Introdução ao cálculo algébrico

Introdução

A Álgebra nos ajuda em muitas coisas, com e

la podemos generalizar situações. No estudo da álgebra usamos constantemente letras representando números: elas apenas representam, não quer dizer que são números. Poderíamos muito bem usar quadradinhos, palavras, um desenho qualquer. Mas é mais simples usar as letras, por diversos motivos: todo mundo as conhece, todos sabem escrevê-las, é fácil ler e podemos usar várias delas, sem precisar ficar criando mais e mais símbolos para representar números diferentes. É muito melhor usar letras, do que qualquer outro símbolo. Universalmente, são usadas na matemática. Uma que comumente representa um número desconhe

cido, uma incógnita, é a letra x. O “x” da questão! Como algumas vezes precisamos de mais números, usamos mais letras, como y, z, etc. Convenciona-se usar as últimas letras do alfabeto, mas você pode usar qualquer uma em seus cálculos e rascunhos.

Generalizando uma fórmula

Vamos calcular o perímetro do quadrado. Se você não sabe, perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Supomos um quadrado com 6 cm de lado:

Imagine que precisamos passar uma fita em volta de uma caixinha quadrada, de 6 cm de lado. Quantos cm de fita precisaremos? Isso depende da medida do lado da caixinha. Vejamos...

No exemplo, o lado do quadrado tem 6 cm. Para cobrirmos um lado, usaremos 6 cm de fita. Como o quadrado tem 4 lados, é claro que usaremos 4 vezes a quantidade necessária para preencher apenas um lado. Veja:

6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6 = 24

Então usaremos 2

4 cm de fita (não consideramos aqui o que na prática ficaria sobreposto ou usado para colar a fita).

Geometricamente, dizemos que o perímetro desse quadrado é 24 cm.

E se o quadrado tivesse 15 cm de lado?

Seriam: 15 × 4 = 60

60 cm de fita.

É possível escrever uma fórmula, baseada no que se observou. O perímetro do quadrado é sempre 4 vezes a medida de um dos seus lados. Se o lado mede 1 unidade de medida, o perímetro vai ser 4 × 1 = 4. Se o lado mede 12, o perímetro mede 4 × 12 = 48, e assim por diante.

Vamos supor que não sabemos quanto mede o lado do quadrado. Vamos então indicar o lado pela letra l (l de “lado”, apenas como referência, mas poderia ser qualquer outra). Veja:

Mesmo sem saber quanto vale l, pode-se concluir que o perímetro é 4 × l:

l + l + l + l

Podemos escrever:

P_Q = 4l

Onde P_Q é o “perímetro do quadrado”, e l é a medida do lado. A expressão P_Q = 4l é uma fórmula, no caso a fórmula do perímetro do quadrado: com ela podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado, substituindo a letra l pela medida do lado e fazendo os cálculos.

Como o uso de fórmulas e expressões com números e letras é freqüente na matemática, para facilitar não indicamos o sinal de multiplicação entre um número e uma letra:

P_Q = 4l quer dizer P_Q = 4 × l, ou seja, 4 vezes l. Leia da mesma forma, “quatro vezes éle” ou “quatro éle”

Sempre ao ver um número “encostado” numa letra indica que se trata de uma multiplicação, o sinal da multiplicação fica então subentendido, apenas para simplificação. Isso é usado na matemática, você verá em livros e no vestibular, testes, etc., mas se não quiser usar no seu dia-a-dia é claro que não precisa. Pode colocar o sinal de vezes, sem problemas.

Agora com a fórmula P_Q = 4l podemos calcular o perímetro de qualquer quadrado. Por exemplo, qual é o perímetro de um quadrado de lado com 17 m?

Veja:

P_Q = 4l

P_Q = 4 . lado

P_Q = 4 . 17

P_Q = 68

A fórmula P_Q = 4l vale para qualquer quadrado. Por isso dizemos que a Álgebra trabalha com generalização. Claro que esta fórmula é simples, ela é aplicada de forma praticamente automática. Mas e para calcular o comprimento de circunferências, a altura de pirâmides, o volume de esferas? Deduzir e guardar as fórmulas prontas ajudam nessas tarefas, pois basta substituir as letras pelas medidas depois e calcular. Não são só medidas, claro, podemos generalizar funções específicas, como consumo de combustível, preço a pagar, etc. Estas, é claro, dependeriam de outros fatores.

Saiba +

Na fórmula PQ = 4l, “l” pode variar dependendo da medida do comprimento do lado do quadrado. Por isso, nessa fórmula, dizemos que a letra “l” é uma variável.

Generalizando outra fórmula

Agora vamos obter uma fórmula para calcular o perímetro de um retângulo. Observe:

O perímetro desse retângulo é obtido somando-se todos os lados:

5 + 12 + 5 + 12

Posso fazer 5 + 5 + 12 + 12, que dá a mesma coisa.

Você sabe que 5 + 5 = 2 . 5, e que 12 + 12 = 2 . 12. Portanto, podemos escrever também:

5 + 5 + 12 + 12 = 2 . 5 + 2 . 12

Como era uma adição e agrupamos as parcelas, devemos começar a conta pela multiplicação, veja que esta regra das expressões numéricas se justifica, senão seu cálculo sairia errado. Depois, somamos os re

sultados das multiplicações:

2 . 5 + 2 . 12 =

10 + 24 =

34

O perímetro do retângulo é 34.

Agora veja esse outro retângulo:

Sabemos que dois lados dele medem 3, mas não sabemos os valores dos outros lados. O perímetro é dado por:

3 + 3 + x + x

Ou então:

2 . 3 + 2 . x

Como 2 vezes 3 é 6, podemos já colocar:

P_R = 6 + 2x

Nesse caso a expressão 6 + 2x indica o perímetro do retângulo em que os lados medem 3, 3, x e x. Se o lado de medida desconhecida medisse 5 unidades de medida, teríamos:

P_R = 6 + 2x

P_R = 6 + 2 . 5

P_R = 6 + 10

P_R = 16

Se o lado desconhecido medisse 1:

P_R = 6 + 2x

P_R = 6 + 2 . 1

P_R = 6 + 2

P_R = 8

Por que primeiro a multiplicação mesmo? Porque ela já estava lá. A multiplicação é a simplificação de uma soma, e como simplificamos a soma numa expressão mais simples, essa expressão deve ser concluída (calculada) e não deve ter seus termos misturados com outros, apenas o resultado final é que deverá ser trabalhado depois, no contexto em que se inserir. Veja o que aconteceria se não seguíssemos essa regra (em azul estão os cálculos feitos primeiro):

PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 8 . 5 PR = 40

PR = 6 + 2x PR = 6 + 2 . 5 PR = 6 . 10 PR = 16

Percebeu? O correto é 16, e não 40! Confira no retângulo, somando manualmente cada lado, considerando o x = 5.

Algebrando ainda mais

E se não conhecêssemos as medidas de nenhum dos lados, daria para montar a expressão, a fórmula? Claro! Deixamos a expressão indicada, ou seja, sem calcular, normalmente da forma mais simples que pudermos. Imagine esse retângulo:

O retângulo tem dois pares de lados iguais. Ou seja, ele tem 4 lados, sendo que dois lados têm uma mesma medida, e os outros dois também. O perímetro do retângulo acima poderia ser indicado assim:

P_R = a + a + b + b

P_R = 2 . a + 2 + b

P_R = 2a + 2b

Veja que 2a + 2b é uma forma bastante simplificada (curta de escrever). Você não pode fazer 2a + 2b = 4ab, afinal 2a é 2 . a, e 2b é 2 . b. Então 2 . a + 2 . b certamente não é 4 . a . b, o 2 não poderia ser somado.

Resumindo

Expressões Algébricas são aquelas que contém números e letras

.
Ex: 2ax²+bx

Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.

Monômios

As expressões algébricas que não representam as operações de adição e subtração entre os números e as variáveis, são denominadas de monômios.

Observe os exemplos:

6x, 4x, 5y, 7y

3x²y², 4x²y²

ab, 10, 12

A parte numérica de uma expressão algébrica chamada de monômios é denominada coeficiente e a outra parte da sentença formada por letras é chamada de parte literal.

Exemplos para fixação de conteúdo

De acordo com a definição sobre monômios, vamos destacar nas sentenças abaixo a parte literal e o coeficiente:

- 6x

Coeficiente: 6

Parte Literal: x

- 10y

Coeficiente: 10

Parte Literal: y

Grau de um monômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x⁵ possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x² y⁴ possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y) = 3x²y, então para x=7 e y=2 temos que: p(7,2) = 3 . 7². 2 = 294

Monômios semelhantes:

Monômios semelhantes são aqueles que possuem partes literais iguais.

Ex: (3ba³) e (7ba³) , pois possuem a mesma parte literal

Expressão algébrica inteira e fracionária

Quando não possuem variável ou variáveis no denominador são cahmadas de "Inteira"

Quando possuem variável ou variáveis no denominador são chamadas de "fracionária"

Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:

a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + a₂ x^{n -2} + ... + a_{n – 1} x + a_n

A função polinomial será definida por:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + a₂x^{n -2} + ... + a_{n – 1}x + a_n

Com:
a₀ , a₁ , a₂, … , a_{n – 1} e a_n são números complexos e n N.


• Valor numérico de um polinômio

Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.

P(2) = 5 . 2⁴ – 3 . 2³ + 2² – 2 + 2

P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2

P(2) = 80 – 24 + 4

P(2) = 56 + 4

P(2) = 60

Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x⁴ – 3x³ + x² – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.

• Raiz ou zero do polinômio

Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x³ + 5x² – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.

Exemplo:

P(x) = x² - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:

x² - 1 = 0
x² = 1
x = + 1 ou - 1

Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x² - 1.

• Grau de um polinômio

Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:

• P(x) = x³ - x² + 2x -3 → temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x³, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.

P(x) = x³ - x² + 2x -3 é do 3º grau.

• P(x) = 5x⁰ = 5 → grau zero.

Em polinômios de duas ou mais variáveis, o grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis nesse termo; o grau do polinômio, novamente, é o maior grau. Por exemplo,o polinômio x²y² + 3x³ + 4y tem grau 4, o mesmo grau que o termo x²y².