Projeções ortogonais

Projeções ortogonais

Projeções de um ponto

Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da perpendicular” ao plano pelo ponto.




P é o ponto considerado a projeção ortogonal de P em α. Assim, denominamos ponto α de plano de projeção e a reta perpendicular r de reta projetante.

Projeção de uma figura

O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a projeção ortogonal da mesma num plano.

Vejamos o modelo:

Na figura, o retângulo é a projeção ortogonal do cilindro num plano paralelo ao eixo. Já o círculo é a projeção do mesmo cilindro num plano paralelo a base. Assim:





Projeção de uma reta

A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano.

I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será um ponto.



Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α

II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal projeção ortogonal será outra reta.



Na imagem, r forma projeção ortogonal de r em α.

Ângulo entre reta e plano

Uma vez que reta for perpendicular a um plano, o ângulo entre eles será reto. Assim, caso a reta seja obliqua em comparação ao plano, o ângulo entre eles será o ângulo que ela formará com sua projeção ortogonal. Desta forma:




Na imagem, obtemos:

A reta s estabelece ângulo reto com α.
O ângulo θ que a reta r estabelece com o plano α é o ângulo que a reta r estabelece com sua projeção ortogonal r’.

Retas de maior declive

Denominamos retas de maior declive de um plano α em comparação a um plano β às retas de α que constituem o maior ângulo existente com β. Comprova-se assim que os dois planos são secantes as retas de maior declive de um em relação ao outro são perpendiculares à intersecção.



Na imagem, r forma uma reta de maior declive de α em comparação a β.

Ângulo entre planos

O ângulo entre dois planos é o ângulo que uma reta de maior declive de um forma com o outro.



Na imagem:

r representa uma reta de maior declive de α em comparação a β.

r’ representa a projeção ortogonal da reta r em β.

θ representa o ângulo entre α e β.

Fonte :http://www.colegioweb.com.br/matematica/projecoes-ortogonais.html