EQUAÇÕES LITERAIS

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

ax²+ bx + c = 0 incógnita: x

parâmetro: a, b, c

ax² - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x

parâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x² - 12m²=0, sendo x a variável.

Solução

3x² - 12m² = 0

3x² = 12m²

x² = 4m²

x=

Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my²- 2aby=0,com m0, sendo y a variável.

Solução

my² - 2aby = 0

y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

y=0

ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

my² - 2aby= 0

my² = 2aby

my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x² - 2abx - 3a²b², sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a²b²

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

Humor

Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo eral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo: