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terça-feira, 2 de junho de 2009

Extração da raiz quadrada de um número

Alegria Matemática: Extração da raiz quadrada de um número

Extrair a raiz quadrada de um número inteiro A não negativo é obter um outro número real r tal que r²=A. Se a igualdade não é possível, pelo menos esperamos que r² seja um número menor do que A e próximo de A.

Apresentaremos o processo para extrair a raiz quadrada de A=127599 para implementar um processo geral.

1.

Tome uma folha de papel, trace uma linha vertical e outra horizontal para obter 4 quadrantes. O número A é posto no canto superior esquerdo e a raiz aparecerá no canto superior direito.

127599 | Canto Sup. Direito
------------------- | ------------------
Canto Inf. Esquerdo | Canto Inf. Direito

2.

Decompomos o número inteiro A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.

12.75.99 | ........
-------- | --------
........ | ........

3.

Ordenamos as classes da esquerda para a direita com os valores das classes indicados por C1, C2, C3, ...

C1.C2.C3 | ........
-------- | --------
........ | ........

Neste exemplo: C1=12, C2=75 e C3=99.
4.

C1 poderá ter um ou dois algarismos (neste caso tem 2) e os valores de todas as classes serão menores do que 100.

12.75.99 | ........
-------- | --------
........ | ........

5.

Quais são os números inteiros positivos B que elevados ao quadrado são menores ou iguais que C1=12? Os valores possíveis para B são 0, 1, 2 ou 3.
6.

O maior número inteiro com esta propriedade é B=3. Colocamos 3 no canto superior direito.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
........ | ........

7.

Colocamos B²=3²=9 em baixo de C1

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........

8.

Realizamos a diferença D=C1-B²=3, pondo este último valor abaixo de uma nova linha.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........
-------- |
.3...... |

9.

Baixamos a classe C2=75 até a linha onde está a diferença D=3.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | ........
-------- |
.3.75... |

10.

Reunimos D=3 com C2=75 para formar o número E=375.

12.75.99 | 3.......
-------------------
.9...... | ........
-------- |
..375... |

11.

Colocamos 2B (dobro de B=3) no canto inferior direito.

12.75.99 | 3.......
-------- | --------
.9...... | 6.......
-------- |
..375... |

12.

A divisão inteira de E=375 por 6=2B ainda deve ser dividida por 10 para obtermos o próximo algarismo F no processo. O 10 indica que este é o dígito das dezenas para a raiz quadrada. Dessa forma, F=E÷(20B)=375÷60= 6
13.

F=6 ficará à direita de B=3 no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.

12.75.99 | 36.......
-------- | ---------
.9...... | 66x6=....
-------- |
..375... |

14.

Multiplicamos os números do canto inferior direito.

12.75.99 | 36.......
-------- | ---------
.9...... | 66x6=376.
-------- |
..375... |

15.

Como o produto é maior do que o número 375 que está no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |

16.

Com F-1 no lugar de F obtemos um novo produto G=325 que agora é menor do que E=375. Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.
17.

Após obter o F=5 adequado, pomos o número formado pelos dígitos B e F no canto superior direito e o número G em baixo de E, para obter a diferença H=E-G=50.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
...50... |

18.

Baixamos a próxima classe C3=99 até a linha que contém a diferença H=50.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
...50.99 |

19.

Formamos agora um novo número I=5099 e tomamos BF=35.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325.
-------- |
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

20.

No canto inferior direito, em baixo do produto 65x5=325, colocamos o dobro de BF, que é 70.

12.75.99 | 35.......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325
-------- | 70
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

21.

Como já é a segunda vez que realizamos esta operação, devemos realizar a divisão inteira de I=5099 por 20BF=700 para obter J=I÷(20BF)=5099÷700=7. O número J=7 será posto à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.

12.75.99 | 357......
-------- | ---------
.9...... | 65x5=325
-------- | 707x7=
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

22.

Multiplicamos J=7 pelo número K=707 formado por 2BF e J.

12.75.99 | 357.......
-------- | ----------
.9...... | 65x5 = 325
-------- | 707x7=4949
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |

23.

Verificamos que este produto L=4949 é menor do que I=5099. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.
24.

Realizamos a diferença M=I-L=5099-4949=150. Nesse momento, você deverá estar com o número formado pelos dígitos B, F e J no canto superior direito. Este é o número representa a raiz quadrada que você está procurando!

12.75.99 | 357.......
-------- | ----------
.9...... | 65x5 = 325
-------- | 707x7=4949
..375... |
..325... |
-------- |
....5099 |
....4949 |
-------- |
.....150 |

25.

Observamos que o número BFJ=357 é o maior número inteiro positivo que elevado ao quadrado ainda é menor do que 127599, mas podemos melhorar a precisão do cálculo para a raiz quadrada, obtendo o próximo número decimal após BFJ.
26.

Como zeros depois da vírgula não têm significado, podemos acrescentar uma "nova" classe C4=00 após a classe C3, com o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.

12.75.99,00 | 357,......
----------- | ----------
.9...... .. | 65x5 = 325
----------- | 707x7=4949
..375... .. |
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
.....150 .. |

27.

Baixamos a classe 00 até a linha contendo a diferença e realizamos a junção destes dois números. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.

12.75.99,00 | 357,......
----------- | ----------
.9...... .. | 65x5 = 325
----------- | 707x7=4949
..375... .. | 714
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |

28.

No canto inferior direito, em baixo dos dois produtos, pomos um algarismo N adequado (neste caso N=2, pois este é o maior algarismo que serve aos nossos propósitos), na frente de 2(BFJ) e formamos um produto como o que está indicado abaixo. Realizamos este último produto.

12.75.99,00 | 357,2.......
----------- | ------------
.9...... .. | 65 x 5 = 325
----------- | 707x7 = 4949
..375... .. | 7142x2=14284
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |

29.

Realizamos a diferença

12.75.99,00 | 357,2.......
----------- | ------------
.9...... .. | 65 x 5 = 325
----------- | 707x7 = 4949
..375... .. | 7142x2=14284
..325... .. |
----------- |
....5099 .. |
....4949 .. |
----------- |
......15000 |
......14284 |
----------- |
........716 |

30.

Podemos continuar o processo inserindo novas classes 00 para obter resultados mais precisos. Afirmamos então que, a raiz quadrada de 127.599 é aproximadamente igual a 357,21, pois:

(357,21)² ~ 127.598,9841

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