quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Grandezas Escalares e Vetoriais

Física B - Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Física tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza física escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, $50 \; kg$ ), a temperatura (por exemplo $36 \; {}^o C$ ), o volume ( $5 \; m^3$ , por exemplo), a densidade (para a água, $1000 \; kg/m^3$ ), a pressão ( ${10}^5 \; N/m^2$ ), a energia (por exemplo $100 \; J$ ) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um carro a $80 \; km/h$ ), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial.

Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, $\vec{v}$ ) e o módulo ou intensidade, por $\vert\vec{v} \vert$ ou simplesmente por .

A grandeza física vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor.

No exemplo anterior do carro, poderíamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade $\vec{v}$ , de módulo $v = 80 \; km/h$ , na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 7.1.

**Figura 7.1:** Exemplo de representação vetorial
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/carro.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 7.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 7.3.

**Figura 7.2:** A reta , que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor1.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

**Figura 7.3:** Representação de algums vetores
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor2.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido.

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe:

**Figura 7.4:** De acordo com a convenção adotada, o módulo do vetor será .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor3.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são positivos e o vetor $\vec{c}$ é negativo. O módulo do vetor soma, $\vec{d}$ , é dado por

$\begin{displaymath} d = a+b-c \end{displaymath}$

Se obtermos um valor positivo para $\vec{d}$ , isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto e sofre um deslocamento $\vec{d_1}$ no sentido leste, atingindo um ponto e, em seguida, um deslocamento $\vec{d_2}$ no sentido norte, atingindo um ponto (veja a figura 7.5)

**Figura:** O deslocamento $\vec{d}$ = $\vec{d_1}$ + $\vec{d_2}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor4.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Podemos notar facilmente que o deslocamento $\vec{d_1}$ , de para , e o $\vec{d_2}$ , de para , equivalem a um único deslocamento, $\vec{d}$ , de para . Desta forma, o deslocamento $\vec{d}$ é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ , ou seja,

$\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}$

Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 7.6.

**Figura:** O vetor $\vec{c}$ é a resultante ou soma vetorial de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor5.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ tem como vetor soma resultante o vetor $\vec{c}$ . É crucial notar que a colocação do vetor $\vec{b}$ na origem ou na extremidade do vetor $\vec{a}$ não altera o vetor soma $\vec{c}$ . Deve-se observar que os vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ formam um triângulo retângulo, em que $\vec{c}$ é a hipotenusa $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitágoras:

$\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 \end{displaymath}$

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de e atingir num deslocamento $\vec{d_1}$ e, em seguida, atingir num deslocamento $\vec{d_2}$ equivale a partir de e atingir num deslocamento $\vec{d}$ (veja figura 7.7). Desta forma,

$\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}$

**Figura:** O deslocamento $\vec{d}$ equivale aos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor6.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Na determinação do módulo do vetor $\vec{d}$ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ não é reto ( ${90}^o$ ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 7.8.

**Figura:** A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor7.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante $\vec{c}$ . De acordo com a regra do paralelogramo, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam entre si um ângulo $\alpha$ , o módulo do vetor resultante $\vec{c}$ será dado pela expressão:

$\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 + 2 a b \cdot cos \; \alpha \end{displaymath}$

Decomposição de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor $\vec{a}$ , obtêm-se outros dois vetores $\vec{a_x }$ e $\vec{a}_y$ tal que $\vec{a_x } + \vec{a_y } = \vec{ a}$ (veja a figura 7.9).

**Figura:** O vetor $\vec{a}$ , sua componente horizontal $\vec{a}_x$ e vertical $\vec{a}_y$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor8.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

**Figura:** O vetor $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor9.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

O vetor $\vec{a}_y$ pode ser deslocado para a extremidade do vetor $\vec{a}_x$ de tal forma que o vetor $\vec{a}$ e seus vetores componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ formem um triângulo retângulo (figura 7.10). Aplicando a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes $\vec{a}_x$ (horizontal) e $\vec{a}_y$ (vertical) de $\vec{a}$ em função do ângulo $\alpha$ . Desta forma, no triângulo rachurado da figura 7.10, temos

$\begin{displaymath}\cos\alpha = \frac{\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \cos\alpha = \frac{a_x}{a}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{a}_x = a \cdot cos \; \alpha\end{displaymath}$

onde

é o módulo da componente horizontal $\vec{a}_x$ do vetor $\vec{a}$ . Temos ainda

$\begin{displaymath}\sin\alpha = \frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \sin \; \alpha = \frac{ \vec{a}_y}{a}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{a}_y = a \cdot \sin\alpha\end{displaymath}$

onde

é o módulo da componente vertical $\vec{a}_y$ do vetor $\vec{a}$ .

Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ :

$\begin{displaymath} a^2 = {a^2}_x + {a^2}_y \end{displaymath}$

Pense um Pouco!

Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula?
O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando?
O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?

Exercícios de Aplicação

1. Um móvel desloca-se $120 \; m$ no sentido oeste-leste, e em seguida, $50 \; m$ no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, $F_1 = F_2 = 100 \; N$ . Determine o módulo da resultante de e . (Dado: $cos \; {120}^o$ = -0,50.)

$\epsfig{file=fb/03/vetor10.eps,width=150pt}$

3. Um projétil é atirado com velocidade de $400 \; m/s$ fazendo um ângulo de $45^\circ$ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.

Exercícios Complementares

4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: $\vec{F_1}$ , de módulo $F_1 = 5,0 \; N$ e $\vec{F_2}$ , de módulo $F_2 = 3,0 \; N$ , formando entre si um ângulo $\alpha = 60^\circ$ . Determine a força resultante $\vec{F}_R$ para o sistema de forças mostrado.

$\epsfig{file=fb/03/vetor11.eps,height=0.666\linewidth}$

5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é $10 \; m/s$ e que um dos componentes tem módulo igual a $8 \; m/s$ , determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma ${53}^o$ com a horizontal com uma velocidade de $200 \; m/s$ (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, $\vec{v_x}$ , e vertical, $\vec{v_y}$ , dessa velocidade. (Dados: $sen \; {53}^o = 0,80; \; cos \; {53}^o = 0,60.$ )

$\epsfig{file=fb/03/vetor12.eps,width=150pt}$

7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade de $900 \; km/h$ . Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade $50 \; km/h$ , no sentido sudoeste-nordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados: $cos \; {45}^o = 0,71$ ).

Fonte: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node9.html

Setor circular

Setor circular corresponde a uma área tomada numa circunferência de centro O e raio R, observe a figura representativa de um setor de α:

A área do setor circular depende diretamente da medida do ângulo central, em razão dessa proporção podemos calcular a área de um setor circular em função do ângulo central aplicando uma regra de três simples. Observe:

	Área	Ângulo Central
Setor	A	α
Círculo	π*r²	360º

Se a medida do setor for dada em radianos, é preciso lembrar que uma volta completa no círculo é igual a 360º que corresponde a 2π. Dessa forma, a regra de três fica assim:

Exemplo:

Determine a área do setor circular com ângulo central de 30º num círculo de 20 cm de raio.

A área do setor circular de 30º corresponde a um setor de π/6 rad, observe os cálculos:

Os sólidos de Platão

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:

O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces.

O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente.

As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas.
Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas.
A relação de Euler pode ser aplicada, observe:
O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas:
V – A + F = 2
8 – 12 + 6 = 2
14 – 12 = 2
2 = 2 (verdadeiro)

Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a tabela a seguir:

Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os poliedros de Platão:

Por Marcos Noé

segunda-feira, 1 de fevereiro de 2010

O somatório

Somatório: um conceito importante

Calcule o valor da soma S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1.

Solução:

Na soma acima, observe que o termo de ordem n (n-ésimo termo ou enésimo termo) é igual a
n.(n + 1)

Seja T_i um termo qualquer da soma acima. Podemos escrever T_i = i.(i + 1) = i² + i
Com efeito, por exemplo o 5º termo é igual a 5.6 ou seja, T₅ = 5.(5+1) = 5.6
O sexto termo é igual a 6.7, ou seja T₆ = 6.(6 + 1) = 6.7 e assim sucessivamente.

Para facilitar a resolução da questão, vamos usar a notação de somatório. Antes porém, vamos revisar a notação de somatório.

Seja a soma p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + ... + p_n. Observe que um termo qualquer desta soma poderia ser representado por p_i onde i = 1, 2, 3, ... , n.

A notação de somatório permite simplificar a exibição da soma acima, utilizando como símbolo, a letra grega maiúscula sigma (S) da seguinte forma:

que lê-se: somatório de todos os p_i com i variando de 1 a n.

De modo inverso, poderemos desenvolver um somatório. Veja o exemplo:
a)

b)

c)

Uma propriedade importante dos somatórios é a seguinte:

ou seja: o somatório de uma soma é igual à soma dos somatórios.

Usando a nova simbologia introduzida acima, poderemos escrever a soma
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1 ou,
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n² + n para n ³ 1
na seguinte forma de somatório:

onde i = 1, 2, 3, ... , n, pois já vimos acima que sendo T_i um termo qualquer da soma que desejamos calcular, podemos escrever T_i = i.(i + 1) = i² + i.

Então, a soma procurada S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + (n² + n) pode ser decomposta na forma:

S = (1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

Ora, o valor da primeira parcela 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² , eu já calculei no arquivo Uma soma de quadrados (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) e é igual a:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

A segunda parcela 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma PA (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) de primeiro termo 1 e último termo n,
cujo resultado é [(1 + n).n] / 2.

Substituindo, fica:

S = (1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) =
= [n(n+1)(2n+1)]/6 + [(1 + n).n] / 2

Efetuando as operações indicadas, vem:

[(n² + n)(2n+1)] / 6 + (n + n²) / 2 = [(2n³ + n² + 2n² + n) / 6] + (n² + n) / 2 =
= [(2n³ + n² + 2n² + n) / 6] + (3n² + 3n) / 6 =
= [(2n³ + 6n² + 4n) / 6
Dividindo tudo por 2, vem, finalmente:

S = (n³ + 3n² + 2n) / 3

Portanto, chegamos à brilhante conclusão:

Assim, por exemplo, se n = 4 (tomando os quatro primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 = (4³ + 3.4² + 2.4) / 3 = 120 / 3 = 40.

Assim, por exemplo, se n = 5 (tomando os cinco primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 = (5³ + 3.5² + 2.5) / 3 = 210/3 = 70.
E assim sucessivamente.

Uma outra conclusão brilhante que podemos tirar do exercício acima é que, para todo n inteiro maior ou igual a 1, o trinômio n³ + 3n² + 2n será sempre um número divisível por 3.

Isto nos leva a afirmar por exemplo que o número (gigantesco)
100000³ + 3.100000² + 2.100000 é divisível por 3, entre outros infinitos exemplos que poderiam ser apresentados.

Equações Biquadradas

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.

2x⁴ + 5x²– 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2

-x⁴ – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0

x⁴ = 0; a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo 1:

Resolva a equação biquadrada (x² – 1) (x² – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.

(x² – 1) (x² – 12) + 24 = 0
x⁴ – 12x² – x² + 12 + 24 = 0
x⁴ – 13x² + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x² por y.

x² = y

x⁴ – 13x² + 36 = 0
x² . x² – 13x² + 36 = 0

y² – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x² = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x² = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x² = y
x² = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

Exemplo 2:

Resolva a equação x⁴ – 5x² + 10 = 0

Substituindo a incógnita x² por y.

x² = y

y²– 5y + 10 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆ será negativo, assim a solução será vazia.

Fonte : mundo da Educação.

Equações do Segundo grau.

Fórmula de Bhaskara

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.

x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como determinarmos os valores que tornem a equação uma sentença verdadeira? É sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.

Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja:

1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16

2º passo

Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.

Exemplo 2

Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0

No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

Exemplo 3

Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 * a * c
∆ = 6² – 4 * 10 * 10
∆ = 36 – 400
∆ = –364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é igual ou menor que zero, isto é, o número seja negativo, a equação não possui raízes reais.

domingo, 31 de janeiro de 2010

Quantos triângulos existem na figura?

Não se esqueça resposta no comentários !.
Solução : 33 Triângulos

Fonte :http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=3&idSubSecao=&idTexto=109

Quantos triângulos temos na figura abaixo ?

Observe com atenção !!!

Poste a solução no comentários !!!
Fonte : http://www.gsmin.com.

Solução :
24 triângulos de tamanho 1 - 1/32 da área do quadrado exterior;
12 triângulos de tamanho 2 - 1/16 da área do quadrado exterior;
8 triângulos de tamanho 3 - 1/8 da área do quadrado exterior;
4 triângulos de tamanho 4 - 1/4 da área do quadrado exterior;

No total, 48 triângulos.

segunda-feira, 11 de janeiro de 2010

O sistema binário

O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois numeros, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).

Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é chamado de nibble.

O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole - matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda eletrônica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrônicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse formato.

História

Página do artigo "Explication de l'Arithmétique Binaire", 1703/1705, de Leibniz.

O matemático indiano Pingala apresentou a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário no século III a.C..

Um conjunto de 8 trigramas e 64 hexagramas, análogos a números binários com precisão de 3 e 6 bits, foram utilizados pelos antigos chineses no texto clássico I Ching. Conjuntos similares de combinações binárias foram utilizados em sistemas africanos de adivinhação tais como o Ifá, bem como na Geomancia do medievo ocidental.

Uma sistematização binária dos hexagramas do I Ching, representando a sequência decimal de 0 a 63, e um método para gerar tais sequências, foi desenvolvida pelo filósofo e estudioso Shao Yong no século XI. Entretanto, não há evidências que Shao Yong chegou à aritmética binária.

O sistema numérico binário moderno foi documentado de forma abrangente por Gottfried Leibniz no século XVIII em seu artigo "Explication de l'Arithmétique Binaire". O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.

Em 1854, o matemático britânico George Boole publicou um artigo fundamental detalhando um sistema lógico que se tornaria conhecido como Álgebra Booleana. Seu sistema lógico tornou-se essencial para o desenvolvimento do sistema binário, particularmente sua aplicação a circuitos eletrônicos.

Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT que implementava Álgebra Booleana e aritmética binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez na história. Intitulado "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits", a tese de Shannon praticamente fundou o projeto de circuitos digitais.

Operações com binários

Binários a decimais

Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa uma potência positiva e à direita, uma potência negativa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. Exemplo:

1011(binário)

1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 11

Portanto, 1011 é 11 em decimal

Decimais em binários

Soma de Binários

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10, ou seja 0 e vai 1* (para somar ao digito imediatamente à esquerda)

Para somar dois números binários, o procedimento é o seguinte:

Exemplo 1:

     *
 1100
+   111
-----
= 10011

Explicando: Os números binários são base 2, ou seja, há apenas dois algarismos: 0 (zero) ou 1 (um). Na soma de 0 com 1 o total é 1. Quando se soma 1 com 1, o resultado é 2, mas como 2 em binário é 10, o resultado é 0 (zero) e passa-se o outro 1 para a "frente", ou seja, para ser somado com o próximo elemento, conforme assinalado pelo asterisco,como no exemplo acima.

Exemplo 2:

    **
 1100
+  1111
-----
= 11011

Explicando: Nesse caso acima (exemplo 2), na quarta coluna da direita para a esquerda, nos deparamos com uma soma de 1 com 1 mais a soma do 1 ( * ) que veio da soma anterior. Quando temos esse caso (1 + 1 + 1), o resultado é 1 e passa-se o outro 1 para frente

Subtração de Binários

0-0=0
0-1=1 e vai 1* para ser subtraido no digito seguinte
1-0=1
1-1=0

Para subtrair dois números binários, o procedimento é o seguinte:

      * ***
 1101110
-    10111
 -------
=  1010111

Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1. Esse processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0. Os asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o "pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1.

Multiplicação de Binários

A multiplicação entre binários é similar à realizada com números decimais. A única diferença está no momento de somar os termos resultantes da operação:

          1 0 1 1
    x 1 0 1 0
    ---------
      0 0 0 0
+     1 0 1 1 
+   0 0 0 0
+ 1 0 1 1
---------------
= 1 1 0 1 1 1 0
    *

Perceba que na soma de 0 e 1 o resultado será 1, mas na soma de 1 com 1, ao invés do resultado ser 2, ele será 0 (zero) e passa-se o 1 para a próxima coluna, conforme assinalado pelo asterisco. Nota que se a soma passar de 2 dígitos, deve-se somar o número em binário correspondente ( ex. 7 = 111, 6 = 110, 5 = 101, 4 = 100, 3 =11).

            1 1 1
    x   1 1 1
    ---------
        1 1 1
+       1 1 1 
+     1 1 1
---------------
=   1 1 0 0 0 1

No caso, a terceira coluna a soma dá 4 (com mais um da anterior), que adiciona um "1" duas colunas depois (100).

Divisão de Binários

Essa operação também é similar àquela realizada entre números decimais:

   110 |__10__
- 100  11—010
-  10—00

Deve-se observar somente a regra para subtração entre binários. Nesse exemplo a divisão de 110 por 10 teve como resultado 11.

Códigos Binários

A conversão de um número decimal no seu equivalente binário é chamada codificação. Um número decimal é expresso como um código binário ou número binário. O sistema numérico binário, como apresentado, é conhecido como código binário puro. Este nome o diferencia de outros tipos de códigos binários.

Decimal Codificado em Binário

O sistema numérico decimal é fácil de se usar devido à familiaridade. O sistema numérico binário é menos conveniente de se usar pois nos é menos familiar. É difícil olhar em número binário e rapidamente reconhecer o seu equivalente decimal.

Por exemplo, o número binário 1010011 representa o número decimal 83. É difícil dizer imediatamente, por inspeção do número, qual seu valor decimal. Entretanto, em alguns minutos, usando os procedimentos descritos anteriormente, pode-se prontamente calcular seu valor decimal. A quantidade de tempo que leva para converter ou reconhecer um número binário é uma desvantagem no trabalho com este código, a despeito das numerosas vantagens de "hardware".

Os engenheiros reconheceram este problema cedo, e desenvolveram uma forma especial de código binário que era mais compatível com o sistema decimal. Como uma grande quantidade de dispositivos digitais, instrumentos e equipamentos usam entradas e saídas decimais, este código especial tornou-se muito difundido e utilizado. Esse código especial é chamado decimal codificado em binário (BCD - binary coded decimal). O código BCD combina algumas das características dos sistemas numéricos binário e decimais.

Código BCD 8421

O código BCD é um sistema de representação dos dígitos decimais desde 0 até 9 com um código binário de 4 bits. Esse código BCD usa o sistema de pesos posicionais 8421 do código binário puro. Exatamente como binário puro, pode-se converter os números BCD em seus equivalentes decimais simplesmente somando os pesos das posições de bits onde aparece 1.

Decimal	Binário Puro	BCD
0	0000	0000
1	0001	0001
2	0010	0010
3	0011	0011
4	0100	0100
5	0101	0101
6	0110	0110
7	0111	0111
8	1000	1000
9	1001	1001
10	1010	0001 0000
11	1011	0001 0001
12	1100	0001 0010
13	1101	0001 0011
14	1110	0001 0100
15	1111	0001 0101

Decimal, Binário Puro e BCD

Observe, entretanto, que existem apenas dez códigos válidos. Os números binários de 4 bits representando os números decimais desde 10 até 15 são inválidos no sistema BCD. Para representar um número decimal em notação BCD substitue-se cada dígito decimal pelo código de 4 bits apropriados.

Por exemplo, o inteiro decimal 834 em BCD é 1000 0011 0100. Cada dígito decimal é representado pelo seu código BCD 8421 equivalente. Um espaço é deixado entre cada grupo de 4 bits para evitar confusão do formato BCD com o código binário puro. Este método de representação também se aplica as frações decimais.

Por exemplo, a fração decimal 0,764 é “0.0111 0110 0100” em BCD. Novamente, cada dígito decimal é representado pelo seu código equivalente 8421, com um espaço entre cada grupo.

Uma vantagem do código BCD é que as dez combinações do código BCD são fáceis de lembrar. Conforme se começa a trabalhar com números binários regularmente, os números BCD tornam-se tão fáceis e automáticos como números decimais. Por esta razão, por simples inspeção da representação BCD de um número decimal pode-se efetuar a conversão quase tão rápido como se já estivesse na forma decimal.

Como exemplo, converter o número BCD no seu equivalente decimal. 0110 0010 1000.1001 0101 0100 = 628,954

O código BCD simplifica a interface Homem-máquina, mas é menos eficiente que o código binário puro. Usam-se mais bits para representar um dado número decimal em BCD que em notação binária pura.

Por exemplo, o número decimal 83 é escrito como 1000 0011. Em código binário puro, usam-se apenas 7 bits para representar o número 83. Em BCD, usam-se 8 bits. O código BCD é ineficiente, pois, para cada bit numa palavra de dado, há usualmente alguma circuitaria digital associada. A circuitaria extra associada com o código BCD custa mais, aumenta a complexidade do equipamento e consome mais energia. Operações aritméticas com números BCD também consomem mais tempo e são mais complexas que aquelas com números binários puros. Com quatro bits de informação binária, você pode representar um total de 24 = 16 estados diferentes ou os números decimais equivalentes desde o 0 até o 15. No sistema BCD, seis destes estados (10-15) são desperdiçados.

Quando o sistema numérico BCD é usado, alguma eficiência é perdida, mas aumenta-se o entendimento entre o equipamento digital e o operador humano.

[editar] Conversão Binário para BCD

A conversão de decimal para BCD é simples e direta. Entretanto, a conversão de binário para BCD não é direta. Uma conversão intermediária deve ser realizada primeiro. Por exemplo, o número 1011.01 é convertido no seu equivalente BCD.

Primeiro o número binário é convertido para decimal. 1011.01 = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(1x20)+(0x2-1)+(1x2-2) =8+0+2+1+0+0,25 = 11,2510

Então o resultado decimal é convertido para BCD. 11,2510 = 0001 0001.0010 0101

Para converter de BCD para binário, as operações anteriores são invertidas. Por exemplo, o número BCD 1001 0110.0110 0010 0101 é convertido no seu equivalente binário.

O número BCD é convertido para decimal. 1001 0110.0110 0010 0101 = 96,625
O resultado decimal é convertido para binário

Inteiro Resto Posição Fração Inteiro Posição
96 ÷ 2 = 48 0 -> LSB 0,625 x 2 = 1,25 = 0,25 1 <- MSB 48 ÷ 2 = 24 0   0,250 x 2 = 0,50 = 0,50 0   24 ÷ 2 = 12 0   0,500 x 2 = 1,00 = 0 0 <- LSB 12 ÷ 2 = 06 0         06 ÷ 2 = 03 0         03 ÷ 2 = 01 1         01 ÷ 2 = 00 1 <- MSB       9610 = 11000002 0,62510 = 0.101 96,62510 = 9610 + 0,62510= 1100000 + 0.101 = 1100000.101

Como o número decimal intermediário contém uma parte inteira e uma parte decimal, cada parte é convertida como visto anteriormente. A soma binária (inteiro mais fração) 1100000.101 é equivalente ao número BCD 1001 0110.0110 0010 0101.

Vários códigos binários são chamados códigos alfanuméricos pois eles são usados para representar caracteres assim como números.

Código ASCII

O "American Standard Code for Information Interchange" comumente referido como ASCII – também chamado ASCII completo, ou ASCII estendido –, é uma forma especial de código binário que é largamente utilizado em microprocessadores e equipamentos de comunicação de dados.

Um novo nome para este código que está se tornando popular é "American National Standard Code for Information" (ANSCII). Entretanto, utilizaremos o termo consagrado, ASCII. É um código binário que usado em transferência de dados entre microprocessadores e seus dispositivos periféricos, e em comunicação de dados por rádio e telefone. Com 7 bits pode-se representar um total de 2⁷ = 128 caracteres diferentes. Estes caracteres compreendem números decimais de 0 até 9, letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto, mais alguns outros caracteres especiais usados para pontuação e controle de dados!

Juros compostos

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.

No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)^t
M = 7000 * (1 + 0,015)¹²
M = 7000 * (1,015)¹²
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.

Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.

Adição, subtração e multiplicação de número complexo

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Conjunto dos números complexos

Os números naturais surgiram da necessidade do homem de relacionar objetos a quantidades, os elementos que pertencem a esse conjunto são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, o zero surgiu posteriormente, com a finalidade de expressar algo nulo no preenchimento posicional.

O conjunto dos números naturais surgiu simplesmente com o propósito da contagem, no comércio sua utilização esbarrava nas situações em que era preciso expressar prejuízos. Os matemáticos da época, no intuito de resolver tal situação, criaram o conjunto dos números inteiros, simbolizado pela letra Z.
Z = {... , -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
Operações comerciais representando lucros ou prejuízos podiam ser calculadas, por exemplo:
20 – 25 = – 5 (prejuízo)
–10 + 30 = 20 (lucro)
–100 + 70 = – 30 (prejuízo)

Com a evolução dos cálculos, o conjunto dos números inteiros não estava satisfazendo algumas operações, assim foi estipulado um novo conjunto numérico: o conjunto dos números racionais. Esse conjunto consiste na união entre o conjunto dos números naturais com os números inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de fração ou números decimais.

Q = { ... , -5; ...; - 4,7; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 2,65; ...; 4; ... }

Alguns números decimais não podem ser escritos na forma de fração, dessa forma não pertencem ao conjunto dos racionais, eles formam o conjunto dos números irracionais. Este conjunto possui números importantes para a Matemática, como o número pi (~3,14) e o número de ouro (~1,6).

A união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais formam o conjunto dos números Reais.

A criação do conjunto dos números Reais se deu ao longo de todo o processo de evolução da Matemática, atendendo às necessidades da sociedade. Na busca por novas descobertas, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda da resolução de uma equação do 2º grau. Vamos resolver a equação x² + 2x + 5 = 0 aplicando o Teorema de Bháskara:

Note que ao desenvolver o teorema nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como resultado número negativo. A resolução destas raízes só foi possível com a criação e adequação dos números complexos, por Leonhard Euler. Os números Complexos são representados pela letra C e mais conhecidos como o número da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1.
Esses estudos levaram os matemáticos ao cálculo das raízes de números negativos, pois com a utilização do termo i² = -1, também conhecido como número imaginário, é possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Observe o processo:

Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.

N: conjunto dos números Naturais
Z: conjunto dos números Inteiros
Q: conjunto dos números Racionais
I: conjunto dos números Irracionais
R: conjunto dos números Reais
C: conjunto dos números Complexos

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola