As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Para entender como calcular seno, cosseno e tangente vamos entender as definições de cada um.

Seno de um ângulo é a ordenada do ponto N.

Cosseno de um ângulo é a abscissa de N.

Para calcular o seno ou cosseno podemos usar a fórmula básica: sen²x + cos²x= 1

A tangente pode ser descoberta a partir da seguinte fórmula: tg x = senx/cos x. Sendo que o cos x deve ser diferente de 0.

O aluno deve saber os seguintes senos e cossenos para descobrir os valores de outros ângulos.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal

Triângulo eqüilátero de lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x	sen x	cos x	tg x
30º
45º
60º

A variância

A variância tem o objetivo de analisar o grau de variabilidade de determinadas situações, através dela podemos perceber desempenhos iguais, muito próximos ou muito distantes. A média aritmética pode ser usada para avaliar situações de forma geral, já a variância determina de forma mais específica as possíveis variações, no intuito de não comprometer os resultados da análise. Vamos, através de um exemplo, determinar a eficiência da variância.

Um instrutor deseja comparar o desempenho de suas diferentes turmas de um curso de direção defensiva. Para isso considerou a média final dos seis alunos de cada uma das suas quatro turmas:

A: 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
B: 7 – 6 – 5 – 2 – 8 – 9
C: 4 – 5 – 5 – 6 – 8 – 7
D: 1 – 9 – 6 – 3 – 7 – 4

A variância deve ser calculada através da soma dos quadrados entre a diferença de um valor observado e o valor médio. A diferença serve para mostrar quanto um valor observado se distancia do valor médio.

Turma A
Média 6

Variância
{(6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)² + (6 – 6)²} / 6 = 0


Turma B
Média 6,2

Variância
{(7 – 6,2)² + (6 – 6,2)² + (5 – 6,2)² + (2 – 6,2)² + (8 – 6,2)² + (9 – 6,2)²} / 6
{0,64 + 0,04 + 1,44 + 17,64 + 4,84 + 10,24} / 6 = 5,81


Turma C
Média 5,83

Variância
{(4 – 5,83)² + (5 – 5,83)² + (5 – 5,83)² + (6 – 5,83)² + (8 – 5,83)² + (7 – 5,83)²} / 6
{3,35+ 0,69 + 0,69 + 0,03 + 4,71 + 1,37} / 6 = 1,81


Turma D
Média 5

Variância
{(1 – 5)² + (9 – 5)² + (6 – 5)² + (3 – 5)² + (7 – 5)² + (4 – 5)²} / 6
{16 + 16 + 1 + 4 + 4 + 1} / 6 = 7


Conclusão

Turma A: teve valor nulo, isso indica que os alunos possuem rendimentos iguais.

Turmas B e D: essas duas tiveram valores altos como resultado, isso se deve à presença de alunos com desempenhos extremos – bons ou ruins.

Turma C: obteve um valor considerado baixo, dessa forma avaliamos como uma turma na qual a diferença entre a maior e a menor nota é pequena.

Gráficos

Os vários tipos de representação gráfica constituem uma ferramenta importante, pois facilitam a análise e a interpretação de um conjunto de dados.

Os gráficos estão presentes em diversos meios de comunicação (jornais, revistas, internet) e estão ligados aos mais variados assuntos do nosso cotidiano.
Sua importância está ligada à facilidade e rapidez com que podemos interpretar as informações. Os dados coletados e distribuídos em planilhas podem ser organizados em gráficos e apresentados de uma forma mais clara e objetiva.

Várias instituições financeiras espalhadas pelo mundo (Bovespa, BM&F, Down Jones, Nasdaq, Bolsa de Nova York, Frankfurt, Hong-Kong, etc.) fazem uso dos gráficos para mostrar a seus investidores os lucros, os prejuízos, as melhores aplicações, os índices de mercado, variação do Dólar e do Euro (moedas de trocas internacionais), valorização e desvalorização de ações, dividendos, variação das taxas de inflação de países e etc.
O recurso gráfico possibilita aos meios de comunicação a elaboração de inúmeras ilustrações, tornando a leitura mais agradável.

Representações gráficas

Gráfico de segmentos

Observe a tabela que mostra a venda de livros de uma livraria no primeiro semestre de determinado ano:



O gráfico de segmento é utilizado principalmente para mostrar crescimento, decréscimo ou estabilidade.


Gráfico de Barras e de colunas

A tabela a seguir mostra o desempenho em Matemática dos alunos de uma determinada série:

Gráfico de setores

Os sólidos geométricos

Os sólidos geométricos são separados em:



Os sólidos geométricos que representam os corpos redondos são:

• Cilindro



• Cone



• Esfera

Essas figuras possuem características semelhantes, como:
São sólidos que possuem as bases em forma de círculo.
São sólidos que colocados em um plano inclinado rolam.

Podemos observar alguns objetos que possuem as formas de um corpo redondo, como:
Cilindro: cano, tubo de caneta, rolo de papel higiênico, canudo, copo, etc.
Cone: Casquinha de sorvete, chapéu de festa de criança, etc.
Esfera: bola de futebol, bolinha de gude, etc.

Os corpos redondos e os poliedros possuem características semelhantes. Ao compararmos o cilindro com o prisma percebemos que possuem duas bases e se compararmos o cone com a pirâmide percebemos que possuem apenas uma base e todas as arestas que saem dessa base se encontram em um único vértice.
Essas semelhanças serão notadas no cálculo do volume de casa sólido geométrico.

Números Complexos

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)I.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z₁ e z₂, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z₁ : z₂ = z₁ .
z₂



De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:


abemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0).
Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe:

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ

senӨ = b/p → b = p*senӨ


Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi.

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ)

Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações.

Exemplo 1
Represente o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica.
Resolução:
Temos que a = 1 e b = 1



A forma trigonométrica do complexo z = 1 + i é z = √2*(cos45º + sen45º * i).


Exemplo 2
Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i.
Resolução:
a = –√3 e b = 1


A forma trigonométrica do complexo z = –√3 + i é z = 2*(cos150º + sen150º * i).

O inverso de um número é a troca do numerador pelo denominador e vice-versa, desde que essa fração ou número seja diferente de zero. Em um número complexo acontece da mesma forma: um número complexo para ter seu inverso é preciso ser não nulo, por exemplo:

Dado um número complexo qualquer não nulo z = a + bi, o seu inverso será representado por z^–1.

Veja o cálculo do inverso do número complexo z = 1 – 4i.

Portanto, o inverso do número complexo z = 1 – 4i será:


Concluímos que o inverso de um número complexo não nulo terá a seguinte generalidade: z = a + bi




Quando multiplicamos um número complexo pelo seu inverso o resultado será sempre igual a 1, z * z^–1 = 1. Observe a multiplicação do complexo z = 1 – 4i pelo seu inverso:

A multiplicação de números complexos ocorre da seguinte maneira:

(a+bi)*(c +di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + (ad + bc)i + bd(–1) = ac + (ad + bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i

Ao resolver uma equação do 2º grau podemos obter três resultados, dependendo do valor do discriminante:
∆ > 0, duas raízes reais diferentes.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ < i =" -" z =" (x,y)" z =" a" z =" 2" z =" 5" 25 =" 0" 81 =" 0" x =" ±√–81" x =" ±9i" 50 =" 0" a =" 2," b =" -16," c =" 50" alt="" src="http://www.brasilescola.com/upload/e/8%286%29.jpg" height="134" width="108">

x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i

Consideremos o número complexo não nulo z = p*(cosӨ + i*senӨ) e o número n Є N, dessa forma escrevemos:

zⁿ = z*z*z*...*z ou zⁿ = p*p*p*...*p *(cosӨ + i*senӨ)* (cosӨ + i*senӨ).... (cosӨ + i*senӨ), daí, zⁿ = pⁿ*[cos(Ө+Ө+Ө+...+Ө) + i*sen(Ө+Ө+Ө+...+Ө)], onde concluímos que:

zⁿ = pⁿ *[cos(nӨ) + i*sen(nӨ)]

Essa expressão é um recurso muito importante nas situações envolvendo a expressão (a + bi)n, caso não existisse, deveríamos usar o binômio de Newton, o que acarretaria em cálculos trabalhosos.

Obs.: para calcularmos a potência de um número complexo utilizando a 1º fórmula de Moivre, devemos escrever o complexo na sua forma trigonométrica.

Exemplo 1
Dado o complexo z = – 2 – 2i, calcule z¹⁰.

Exemplo 2
Dado o número complexo z = –1 –√3i, determine z¹⁵.

Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer alguns fundamentos.

Oposto

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:
- z = - 8 + 6i.

Conjugado

Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:



Exemplo:
z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

Igualdade

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:
Partes imaginárias iguais
Partes reais iguais

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.


Observações:

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.
z + (-z) = 0.

O conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.


Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior ou menor.

Exemplo 1

Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto
- z = 2 - 6i

Conjugado


Oposto do conjugado



Exemplo 2

Determine a e b de modo que .

Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2
b = 9



Fonte:Brasil Escola

Sistema Cartesiano

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal.

As duas retas são chamadas de eixos:
Eixo das abscissas: reta x.
Eixo das coordenadas: reta y.

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem.



O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante.



Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas.
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado.



O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P.
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P.
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P.

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados.



O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante.
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x.
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante.
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante.
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante.
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.
Fonte:Brasil Escola