1.200.000 VISUALIZAÇÕES! OBRIGADO!!

sábado, 16 de maio de 2009

PG - Progressão Geométrica



P.G representada em uma função gráfica.

Progressão Geométrica

Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:

a2 : a1 = 6 : 3 = 2
a4 : a3 = 24 : 12 = 2
a5 : a4 = 48 : 24 = 2

Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3


TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a1, a2, a3, ... , an) uma P.G de razão q. Temos:

a2 : a1 = q → a2 = a1 . q

a3 : a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q²

a4 : a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:

an = a1 . qn – 1

Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:

Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a1 = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a1 . q9 → a10 = 1 . 39 → a10 = 19683

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a1, a2, a3, ..., an) de razão q ≠ 1.

Somando todos os termos dessa P.G:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:

q . Sn = q (a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an - 1 + an) = a1 . q + a2 . q + a3 . q + … + an-1 . q + an .

q . Sn = a2 + a3 + a4 + … + an + an .q (II)

Fazendo (II)(I), temos:
q . Sn – Sn = ( a2 + a3 + … + an-1 + an + an . q) - (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)
Sn . (q – 1) = an . q – a1
Como an = a1 . qn – 1 , vem:
Sn . (q – 1 ) = a1 qn – 1 . q - a1, isto é,


Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola



Nenhum comentário: