MATEMÁTICA CURIOSA: 09/01/2010

quarta-feira, 22 de setembro de 2010

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, presentes em pequenos santuários budistas japoneses.

Essas tabletas visíveis hoje são em sua maioria do século $[;XIX;]$ , mas sabe-se que a prática já era corrente em meados do século $[;XVII;]$ . O conteúdo e a forma dos sangaku mudaram pouco desde época em que surgiram: trata-se de enunciados de problemas, propostos por um indivíduo, com ou sem solução. Eles são relativamente sucintos e inspirados, na maioria dos casos, em composições geométricas complexas, nas quais quadrados, círculos, elipses, esferas ou cubos se cruzam ou tangenciam harmoniosamente.

Uma possível explicação do papel dessas tabuletas, foi a de divulgar os jovens talentosos isolados e desprovidos de recursos. Para esses últimos, pendurar a resolução de um problema difícil num lugar muito visitado era uma maneira eficaz de atrair a atenção para eles. Um exemplo é o caso do matemático Aida Yasuaki $[;(1747-1817);]$ no momento em que decidiu se tornar conhecido na capital.

Neste post, veremos alguns sangakus com soluções e outros que deixarei como desafio para os meus leitores. Vejamos então alguns problemas:

$[;1);]$ Os círculos azul, laranja e vermelho são tangentes entre si dois a dois, e tangentes a uma reta comum. Determine o raio do círculo menor em função dois outros dois círculos.

Resolução: Sejam $[;r_1,\ r_2;]$ e $[;r_3;]$ os raios dos círculos de centros $[;O_1;]$ , $[;O_2;]$ e $[;O_3;]$ respectivamente. Segue da figura abaixo que a hipotenusa do triângulo retângulo é $[;r_1 + r_2;]$ e o cateto menor é $[;r_1 - r_2;]$ .

Assim, pelo teorema de Pitágoras,

$[;AB^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 = 4r_1r_2 \quad \Rightarrow \quad AB = 2\sqrt{r_1r_2};]$

Analogamente, $[;AC = 2\sqrt{r_1r_3};]$ e $[;BC = 2\sqrt{r_2r_3};]$ . Logo,

$[;AB = AC + CB \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3};]$

Dividindo ambos os membros por $[;\sqrt{r_1r_2r_3};]$ , segue que

$[;\frac{1}{sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_2}} + \frac{1}{\sqrt{r_1}};]$

$[;2);]$ Dado dois círculos de raios inscritos iguais como mostrado na figura abaixo, prove que $[;AP = \sqrt{p(p-a)};]$ , onde $[;p;]$ é o semi-perímetro do $[;\Delta ABC;]$ .

Resolução: Na figura acima, $[;r;]$ é o inraio do $[;\Delta ABC;]$ . Sejam $[;p_1;]$ e $[;p_2;]$ o semi-perímetro dos $[;\Delta ABP;]$ e $[;\Delta ACP;]$ respectivamente, que aliás possuem o mesmo inraio denotado por $[;k;]$ . Fazendo $[;AP = x;]$ , segue que $[;2p_1 + 2p_2 = 2p + 2x;]$ . Por outro lado, pela igualdade de áreas, $[;rp = kp_1 + kp_2;]$ . Portanto,

$[;x = rp/k - p \quad \quad (1);]$

Por semelhanças de triângulos,

$[;\frac{p-b}{p_1 - x} = \frac{r}{k} = \frac{p - c}{p_2 - x} \quad \quad (2);]$

De $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , segue que

$[;\frac{p(p-b)}{p_1 - x} - p = x = \frac{p(p - c)}{p_2 - x} - p;]$

Dessas equações obtemos o sistema na variável $[;x\ ;]$ , ou seja:

$[;\begin{cases}p(p - b) - pp_1 + px &= p_1x - x^2\\p(p - c) - pp_2 + px &= p_2x - x^2\\\end{cases};]$

Somando essas equações, temos:

$[;p(2p - b - c) - p(p_1 + p_2) + 2px = x(p_1 + p_2) - 2x^2;]$

$[;pa - p(p + x) + 2px = x(p + x) - 2x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = p^2 - pa;]$

Logo,

$[; x = \sqrt{p(p-a)};]$

Problemas Propostos:

$[;1);]$ A corda $[;ST;]$ é perpendicular ao diâmetro $[;CP;]$ de um círculo de centro $[;O;]$ . $[;Q;]$ é um ponto de $[;CP;]$ entre $[;P;]$ e $[;R;]$ . $[;SQ;]$ intercepta o círculo em $[;V;]$ . Seja $[;r;]$ o raio do círculo inscrito no triângulo curvilíneo $[;TQV;]$ (conforme a figura abaixo). Prove que

$[;\frac{1}{r} = \frac{1}{PQ} + \frac{1}{QR};]$

$[;2);]$ Considere o quadrado $[;ABCD;]$ abaixo de lado $[;a;]$ e diagonal $[;AC;]$ . Os raios inscritos dos triângulos $[;ACN;]$ e $[;BCN;]$ são iguais a $[;r;]$ . Escreva $[;r;]$ em função do lado $[;a;]$ .

Sugestão: Sendo $[;\Delta BCN;]$ retângulo, mostre que

$[;r = (BN + BC + CN)/2 - CN = (BN + BC - CN)/2;]$

Por outro lado, sendo os raios inscritos nos dois triângulos iguais, segue que do Exemplo 2) que $[;CN^2 = p(p - AB);]$ , onde $[;p;]$ é o semi-perímetro do $[;\Delta ABC;]$ . Usando o fato que $[;AC = a\sqrt{2};]$ , segue o resultado.

Referências Bibliográficas:
- Unger, J. Marshall. A Collection Sangaku Problems. Department of East Asian Languages & Literatures.The Ohio State University.
- Horiuchi Annick. Geometria a Serviço dos Deuses no Japão. Etnomatemática: Edição Especial da Scientif American Brasil.

Fonte:http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/os-sangakus-e-matematica-japonesa.html