Demócrito de Abdera é certamente mais conhecido por sua teoria atômica, mas ele também foi um excelente geômetra. Pouco sabe-se de sua vida, mas sabemos que ele foi discípulo de Leucipo.
Demócrito foi um homem viajado. Historiadores apontam sua presença no Egito, Pérsia, Babilônia e talvez mesmo Índia e Etiópia.
O próprio Demócrito escreveu:
De todos os meus contemporâneos, fui eu quem cobriu a maior extensão em minhas viagens, fazendo as mais exaustivas pesquisas; eu vi a maioria dos climas e paises e ouvi o maior número de homens sábios.
Conta-se que certa vez, tendo indo a Atenas, Demócrito desapontou-se porque ninguém na cidade o conhecia. Qual não seria sua surpresa hoje ao descobrir que o acesso principal da cidade passa pelo Laboratório Demócrito de Pesquisa Nuclear!
Muito de Demócrito é conhecido por meio de sua física e filosofia. Apesar de não ter sido o primeiro a propor uma teoria atômica, sua visão do mundo físico foi muito mais elaborada e sistemática do que a de seus predecessores. Do ponto de vista filosófico, sua teoria atômica deu origem a uma teoria ética, baseada em um sistema puramente determinístico, eliminando assim qualquer liberdade de escolha individual. Para Demócrito, liberdade de escolha era uma ilusão, já que não podemos alcançar todas as causas que levam a uma decisão.
Já sua matemática é pouco conhecida. Sabemos que ele escreveu sobre geometria, tangentes, aplicações e números irracionais, mas nenhum desses trabalhos chegou ao nosso tempo.
O que podemos afirmar com certeza é que ele foi o primeiro a propor que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesmas base e altura, e que o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma de mesmas base e altura.
Outro fato curioso proposto por Demócrito (como relatado por Plutarco), é o seguinte dilema geométrico:
Se cortarmos um cone por um plano paralelo a base, como serão as superfícies que formam essas seções? São elas regulares ou não? Se forem irregulares, farão o cone irregular, com reentrâncias e degraus; mas, se são regulares, as seções serão todas iguais, e o cone terá a mesma propriedade do cilindro, de ser feito de círculos similares, o que é um absurdo.
Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.
Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.
No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...
... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.
De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.
Escreve Plutarco:
... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...
Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse. Novamente citando Plutarco:
[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.
Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.
As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.
Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.
O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.
O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.
No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.
Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.
Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.
Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.
Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!
O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.
Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.
Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.
Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número?
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O número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79.
Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
- Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q.
Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.
Quando somamos todos os lados de uma figura plana iremos obter o seu perímetro, no caso específico do círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo comprimento da circunferência
(contorno do círculo), pois um círculo
é contornado por uma circunferência
que é formada pela união das extremidades de uma linha aberta
.
O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: Como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante.
E essa constate foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser representado pela letra do alfabeto grego π, facilitando os cálculos. Assim, convencionou que π ≈ 3,14.
Com essas informações podemos concluir uma maneira prática de encontrar o valor do perímetro de um círculo ou cumprimento de uma circunferência.
Iremos estipular: c como sendo o comprimento, r sendo o raio da circunferência. Formulas : c = d. π c = 2 π r
A definição dos entes primitivos ponto, reta e plano é quase impossível, o que sabe-se muito bem e aqui será o mais importante é sua representação geométrica e espacial.
Representação, (notação) → Pontos serão representados por letras latinas maiúsculas; ex: A, B, C,… → Retas serão representados por letras latinas minúsculas; ex: a, b, c,… → Planos serão representados por letras gregas minúsculas; ex:
Representação gráfica
Postulados primitivos da geometria, qualquer postulado ou axioma é aceito sem que seja necessária a prova, contanto que não exista a contraprova.
1º Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos. 2º Dois pontos determinam uma única reta (uma e somente uma reta).
3º Pontos colineares pertencem à mesma reta.
4º Três pontos determinam um único plano.
5º Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano.
6º Duas retas são concorrentes se tiverem apenas um ponto em comum.
Observe que . Sendo que H está contido na reta r e na reta s.
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).
Classificação de ângulos
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:
Agudo: ângulo com medida menor que 90º. Reto: ângulo com medida igual a 90º. Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. agudo reto obtuso raso
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Congruentes Ângulos colaterais externos: a e h, b e g Suplementares Ângulos colaterais internos: e e d, c e f Suplementares Ângulos alternos externos: a e g, b e h Congruentes Ângulos alternos internos: d e f, c e e Congruentes
Os números que são quadrados de outro se denominam números quadrados perfeitos. Assim, 0, 1, 4. 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,. .
São quadrados perfeitos.
Veja tabela :
n
Raiz
0
0
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
100
10
121
11
144
12
169
13
196
14
225
15
n
Raiz
256
16
289
17
324
18
361
19
400
20
441
21
484
22
529
23
576
24
625
25
676
26
729
27
784
28
841
29
900
30
Só os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata.
Não há quadrado perfeito que termine em 2, 3, 7, 8 ou em número ímpar de zeros.
RAIZ QUADRADA APROXIMADA.
Para os númerosque não são quadrados perfeitos,
consideraremos uma raiz quadrada aproximada conforme veremos a seguir;
Seja , por exemplo, o número 31 ( que não é quadrado perfeito ).
Observemos que:
25 <31<36>5 2 <31>36
Quadrado perfeito mais próximo e maior que 31
Quadrado perfeito mais próximo e menor que 31.
Daí:
5 é o maior número natural cujo quadrado é menor que 31
6 é o menor número natural cujo quadrado é maior que 31
Costuma-se tomar como raiz quadrada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximadapor falta.
está representação apresenta a aproximação com uma casa decimal
374. Raiz de um numero é um dos fatores iguais que produziram esse numero.
As raízes, bem como as potências, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cúbica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc.
Raiz quadrada de um numero é um dos dois fatores iguais desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5.
Raiz cúbica de um numero é um dos três fatores iguais desse numero; assim a raiz cúbica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4.
A quarta raiz de um numero é um dos quatro fatores iguais desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 =
= 3 X 3 X 3 X 3
375. A figura chama-se sinal radical, e quando está escrito sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo índice.
Índice é o numero escrito no ângulo do sinal radical, para mostrar o grau da raiz; assim
lê-se: raiz quadrada de 16.
lê-se: raiz cúbica de 216.
lê-se: raiz quarta raiz de 625.
lê-se: décima raiz de 1024.
Nota. O sinal é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz.
Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o sinal , ficando subentendido o índice 2.
Qualquer raiz de 1 é sempre 1, porque 1 X 1 X 1 = 1.
376. Os quadrados perfeitos desde 1 até 100 são os seguintes:
Quadrados perfeitos:
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Raizes quadradas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez números inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, produtos de dois fatores iguais, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros números intermediários não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos números inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos.
Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada pode ser exatamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exata, que é 8.
Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não pode ser exatamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fração. Esta raiz, por mais aproximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exatamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distingui-la da raiz exata dos quadrados perfeitos.
377. Pela simples inspeção de um numero qualquer, não podemos saber se ele é ou não quadrado perfeito, sem extrair-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou teoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos números não são quadrados. Esses teoremas são os seguintes:
1. Teorema. Todo numero terminado em 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito.
Demonstração. O algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.
2. Teorema. Todo numero terminado por um numero impar de cifras não é quadrado perfeito.
Demonstração. Sendo um quadrado sempre o produto de dois fatores iguais, quando um fator termina em uma, duas ou mais cifras, o quadrado terá o dobro dessas cifras, e por isso elas estarão em um quadrado sempre em numero par; e assim podemos já saber de antemão que os números 1000, 400000 e 750 não são quadrados perfeitos.
3. Teorema. Todo numero par que não for divisível por 4, não é quadrado perfeito.
Demonstração. Todo o numero par é divisível por 2, e se um numero par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2 X 2 = 4. Deste modo, já podemos saber que 322 e 1334 não são quadrados perfeitos.
4. Teorema. Todo numero terminado em 5, e que nas dezenas não tem o algarismo 2, não é quadrado perfeito.
Demonstração. Um numero terminado em 5 só pode ter uma raiz terminada em 5, quando tem o algarismo 2 nas dezenas, porque o produto de dois números iguais terminados em 5 finaliza sempre pelos algarismos 25.
Extração da raiz quadrada
378. Extrair a raiz quadrada de um numero é achar o fator que, multiplicado por si, produz esse numero.
Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem três algarismos, porque este numero consta de três classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, pode ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio:
Quantas classes tiver um numero, tantos algarismos terá a sua raiz quadrada.
Problema. Qual é a raiz quadrada de 576?
Solução analítica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades.
Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o produto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.
Formação sintética de um quadrado
373. Um quadrado pode ser também considerado como um conjunto ou soma de parcelas diversas que conservam entre si certa relação, e que podem ser de novo desagregadas por meio de uma decomposição analítica do quadrado.
As diversas partes ou elementos que constituem um quadrado e a relação que ha entre elles estão claramente indicadas no seguinte teorema:
O quadrado da soma de dois numero é igual á soma do quadrado do primeiro numero, mais duas vezes o produto do primeiro multiplicado pelo segundo, e mais o quadrado do segundo.
Este teorema ficará perfeitamente claro com a seguinte ilustração:
Ilustração. Se tomarmos o numero 15, e o dividirmos em dois números quaisquer, como, por exemplo, 8 + 7, e seguirmos depois o processo indicado pelo theorema acima exposto, teremos o seguinte resultado:
1a. Parcella. Quadrado do primeiro numero
8 X 8 = 64
2a. Parcella. Duas vezes o primeiro numero multiplicado pelo segundo
(8 X 7) + (8 X 7) = 112
3a. Parcella. Quadrado do segundo numero
(7 X 7) = 49
64 + 112 + 49 = 225
Quadrado de 15 15 X 15 = 225
Por uma simples inspecção, vemos que o quadrado de 15 é igual a somma das tres parcellas obtidas por meio dos numeros 8 e 7. Isto é, 15 ao quadrado = (8 X 8) + (8 X 7) + (8 X 7) + (7 X 7) ou 64 + 112 + 49 = 225. A expressão (8 X 7) + (8 X 7) pode ser simplificada ou reduzida a 2 (8 X 7) que exprime exactamente o mesmo valor, porque quer dizer duas vezes o producto de 8 multiplicado por 7, isto é, duas vezes 56 ou 2 X 56.
Se dermos ao numero 15 outra formação qualquer, o resultado será o mesmo; assim
152 = (9 + 6) ao quadrado = (9 X 9) + 2 (9 X 6) + (6 X 6) = 225
152 = (10 + 5) ao quadrado = (10 X 10) + 2( 10 X 5) + (5 X 5) = 225
152 =(11 + 4) ao quadrado = (11 X 11) + 2(11 X 4) + (4 X 4) = 225
Se, em lugar de 15, operarmos com outro numero qualquer, acharemos a mesma relação entre o quadrado desse numero e as duas parcellas que o formarem.
Por este processo synthetico agrupamos ou reunimos em uma somma todas as partes que formam um quadrado; e por um processo opposto, poderemos decompor ou separar novamente essas partes para, por meio dellas, achar a raiz do quadrado. Deste ultimo processo trataremos mais adiante.
A classe da esquerda, que é 5, contém o quadrado das dezenas, porque dezenas multiplicadas por dezenas dão centenas. O quadrado perfeito mais approximado de 5 é 4, e a raiz de 4 é 2; 2 é o algarismo das dezenas da raiz. Ora o quadrado de 2 é 2 X 2 = 4, e subtrahindo 4 de 5, resta uma centena que com a classe seguinte fórma o resto 176.
Como já sahiu o quadrado das dezenas, este resto deve conter duas vezes o producto das
dezenas multiplicadas pelas unidades, mais o quadrado das unidades.
Algarismos das unidades. Desde que o producto das dezenas multiplicadas por um numero inteiro de unidades nunca póde ser inferior a 10, podemos separar do resto 176 o algarismo das unidades, que é 6, para operarmos sómente com as 17 dezenas completas.
Sendo as 17 dezenas duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, segue-se que se dividirmos 17 por duas vezes as dezenas, isto é, por 2 + 2 = 4, obteremos o algarismo das unidades. Ora, 17 / 4 = 4, portanto 4 é o algarismo das unidades da raiz.
Resta agora verificar se o resto 176 contém 2 (20 X 4) = 160, mais 4 X 4 = 16. Ora 160 + 16 = 176, e do resto 176 subtrahindo 176, nada resta.
Fica, portanto, demonstrado que 576 é um quadrado perfeito, e que a sua raiz quadrada é 24.
Fonte: Professor Valdir Paes Adaptado : Professor - Roberto Carvalho .
460 AC em Abdera (Grécia)
370 AC (local desconhecido)
O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio. 
situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados! 
.
. Sendo que H está contido na reta r e na reta s. 
chama-se sinal radical, e quando está escrito sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo índice.
lê-se: raiz quadrada de 16.
lê-se: raiz cúbica de 216.
lê-se: raiz quarta raiz de 625.
lê-se: décima raiz de 1024.
