movimento planetário, Newton deduziu a lei do inversos dos quadrados.

Halley persuadiu Newton a escrever um tratado de sua nova Física e suas aplicações a Astronomia. Um ano depois (1687) Newton publicou Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia como é conhecido.

Principia é tido como um dos maiores livros científicos já escritos. Newton analisou o movimento de corpos em meios com e sem resistência soba a ação de forças centrípetas. Os resultados foram aplicados a corpos em órbita, projéteis, pêndulos e quedas livres próximas à Terra. Ele também demonstrou que planetas são atraídos na direção do Sol por uma força que varia com o inverso dos quadrado da distância e generalizou que corpos pesados atraem uns aos outros mutuamente.

Mais generalização levou-o à lei da Gravitação Universal:

... toda matéria atrai outra matéria com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Newton foi capaz de explicar um grande número de fenômenos aparentemente não relacionados: a excentricidade da órbita dos cometas, as marés, a precessão do eixo terrestre e os movimentos da Lua perturbados pelo Sol.

Depois de um segundo colapso nervoso em 1693, Newton aposentou-se da pesquisa. Várias razões para este colapso foram propostas: envenenamento químico por causa de seus experimentos, frustração com as pesquisas ou problemas relativos a sua crença religiosa. Provavelmente seu problema era não outro senão uma depressão severa, que parece ter-lhe acompanhado por boa parte da vida.

Newton foi ainda Mestre da Casa da Moeda, onde, ao contrário do que se possa imaginar, fez grandes contribuições ao processo de cunhagem de moedas.

Em 1703 foi eleito presidente da Royal Society e foi re-eleito cada ano subseqüente até sua morte. Também foi sagrado cavaleiro em 1705 pela rainha Anne, sendo o primeiro cientista a ser assim tão condecorado por seu trabalho. Contudo, o final de sua vida não foi fácil, em particular por causa da controvérsia com Leibniz a respeito da invenção do Cálculo. (Ele chegou a nomear um comissão "imparcial" para julgar quem era o inventor do Cálculo, mas os textos da comissão eram na verdade anonimamente escritos por ele mesmo.

Fonte: http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/newton/newton.html

Grandes Matemáticos

Eudoxo de Cnidos

408 AC em Cnidos (península Resadiye), Ásia Menor (atual Turquia)

355 AC em Cnidos, Ásia Menor (atual Turquia)

Sabe-se que Eudoxo de Cnidos viajou a Tarento, atualmente na Itália, para estudar com Arquitas, que foi um discípulo de Pitágoras.

Eudoxo também visitou a Sicília, onde estudou medicina com Filiston, antes de fazer sua primeira visita a Atenas na companhia do médico Teomedon. Eudoxo passou dois meses em Atenas, certamente participando de seminários sobre filosofia com Platão e outros acadêmicos.

Eudoxo fez importantes contribuições para a teoria da proporção, criando uma definição que permitia a comparação de comprimentos irracionais de maneira análoga à multiplicação em cruz hoje existente. Uma das grandes dificuldades da Matemática naquele tempo era o fato de que certos comprimentos não são comparáveis. O método de comparar dois comprimentos x e y procurando um comprimento t tal que x = m.t e y = n.t para m e n inteiros não funcionava para segmentos de comprimentos 1 e 2, como mostrado pelo Teorema de Pitágoras.

Eudoxo resolveu o problema de comprimentos irracionais no sentido de que agora poderiam ser comparados comprimentos de qualquer natureza, irracionais ou não.

Outra contribuição de Eudoxo digna de nota foi seu trabalho em integração usando seu método da exaustão. Este trabalho emergiu diretamente de sua teoria de proporções, já que ele agora era capaz de comparar números irracionais. Este trabalho também se baseou em idéias mais antigas de aproximação da área do círculo por polígonos inscritos com um número crescente de lados (Antífon). Eudoxo formalizou a teoria de Antífon, provando rigorosamente os teoremas, anteriormente apresentados por Demócrito:

O volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma de mesmas base e altura.

O volume de um cone é um terço do volume do cilindro com mesmas base e altura.

Arquimedes atribuiu a prova destes teoremas a Eudoxo em seu trabalho Sobre a esfera e o cilindro e naturalmente Arquimedes usou o método de exaustão de Eudoxo para provar um conjunto memorável de teoremas.

Não podemos deixar de mencionar aqui o trabalho que talvez tenha tornado Eudoxo famoso, acerca de teoria planetária e publicado no livro Sobre velocidades, atualmente perdido. Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia Pitagórica através de seu mestre Arquitas, criando um sistema planetário inteiramente baseado em esferas (considerada por Pitágoras a forma perfeita).

O sistema Eudoxiano consiste de um determinado número de esferas de raios iguais em rotação, com eixos passando pelo centro da Terra. Cada eixo de rotação, por sua vez, também se rotaciona através de pontos fixos em outra esfera em rotação, gerando assim uma composição de movimentos.

Observando o diagrama a direita, suponha que tenhamos duas esferas S1 e S2 de mesmo raio, o eixo XY de S1 sendo o diâmetro da esfera S2. Conforme S2 rotaciona sobre o eixo AB, então o eixo XY de S1 rotaciona com ela. Se as duas esferas rotacionam com velocidades angulares constantes, porém opostas, então o ponto P no equador de S1 descreve um curva com formato de "8". Esta curva recebe o nome de hipopédia.

Eudoxo usou esta construção e considerou um planeta com sendo o ponto P "passeando" pela curva. Ele introduziu uma terceira esfera que correspondia ao movimento geral do planeta contra o fundo de estrelas, enquanto o movimento da hipopédia reproduzia o movimento retrógrado. Este sistema com três esferas era ainda inserido em uma quarta esfera, que reproduzia o movimento rotatório diário das estrelas.

Certamente o modelo não representa as verdadeiras trajetórias dos planetas, mesmo com um nível mínimo de precisão. De qualquer modo, talvez seja uma tendência moderna imaginar como Eudoxo desenvolveu uma teoria tão complexa sem testá-la com dados experimentais.

Grandes Matemáticos

Demócrito de Abdera

460 AC em Abdera (Grécia)

370 AC (local desconhecido)

Demócrito de Abdera é certamente mais conhecido por sua teoria atômica, mas ele também foi um excelente geômetra. Pouco sabe-se de sua vida, mas sabemos que ele foi discípulo de Leucipo.

Demócrito foi um homem viajado. Historiadores apontam sua presença no Egito, Pérsia, Babilônia e talvez mesmo Índia e Etiópia.

O próprio Demócrito escreveu:

De todos os meus contemporâneos, fui eu quem cobriu a maior extensão em minhas viagens, fazendo as mais exaustivas pesquisas; eu vi a maioria dos climas e paises e ouvi o maior número de homens sábios.

Conta-se que certa vez, tendo indo a Atenas, Demócrito desapontou-se porque ninguém na cidade o conhecia. Qual não seria sua surpresa hoje ao descobrir que o acesso principal da cidade passa pelo Laboratório Demócrito de Pesquisa Nuclear!

Muito de Demócrito é conhecido por meio de sua física e filosofia. Apesar de não ter sido o primeiro a propor uma teoria atômica, sua visão do mundo físico foi muito mais elaborada e sistemática do que a de seus predecessores. Do ponto de vista filosófico, sua teoria atômica deu origem a uma teoria ética, baseada em um sistema puramente determinístico, eliminando assim qualquer liberdade de escolha individual. Para Demócrito, liberdade de escolha era uma ilusão, já que não podemos alcançar todas as causas que levam a uma decisão.

Já sua matemática é pouco conhecida. Sabemos que ele escreveu sobre geometria, tangentes, aplicações e números irracionais, mas nenhum desses trabalhos chegou ao nosso tempo.

O que podemos afirmar com certeza é que ele foi o primeiro a propor que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesmas base e altura, e que o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesmas base e altura.

Outro fato curioso proposto por Demócrito (como relatado por Plutarco), é o seguinte dilema geométrico:

Se cortarmos um cone por um plano paralelo a base, como serão as superfícies que formam essas seções? São elas regulares ou não? Se forem irregulares, farão o cone irregular, com reentrâncias e degraus; mas, se são regulares, as seções serão todas iguais, e o cone terá a mesma propriedade do cilindro, de ser feito de círculos similares, o que é um absurdo.

Grandes Matemáticos

Arquimedes de Siracusa

287 AC em Siracusa, Sicília

212 AC em Siracusa, Sicília

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...

... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.

De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco:

... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.

O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.

O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.

No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.

Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.

Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.

Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 3¹⁰/₇₁ e 3¹/₇. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x10¹⁶ (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.

Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.

fonte :http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/arquimedes/arquimedes.html

PENSANDO MAIS UM POUCO !!!

Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número?

Poste sua resposta no comentários.

O número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79.

PENSE E RESPONDA !!

Qual é o próximo número da sequência abaixo?

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...


Poste sua resposta, no comentários !!!

Conjuntos II (revisando)

Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Z*₊ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.


Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.

Fonte : infoescola

Jogos Matemáticos

E só clicar e jogar , em breve vou postar mais !!

Estrela dos Números

http://mil.codigolivre.org.br/experimente/jogos/estrela-de-numeros.htm


Tangram

http://mil.codigolivre.org.br/experimente/jogos/tangram-arte-matematica.htmll


http://mil.codigolivre.org.br/projetos/matematica-divertida/pitagoras.html


http://mil.codigolivre.org.br/projetos/matematica-divertida/polimino-2.html



Abraços BETÃO

Estudo da Circunferência

Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência

(contorno do círculo), pois um círculo

é contornado por uma circunferência


que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta

.

O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: Como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante.

E essa constate foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser representado pela letra do alfabeto grego π, facilitando os cálculos. Assim, convencionou que π ≈ 3,14.

Com essas informações podemos concluir uma maneira prática de encontrar o valor do perímetro de um círculo ou cumprimento de uma circunferência.

Iremos estipular: c como sendo o comprimento, r sendo o raio da circunferência.

Formulas :
c = d. π

c = 2 π r

Definições complementares

Abraços Betão !!!

Geometria

Entes primitivos

A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.

Representação, (notação)
→ Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,…
→ Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,…
→ Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:

Representação gráfica

Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.

1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).

3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.

4º Três pontos determinam um único plano.

5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.

6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.

Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).


Classificação de ângulos

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

agudo reto obtuso raso

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.



Retas paralelas cortadas por uma transversal




Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f Suplementares
Ângulos alternos externos: a e g, b e h Congruentes
Ângulos alternos internos: d e f, c e e Congruentes

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola