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terça-feira, 4 de agosto de 2009

Fatoração

Existe uma forma para fatorar números, por exemplo:

Os números 32 ; 120 ; 360 podem ser fatorados em fatores primos, sendo assim temos:
32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
fatores primos

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 23 . 3 . 5
fatores primos

360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 23 . 32 .
fatores primos

Da mesma forma é possível fatorar expressões algébricas. A fatoração, tanto de números como de expressões algébricas, são formas diferentes de representar um número ou uma expressão algébrica. Por exemplo:

♦ O número 45 pode ser representado por uma fatoração 32 . 5, pois se resolvermos a potência e a multiplicação chegaremos ao valor 45.

x2 – 1 é uma expressão algébrica que também pode ser representada de outra forma, basta fazer sua fatoração, ficando assim: (x + 1) (x – 1).

♦ 2x2 – 2x + 2 é uma expressão algébrica, fatorada fica assim: 2(x2 – x + 1).

A forma de fatorar expressões algébricas é diferente da fatoração de números inteiros, pois para cada tipo de expressão algébrica é utilizado um caso de fatoração diferente.

Esses casos são separados em:

• Fator comum (colocar o termo em evidência);
• Agrupamento;
• Trinômio do quadrado perfeito;
• Trinômio do tipo x2 + Sx +P;
• Diferença de dois quadrados;
• Soma de dois cubos;
• Diferença de dois cubos.

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum).
Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência.
Observe no exemplo a seguir:

4x² + 8x + 6xy + 12y
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y (12 = 6*2)
4x(x + 2) + 6y(x + 2)
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum.
(4x + 6y) (x + 2)

Observe mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento:

Exemplo 1
2xy – 12x + 3by – 18b
2x(y – 6) + 3b(y – 6)
(2x + 3b)( (y – 6)

Exemplo 2
6x²b + 42x² – y²b – 7y²
6x²(b + 7) – y²(b + 7)
(6x² – y²) (b + 7)

Exemplo 3
x² – 10x + xy – y
x(x – 10) + y(x – 1)
(x + y) ( x – 1)

Exemplo 4
a³b + a² + 5ab³ + 5b²
a²(ab + 1) + 5b²(ab + 1)
(a² + 5b²) (ab + 1)

Exemplo 5
2xy – 4x + 3xy – 6x + 4xy – 8x
2x(y – 2) + 3x(y – 2) + 4x (y – 2)
(2x + 3x + 4x) (y – 2)
9x (y – 2)

Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado.

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando:

- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
- Os dois monômios sejam quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:


• a2 - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração.
1 – a2
3
• 4x2 – y2

►Como escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas.

Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.




A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5).

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:
A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8).


Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 25x2 – 81, a raiz dos termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9).

Exemplo 3:
Dada a expressão algébrica 4x2 – 81y2, a raiz dos termos 4x2 e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y) (2x + 9y).



Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

O que é trinômio

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja exemplos:

3x2 + 2x + 1

20x3 + 5x – 2x2

2ab +5b + 3c

Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:

Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 52 = 25.
Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado à abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.




Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado2 , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A1 = (x + y)2

O resultado dessa área A1 = (x + y)2 é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A2 = x2 + xy + xy + y2, como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A2 = x2 +2xy + y2

O resultado da área A2 = x2 +2xy + y2 é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A1 = A2
(x + y)2 = x2 +2xy + y2

Então, o trinômio x2 +2xy + y2 tem como quadrado perfeito (x + y)2.

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x2 +2xy + y2 fatorado fica (x + y)2.


Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

Como já foi dito, nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:


Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m2 – m n + n2 , devemos tirar as raízes dos termos m2 e n2 , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x2 – 8xy + y2, devemos tirar as raízes dos termos 4x2 e y2 , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a2 – 6a.
Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:
9a2 – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a2 e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)2.


Por Danielle de Miranda
Graduada em Metemática
Equipe Brasil Escola




Um comentário:

Anônimo disse...

NO exemplo 2x^2-x-1=(x-1)(2x+1).
Como eu faço p chegar no "x-1"e"2x+1".
Por favor me ajude :)