MATEMÁTICA CURIOSA: 12/01/2010

domingo, 5 de dezembro de 2010

Mais uma postagem Interessante !!!

A Equação de Torricelli e a Distância de Frenagem

O Brasil é um dos países recordistas em acidentes automobilísticos e há várias razões para isso, tais como a falta de manutenção do veículo, condições precárias das rodovias e a principal, talvez seja a imprudência dos motoristas, fazendo ultrapassagens indevidas ou dirigindo em alta velocidade.

Estudos mostram que a parada de um veículo depende de três fatores:

i) Tempo de percepção da necessidade de frear;

ii) Tempo de reação;

iii) Distância de frenagem que por sua vez depende das condições do piso.

Em condições normais, o tempo de percepção é de $[;1;]$ segundo e o tempo de reação é de $[;0,75;]$ segundos. Sendo assim, a distância de parada é igual a distância de reação adicionada a distância de frenagem.

Neste post, analisaremos como podemos calcular a distância de frenagem de um veículo sabendo as condições do piso e sua velocidade ou inversamente, determinar a velocidade do veículo medindo o comprimento da frenagem deixada no piso. Esta última abordagem é muito utilizada por peritos da polícia para analisar acidentes automobilísticos.

Considere um veículo trafegando em uma pista horizontal cujo coeficiente de atrito seja igual a $[;\mu;]$ . Na figura abaixo, temos um esquema da forças agindo sobre este automóvel.

Neste caso, a força normal $[;\vec{N};]$ é oposta a força peso $[;\vec{P};]$ do veículo. No caso de uma frenagem, a força de atrito é a única força que responsável pela parada do veículo. Da Física, sabemos que

$[;F_{at} = \mu N = \mu m g;]$

onde $[;\vec{g};]$ é a aceleração da gravidade e $[;m;]$ é a massa do veículo. Pela segunda lei de Newton, segue que

$[;ma = - F_{at} \quad \Rightarrow \quad a = -\mu g;]$

Sendo $[;a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx};]$ , temos

$[;v\frac{dv}{dx} = -\mu g \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{v_0}vdv = -\mu g\int_{L}^{0}dx \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{v^2}{2}\biggr]_{0}^{v_0} = -\mu g x \biggr]_{L}^{0} \quad \Rightarrow \quad v_{0} = \sqrt{2\mu gL}\qquad (1);]$

onde $[;v_0;]$ é a velocidade inicial em que o veículo começou a frenagem e $[;L;]$ é o tamanho de marcas ininterruptas deixadas pelos pneus travados pelos freios.

Adotando $[;g = 9,8\ m/s^2;]$ e $[;L;]$ em metros, a velocidade $[;v_0;]$ em $[;(1);]$ será dada em $[;m/s;]$ . Na prática é usual avaliar a velocidade do veículo em $[;km/h;]$ , por isso iremos multiplicar esta expressão pelo fator de conversão $[;3,6;]$ , ou seja, $[;1\ m/s = 3,6\ km/h;]$ para obter

$[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\mu L} \qquad (km/h) \qquad (2);]$

Observação 1: Preferi obter a fórmula $[;(1);]$ usando integração, mas este processo é equivalente ao uso da fórmula de Torricelli $[;v^2 = v_{0}^{2} + 2a\Delta s;]$ .

Antes de aplicar a expressão $[;(2);]$ , vejamos a tabela de alguns coeficientes de atrito ( $[;\mu;]$ ) em diferentes tipos de pisos nas condições de seca ou molhada.

Exemplo 1: Em um teste para uma revista automotiva, um motorista conduz um veículo sobre uma superfície seca de concreto novo. Em certo momento, o motorista aciona os freios, bloqueando as rodas até a parada total do veículo, deixando uma marca de $[;17\ m;]$ de comprimento. Qual é a velocidade aproximada com que o veículo trafegava no momento em que os freios foram acionados?

Resolução: Como o veículo está numa pista de concreto novo, pela tabela acima vemos que $[;\mu = 0,84;]$ . Sendo $[;L = 17\ m;]$ , então pela fórmula $[;(1);]$ , segue que

$[;v_0 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,84\cdot 17} \simeq 60\ km/h;]$

Exemplo 2: Sob intensa chuva, um motorista conduz, a $[;144\ km/h;]$ , um veículo por uma rodovia de asfalto já bastante trafegado. Num trecho da reta, após perceber a presença de uma árvore caída sobre a rodovia, impedindo a passagem de qualquer veículo, ele reage e aciona os freios, travando as rodas até a parada completa do veículo. Exatamente no momento em que as rodas são travadas, o veículo está a $[;140\ m;]$ da árvore. Se o carro continuar sua trajetória em linha reta, com as rodas bloqueadas, o motorista irá colidir com a árvore?

Resolução: Trata-se de uma pista asfáltica trafegada, de modo que $[;\mu = 0,53;]$ . Sendo $[;v_0 = 144\ km/h;]$ , então da expressão $[;(1);]$ , temos

$[;144 = 3,6\sqrt{19,6\cdot 0,53\cdot L} \quad \Rightarrow \quad L = 154\ m;]$

Como o veículo estava a $[;140\ m;]$ da árvore no momento da freada, concluímos que o carro irá colidir com ela.

Observação 2: Podemos determinar o coeficiente de atrito $[;\mu;]$ de uma pista se soubermos a velocidade inicial $[;v_0;]$ antes da frenagem e também o comprimento $[;L;]$ da marca de frenagem.

Fonte :http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Referência Bibliográfica:
- Prova da Fase Final. XXIV Olímpiada Paulista de Matemática. 2000.