Operações com números racionais decimais IV

Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal.
Exemplo:

5 · 0,423 = 2,115

2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais.

Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens.

Exemplos:

Operações com números racionais decimais III

Operações com números racionais decimais

Multiplicação
Considere a seguinte multiplicação: 3,49 • 2,5






Método Prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Fonte : Somatemática

Operações com números racionais decimais II

Subtração

Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013

Transformando em fração decimais, temos:

Método Prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.

Exemplos :

Fonte : Somatemática

Operações com números racionais decimais I

Operações com números racionais decimais

Adição Considere a seguinte adição:
1,28 + 2,6 + 0,038 = ?
Transformando em frações decimais, temos:


Método prático :

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos :









Fonte : Somatemática

PROPRIEDADES DA POTÊNCIAÇÃO

Propriedades da potenciação

Primeira propriedade

1) Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
exemplos
3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:
conservamos a base e somamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência
a) 4³ x 4 ²=
b) 7⁴ x 7⁵ =
c) 2⁶ x 2²=
d) 6³ x 6⁴ =
e) 3⁷ x 3² =
f) 9³ x 9 =
g) 5 x 5² =
h) 7 x 7⁴ =
i) 6 x 6 =
j) 3 x 3
l) 9² x 9⁴ x 9 =
m) 4 x 4² x 4
n) 4 x 4 x 4=
0) m⁰ x m x m³ =
p) 15 x 15³ x 15⁴ x 15 =


2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ =
b) 2² x 2⁴ =
c) 5 x 5³ =
d) 8² x 8 =
e) 3⁰ x 3⁰ =
f) 4³ x 4 x 4² =
g) a² x a² x a² =
h) m x m x m² =
i) x⁸ . x . x =
j) m . m . m =


2) Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo
a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência


a) 5⁴ : 5² =
b) 8⁷ : 8³ =
c) 9⁵ : 9² =
d) 4³ : 4² =
e) 9⁶ : 9³ =
f) 9⁵ : 9 =
g) 5⁴ : 5³ =
h) 6⁶ : 6 =
i) a⁵ : a³ =
j) m² : m =
k) x⁸ : x =
l) a⁷ : a⁶ =


2) Reduza a uma só poteência:
a) 2⁵ : 2³ =
b) 7⁸ : 7³=
c) 9⁴ : 9 =
d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

3- Potência de Potência
Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:
a) (5⁴)²
b) (7²)⁴
c) (3²)⁵
d) (4³)²
e) (9⁴)⁴
f) (5²)⁷
g) (6³)⁵
h) (a²)³
i) (m³)⁴
j) (m³)⁴
k) (x⁵)²
l) (a³)⁰
m) (x⁵)⁰

2) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =
b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
d) (2⁷)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)⁴ =
g) (a⁴)⁴ =
h) (m²)⁷ =

Uploaded on authorSTREAM by nekaxa

Conversão de Medidas

Conversão de Medidas

UNIDADES DE COMPRIMENTO

A unidade de principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa unidade deixa de ser prática. Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena, por outro lado se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande".

Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento.

Na tabela abaixo vemos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor correspondente em metro. Na tabela, cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade da comprimento imediatamente inferior (à direita). Em conseqüência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior (à esquerda).

Quilômetro km	Hectômetro hm	Decâmetro dam	Metro m	Decímetro dm	Centímetro cm	Milímetro mm
1000 m	100 m	10 m	1 m	0,1 m	0,01 m	0,001 m

Regras Práticas :

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 10.

Ex : 1 m = 10 dm

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 10.

Ex : 1 m = 0,1 dam

• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

Ex : 1 m = 100 cm

1 m = 0,001 km

UNIDADES DE ÁREA

Quilômetro quadrado km2	Hectômetro quadrado hm2	Decâmetro quadrado dam2	Metro Quadrado m2	Decímetro quadrado dm2	Centímetro quadrado cm2	Milímetro quadrado mm2
1x106 m2	1x104 m2	1x102 m2	1 m2	1x10-2 m2	1x10-4 m2	1x10-6 m2

Regras Práticas :

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 100.

Ex : 1 m² = 100 dm²

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devmos fazer uma divisão por 100.

Ex : 1 m² = 0,01 dam²

• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

UNIDADES DE VOLUME

Regras Práticas :

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 1000.

Ex : 1 m³ = 1000 dm³

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 1000.

Ex : 1 m³ = 0,001 dam³

• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

Litro

O litro( l ) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm³ .

1 litro = 0,001 m³ => 1 m³ = 1000 litros

1 litro = 1 dm³

1 litro = 1.000 cm³

1 litro = 1.000.000 mm³

Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades é baseado em 6 unidades fundamentais. A unidade fundamental de comprimento é o metro. Para cada unidade existem as unidades secundárias, que são expressas através da adição de um prefixo ao nome correspondente à unidade principal, de acordo com a proporção da medida.

Prefixos Usados no SI
Prefixos	Símbolos	Fator de multiplicação da unidade
Tera	T	1012
Giga	G	109
Mega	M	106
Quilo	k	103
Hecto	h	102
Deca	da	101
Deci	d	10-1
Centi	c	10-2
Mili	m	10-3
Micro	m	10-6
Nano	n	10-9
Pico	p	10-12
Fento	f	10-15
Atto	a	10-18

VOLUME DE UM CUBO

O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior seu volume, e vice-versa.

Volume de um cubo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura.

Cálculo de volume de um cubo.


V= volume
a= arestas

V= a.a.a
V=a³







Volume de um paralelepípedo

O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas três dimensões: comprimento, largura e altura . O volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é:

V = a X b X c

Dízimas periódicas/ Geratriz

Dízimas periódicas

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5)

(período: 3)

(período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2 Parte não periódica: 0

Período: 4 Período não periódica: 15

Período: 23 Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima Composta:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

Fonte : http://www.somatematica.com.br

Razões

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 3	= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3 6	= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A/B

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A B	=	C D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A B	=	C D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3 4	=	6 8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x 3	=	4 6

Para obter X=2.

Numeros Racionais e Numeros Inteiros

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.

N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }

Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }

N Z

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2).

►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:

♦ Exemplo 1:

Um termômetro em certa cidade que marcou 10^°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros?

Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.

+10° C ------------- 10° C acima de zero
- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero

♦ Exemplo 2:

Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas:

• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00

• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00

• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00

A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:

Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00.

►Oposto de um número inteiro

O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de +2 é -2; o oposto de -3 é +3.

►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:

- Inteiros não – nulos
São os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}

- Inteiros não positivos
São os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não positivos e não – nulos
São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.
Z*_ = {..., -3, -2, -1}

- Inteiros não negativos
São os números positivos incluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.
Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...}
O Conjunto Z ₊ é igual ao Conjunto dos N

- Inteiros não negativos e não - nulos
São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
Z* + = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto Z* ₊ é igual ao Conjunto N*

Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:
Por exemplo:

♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números tem a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:



Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:



As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma : com a, b Z e b ≠ 0.

► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x = , com a Z e b Z*}

►Outros subconjuntos de Q:

Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.

Q^* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

Q₊ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

Q_- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

Q_^*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.

Q^*_- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.


► Representação Geométrica

Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola