segunda-feira, 8 de fevereiro de 2010

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

Notação: 2³ = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2

5¹ = 5

³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1

6⁰ = 1

7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2) 4⁰ = 1

3) 10⁰ = 1

4) 20¹ = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ ÷ 2 = 2^4-1 = 2³

2) 3⁵ ÷ 3² = 3^5-2 = 3²

3) 4⁶ ÷ 4³ = 4^6-3 = 4³

Temos então: I^m ÷ Iⁿ = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ x 2 = 2⁴⁺¹ = 2⁵

2) 3⁵ x 3² = 3⁵⁺² = 3⁷

3) 4⁶ x 4³ = 4⁶⁺³ = 4⁹

Temos então: I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴ = 2¹² , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³

2) (3²)³ = 3⁶ , pois = 3² x 3² x 3²

3) (4²)⁵ = 4¹⁰ , pois = 4² x 4² x 4² x 4² x 4²

Temos então: (Iⁿ)^m = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴ = b²⁰y⁴a¹²

2) (c²d²e⁵ )² = c⁴d⁴e¹⁰

3) (d³a⁴ )³ = d⁹a¹²

Temos então: (I.T)^m = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16

2) 3^-3 = 1/3³ = 1/27

3) 4^-2 = 1/4² = 1/16

Temos então: (I)^-m = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴ = a⁴/b⁴ = b#0

2) (a² /b⁴)³ = a⁶/b¹² = b#0

3) (a³ /b²)³ = a⁹/b⁶ = b#0

Temos então: (a/b)^m = a^m/b^m b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

b) 10⁶ = 1000000

c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

b) 7000 = 7.1000 = 7.10³

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4 / / (-2)⁴ = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27 / / (-3)³ = -27

Observação importante: -2² # (-2) ² , pois -2² = -4 e (-2) ² = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Potências - Regras para multiplicação e divisão

Resumo

Regras para a multiplicação de potências :

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes

Regras para a divisão de potências :

Para dividir potências com o mesmo expoente, dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Para dividir potências com a mesma base mantêm-se a base e subtrai-se os expoentes

Potência de potência

Numa potência de potência mantêm-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Quadro resumo

quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Grandezas Escalares e Vetoriais

Física B - Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Física tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza física escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, $50 \; kg$ ), a temperatura (por exemplo $36 \; {}^o C$ ), o volume ( $5 \; m^3$ , por exemplo), a densidade (para a água, $1000 \; kg/m^3$ ), a pressão ( ${10}^5 \; N/m^2$ ), a energia (por exemplo $100 \; J$ ) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um carro a $80 \; km/h$ ), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial.

Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, $\vec{v}$ ) e o módulo ou intensidade, por $\vert\vec{v} \vert$ ou simplesmente por .

A grandeza física vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor.

No exemplo anterior do carro, poderíamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade $\vec{v}$ , de módulo $v = 80 \; km/h$ , na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 7.1.

**Figura 7.1:** Exemplo de representação vetorial
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/carro.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 7.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 7.3.

**Figura 7.2:** A reta , que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor1.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

**Figura 7.3:** Representação de algums vetores
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor2.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido.

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe:

**Figura 7.4:** De acordo com a convenção adotada, o módulo do vetor será .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor3.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são positivos e o vetor $\vec{c}$ é negativo. O módulo do vetor soma, $\vec{d}$ , é dado por

$\begin{displaymath} d = a+b-c \end{displaymath}$

Se obtermos um valor positivo para $\vec{d}$ , isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto e sofre um deslocamento $\vec{d_1}$ no sentido leste, atingindo um ponto e, em seguida, um deslocamento $\vec{d_2}$ no sentido norte, atingindo um ponto (veja a figura 7.5)

**Figura:** O deslocamento $\vec{d}$ = $\vec{d_1}$ + $\vec{d_2}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor4.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Podemos notar facilmente que o deslocamento $\vec{d_1}$ , de para , e o $\vec{d_2}$ , de para , equivalem a um único deslocamento, $\vec{d}$ , de para . Desta forma, o deslocamento $\vec{d}$ é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ , ou seja,

$\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}$

Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 7.6.

**Figura:** O vetor $\vec{c}$ é a resultante ou soma vetorial de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor5.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ tem como vetor soma resultante o vetor $\vec{c}$ . É crucial notar que a colocação do vetor $\vec{b}$ na origem ou na extremidade do vetor $\vec{a}$ não altera o vetor soma $\vec{c}$ . Deve-se observar que os vetores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ e $\vec{c}$ formam um triângulo retângulo, em que $\vec{c}$ é a hipotenusa $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitágoras:

$\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 \end{displaymath}$

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de e atingir num deslocamento $\vec{d_1}$ e, em seguida, atingir num deslocamento $\vec{d_2}$ equivale a partir de e atingir num deslocamento $\vec{d}$ (veja figura 7.7). Desta forma,

$\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}$

**Figura:** O deslocamento $\vec{d}$ equivale aos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor6.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Na determinação do módulo do vetor $\vec{d}$ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ não é reto ( ${90}^o$ ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 7.8.

**Figura:** A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor7.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante $\vec{c}$ . De acordo com a regra do paralelogramo, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam entre si um ângulo $\alpha$ , o módulo do vetor resultante $\vec{c}$ será dado pela expressão:

$\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 + 2 a b \cdot cos \; \alpha \end{displaymath}$

Decomposição de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor $\vec{a}$ , obtêm-se outros dois vetores $\vec{a_x }$ e $\vec{a}_y$ tal que $\vec{a_x } + \vec{a_y } = \vec{ a}$ (veja a figura 7.9).

**Figura:** O vetor $\vec{a}$ , sua componente horizontal $\vec{a}_x$ e vertical $\vec{a}_y$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor8.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

**Figura:** O vetor $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ .
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor9.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}$

O vetor $\vec{a}_y$ pode ser deslocado para a extremidade do vetor $\vec{a}_x$ de tal forma que o vetor $\vec{a}$ e seus vetores componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ formem um triângulo retângulo (figura 7.10). Aplicando a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes $\vec{a}_x$ (horizontal) e $\vec{a}_y$ (vertical) de $\vec{a}$ em função do ângulo $\alpha$ . Desta forma, no triângulo rachurado da figura 7.10, temos

$\begin{displaymath}\cos\alpha = \frac{\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \cos\alpha = \frac{a_x}{a}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{a}_x = a \cdot cos \; \alpha\end{displaymath}$

onde

é o módulo da componente horizontal $\vec{a}_x$ do vetor $\vec{a}$ . Temos ainda

$\begin{displaymath}\sin\alpha = \frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \sin \; \alpha = \frac{ \vec{a}_y}{a}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{a}_y = a \cdot \sin\alpha\end{displaymath}$

onde

é o módulo da componente vertical $\vec{a}_y$ do vetor $\vec{a}$ .

Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ :

$\begin{displaymath} a^2 = {a^2}_x + {a^2}_y \end{displaymath}$

Pense um Pouco!

Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula?
O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando?
O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?

Exercícios de Aplicação

1. Um móvel desloca-se $120 \; m$ no sentido oeste-leste, e em seguida, $50 \; m$ no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.

2. Na figura, $F_1 = F_2 = 100 \; N$ . Determine o módulo da resultante de e . (Dado: $cos \; {120}^o$ = -0,50.)

$\epsfig{file=fb/03/vetor10.eps,width=150pt}$

3. Um projétil é atirado com velocidade de $400 \; m/s$ fazendo um ângulo de $45^\circ$ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.

Exercícios Complementares

4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: $\vec{F_1}$ , de módulo $F_1 = 5,0 \; N$ e $\vec{F_2}$ , de módulo $F_2 = 3,0 \; N$ , formando entre si um ângulo $\alpha = 60^\circ$ . Determine a força resultante $\vec{F}_R$ para o sistema de forças mostrado.

$\epsfig{file=fb/03/vetor11.eps,height=0.666\linewidth}$

5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é $10 \; m/s$ e que um dos componentes tem módulo igual a $8 \; m/s$ , determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma ${53}^o$ com a horizontal com uma velocidade de $200 \; m/s$ (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, $\vec{v_x}$ , e vertical, $\vec{v_y}$ , dessa velocidade. (Dados: $sen \; {53}^o = 0,80; \; cos \; {53}^o = 0,60.$ )

$\epsfig{file=fb/03/vetor12.eps,width=150pt}$

7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade de $900 \; km/h$ . Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade $50 \; km/h$ , no sentido sudoeste-nordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados: $cos \; {45}^o = 0,71$ ).

Fonte: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node9.html