MATEMÁTICA CURIOSA: Estudo da Função

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

0	-1
	0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.unção de 1º grau

Zero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

Vejamos alguns exemplos:

Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Crescimento e decrescimento

Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-10	-7	-4	-1	2	5	8

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
função y = 3x - 1 é crescente.
Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a <>

Justificativa:

para a > 0: se x₁ <>2, então ax₁ <>2. Daí, ax₁ + b <>2 + b, de onde vem f(x₁) <>2).
para a <>1 <>2, então ax₁ > ax₂. Daí, ax₁ + b > ax₂ + b, de onde vem f(x₁) >f(x₂).

Função de 1º grau

Sinal

Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y > 0 ax + b > 0 x >

y < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> ax + b < src="http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/bigseta.gif" align="middle" border="0" height="16" width="20"> x <

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a <>

y > 0 ax + b > 0 x <

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x	y
-3	6
-2	2
-1	0

0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a <>, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a <>, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax² + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,

a > 0

2ª quando a <>,

a <>
Função Quadrática

Construção da Parábola

É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a<>
A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b² - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: