MATEMÁTICA CURIOSA: O Volume do Barril Elíptico

sexta-feira, 8 de outubro de 2010

O Volume do Barril Elíptico

Já apresentei uma fórmula para calcular o volume de um barril, ajustando a curva resultante da interseção de um plano que passa pelo seu eixo a uma parábola.

Na prática, a fórmula usada para calcular o volume de um barril é dada por

$[;V = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2) \qquad (1);]$

que é obtida admitindo que a curva interseção é uma elipse centrada na origem e de semi-eixos $[;a;]$ e $[;b;]$ cuja equção cartesiana é dada por

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\qquad (2);]$

O primeiro passo para deduzir a expressão $[;(1);]$ é escrever $[;a;]$ e $[;b;]$ em função de $[;D;]$ , $[;d;]$ e $[;h;]$ . Substituindo o ponto $[;(0,D/2);]$ em $[;(2);]$ , temos

$[;\frac{0^2}{a^2} + \frac{D^2/4}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{D^2}{4};]$

Analogamente, substituindo o ponto $[;(\frac{h}{2},\frac{d}{2});]$ , segue que

$[;\frac{h^2/4}{a^2} + \frac{d^2/4}{D^2/4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{h^2}{4a^2} = 1 - \frac{d^2}{D^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{h^2}{4a^2} = \frac{D^2 - d^2}{D^2} \quad \Rightarrow \quad\frac{1}{a^2} = \frac{4(D^2 - d^2)}{D^2h^2};]$

Sendo $[;dV = \pi y^2dx;]$ , segue que

$[;dV = \pi b^2\biggl(1 - \frac{x^2}{a^2}\biggr) = \pi \frac{D^2}{4}\biggl(1 - \frac{4x^2(D^2 - d^2)}{D^2h^2}\biggr)dx \quad \Rightarrow;]$

$[;dV = \frac{\pi}{4h^2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]$

$[;V = 2\times\frac{\pi}{4h^2}\int_{0}^{h/2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]$

$[;V = \frac{\pi}{2h^2}\biggl[D^2h^2x -4(D^2 -d^2)\frac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{h/2}\quad \Rightarrow;]$

$[;V = \frac{\pi h}{2}\biggl[\frac{D^2}{2} - \frac{(D^2 - d^2)}{6}\biggr] = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2);]$

É comum expressar esta fórmula em função dos raios das bases: $[;r = d/2;]$ e $[;R = D/2;]$ . Substituindo esses valores em $[;(1);]$ , tem-se

$[;V = \frac{\pi h}{3}(2R^2 + r^2);]$

Exemplo 1: Calcule o volume de um barril de vinho de altura $[;h = 80\ cm;]$ , diâmetro da base média $[;D = 40\ cm;]$ e diâmetro da base inferior ou superior $[;d = 30\ cm;]$ .

Resolução: Usando a expressão $[;(1);]$ , temos

$[;V = \frac{\pi 80}{12}(2\cdot 40^2 + 30^2) = \frac{82000\pi}{3}\ cm^3 \simeq 85870\ cm^3;]$

Observação 1: Entende-se também por barril como uma unidade para petróleo líquido (geralmente petróleo cru) igual a $[;158,987294928;]$ litros se for barril stadunidense ou a $[;159,11315;]$ litros se for barril imperial britânico. O barril é representado por bbl, com os seus múltiplos Mbbl (mil barris) e MMbbl (um milhão de barris).

Fonte: Wikipédia.
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