POTÊNCIAS

POTÊNCIAS

* Definição

Dado um certo número real qualquer, e um número n, inteiro e positivo, é definido iⁿ = potência de base (i) e com expoente (n) como sendo o produto de n fatores iguais a (i).

Exemplos de fixação da definição:

Potência = 2³

2 x 2 x 2 = ( 03 fatores) = 8

Potência = 3⁵

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243

Notação: 2³ = 8

2 - BASE

3 - EXPOENTE

8 - POTÊNCIA

Notação: 3⁵ = 243

3 - BASE

5 - EXPOENTE

243 - POTÊNCIA

Alguns casos particulares:

1) Expoente igual a um (1)

(1/2)¹ = 1/2

5¹ = 5

³¹ = 3

2) Expoente igual à zero (0)

5⁰ = 1

6⁰ = 1

7⁰ = 1

Por convenção, resolveu-se que toda número elevado ao número zero, o resultado será igual a 1.

Mais Exemplos de fixação da definição:

1) 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2) 4⁰ = 1

3) 10⁰ = 1

4) 20¹ = 20

* Propriedades de Potências

- Divisão de potência de mesma base

Na operação de divisão de potências de mesma base, é conservada a base comum e subtraem-se os expoentes conforme a ordem o qual eles aparecem no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ ÷ 2 = 2^4-1 = 2³

2) 3⁵ ÷ 3² = 3^5-2 = 3²

3) 4⁶ ÷ 4³ = 4^6-3 = 4³

Temos então: I^m ÷ Iⁿ = Im-n , I#0

- Produto de potência de mesma base

Na operação de multiplicação entre potências de mesma base, é conservada a base comum e somam-se os expoentes em qualquer ordem dada no problema.

Exemplos de fixação:

1) 2⁴ x 2 = 2⁴⁺¹ = 2⁵

2) 3⁵ x 3² = 3⁵⁺² = 3⁷

3) 4⁶ x 4³ = 4⁶⁺³ = 4⁹

Temos então: I^m x Iⁿ = I^m+n

- Potência de Potência

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para se efetuar este cálculo conserva-se a base comum e multiplicam-se os expoentes respectivos.

Exemplos de fixação:

1) (2³)⁴ = 2¹² , pois = 2³ x 2³ x 2³ x 2³

2) (3²)³ = 3⁶ , pois = 3² x 3² x 3²

3) (4²)⁵ = 4¹⁰ , pois = 4² x 4² x 4² x 4² x 4²

Temos então: (Iⁿ)^m = I^nxm

- Potência de um produto

Para se efetuar esta operação de potência de um produto, podemos elevar cada fator a esta potência.

Exemplos de fixação:

1) (b⁵ya³ )⁴ = b²⁰y⁴a¹²

2) (c²d²e⁵ )² = c⁴d⁴e¹⁰

3) (d³a⁴ )³ = d⁹a¹²

Temos então: (I.T)^m = I ^m x T ^m

- Potência com expoente negativo

Toda e qualquer potência que tenha expoente negativo é equivalente a uma fração o qual o numerador é a unidade positiva e o denominador é a mesma potência, porém apresentando o expoente positivo.

Exemplos de fixação:

1) 2^-4 = 1/2⁴ = 1/16

2) 3^-3 = 1/3³ = 1/27

3) 4^-2 = 1/4² = 1/16

Temos então: (I)^-m = 1/I ^m I#0

- Potência de fração

Para se efetuar o cálculo deste tipo de fração, eleva-se o numerador e denominador, respectivamente, a esta potência.

1) (a/b)⁴ = a⁴/b⁴ = b#0

2) (a² /b⁴)³ = a⁶/b¹² = b#0

3) (a³ /b²)³ = a⁹/b⁶ = b#0

Temos então: (a/b)^m = a^m/b^m b #0

- Potência de 10

Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de várias expressões. Para isto guarde bem estas técnicas :

1) Para se elevar 10ⁿ (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a direito do número 1.

Exemplos de fixação:

a) 10⁴ = 10000

b) 10⁶ = 1000000

c) 10⁷ = 10000000

2) Para se elevar 10-n (N>0), basta somente escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu.

Exemplos de fixação:

a) 10-4 = 0,0001

b) 10-6 = 0,000001

c) 10-7 = 0,0000001

3) Decompondo números em potências de 10

Exemplos de fixação (números maiores que 1):

a) 300 = 3.100 = 3.10²

b) 7000 = 7.1000 = 7.10³

c) 10.000 = 1.10000 = 1.10⁴

Exemplos de fixação (números menores que 1):

a) 0,004 = 4.0,001 = 4.10^-3

b) 0,0008 = 8.0,0001 = 8.10^-4

c) 0,00009 = 9.0,00001 = 9.10^-5

- Potência de números relativos

a) Caso o expoente seja par o resultado dará sempre positivo.

Veja: (+2)² = 4 / / (-2)⁴ = 16

b) Caso o expoente seja impar, o resultado trará sempre o sinal da base da potência.

Veja: (+3)³ = 27 / / (-3)³ = -27

Observação importante: -2² # (-2) ² , pois -2² = -4 e (-2) ² = 4. A diferença está que na primeira potência apenas o número 2 está elevado ao quadrado, enquanto que na segunda o sinal e o número 2 estão elevados ao quadrado, tornando o resultado, então, positivo, conforme colocado.

Potências - Regras para multiplicação e divisão

Resumo

Regras para a multiplicação de potências :

Para multiplicar potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente.

Para multiplicar potências com a mesma base mantêm-se a base e soma-se os expoentes

Regras para a divisão de potências :

Para dividir potências com o mesmo expoente, dividem-se as bases e mantém-se o expoente.

Para dividir potências com a mesma base mantêm-se a base e subtrai-se os expoentes

Potência de potência

Numa potência de potência mantêm-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Quadro resumo