Resolução de equações do segundo grau incompletas

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .
  
  Solução
  Inicialmente, colocamos x em evidência:
  

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Ângulos

Ângulos

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

As semi-retas formam um ângulo raso.

Verifique que:

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Suplemento
X	180º - X

Exemplo:

• Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução

Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo

Medida do suplemento = 180º - 55º

Medida do suplemento = 125º

Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.

Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo	Complemento
x	90º - x

Exemplo:

• Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

Solução

Medida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75º

Medida do complemento = 15º

Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = k

Assim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔB

Daí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v x - 3x = - 40º - 60º -2x = - 100º x = 50º Logo, o valor de x é 50º.

Problemas matemáticos

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões são utilizadas.
Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.
A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)
O quadrado de um número mais 10 → x² + 10
O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x
A metade da soma de um número mais 15 → x/2 + 15
A quarta parte de um número → x/4

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 94. Determine-os.

1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4

( x )(x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução

x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30

1º número: x → 30
2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34

Os números procurados são 30, 32 e 34.

Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 5²
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui há cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

Atualmente
Filho: x
Pai: 4x

Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 * (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
x = 10

Pai: 4x → 4 * 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu quádruplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: g
Coelhos: c

g + c = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:

2g + 4c = 100

Sistema de equações

Isolando c na 1ª equação:
g + c = 35
c = 35 – g

Substituindo c na 2ª equação:
2g + 4c = 100
2g + 4 * (35 – g) = 100
2g + 140 – 4g = 100
2g – 4g = 100 – 140
– 2g = – 40
g = 40/2
g = 20

Calculando c

c = 35 – g
c = 35 – 20
c = 15

Tipo de numeral

A representação da quantidade de elementos de um conjunto é feita através de numerais ou símbolos matemáticos.
Por exemplo: O conjunto formado por 10 laranjas pode ser representado pelos numerais: 10, dez, X, uma dezena, ∩, ►.

Os numerais citados acima X, ∩, ► são respectivamente símbolos romano, egípcio e babilônico, utilizados para representar a quantidade de elementos de um conjunto.

Considerando o conjunto dos números naturais podemos destacar os seguintes numerais:

Numerais cardinais

Esses numerais utilizam os números pertencentes ao conjunto dos números naturais para representar a quantidade de elemento de um conjunto.
Exemplo: um, dois, três, quatro, cinco...

Numerais coletivos

Esses numerais são utilizados para representar quantidades específicas de um determinado conjunto, pois são variáveis em número e invariáveis em gênero.
Exemplo: dúzia (s), milheiro (s), milhar (es), dezena (s), centena (s), par (es), década (s).

Numeral ordinal

Esses numerais são utilizados para indicar a ordem dos elementos de um conjunto.
Exemplo: primeiro, segundo, terceiro.

Numeral multiplicativo

Esses são numerais que representam quantidades de um conjunto que podem ser expressas em forma de multiplicação.
Exemplo: dobro, triplo, quádruplo, ....

Numeral fracionário

Esses numerais são utilizados para representar partes de um inteiro (frações). Essas frações devem ser formadas através dos numerais cardinais.

Relações Métricas

Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:


Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:


h² = mn b² = na c² = am bc = ah


Aplicações do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.



Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:




Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:

x² = a² + b²
d² = x² + c²

substituindo, temos:


Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo)

Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:
a = b = c = l

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Quadrilátero

Quadrilátero

4ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

	H: ABCD é paralelogramo. T:
Demonstração
Afirmativa	Justificativa
	Ângulos alternos internos.
	Lados opostos (1ª propriedade).
	Ângulos alternos internos.
	Caso A.L.A..
	Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo:

Num paralelogramo:

• os lados opostos são congruentes;
• cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
• os ângulos opostos são congruentes;
• as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo.

As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD é retângulo. H: .

Fonte: Só Matemática