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sábado, 15 de agosto de 2009

Numeração decimal

Numeração decimal

Introdução

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários.

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais

Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:

Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

Transformação de números decimais em frações decimais

Observe os seguintes números decimais:

  • 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

  • 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .

  • 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .

  • 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

Verifique então que:

Assim:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal

Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Podemos concluir, então, que:

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Vetores

Vetores

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2:

v + w = w + v

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2:

u + (v + w) = (u + v) + w

III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:

O + u = u

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:

v + (-v= O)

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

  • 1 v = v
  • (k c) v = k (c v) = c (k v)
  • k v = c v implica k = c, se v for não nulo
  • k (v+w) = k v + k w
  • (k + c)v = k v + c v

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.

Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 <> 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c <>

Vetores

Vetores

Vetor Unitário

Um vetor é unitário se || = 1.

Versor

Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de .

Por exemplo, tomemos um vetor de módulo 3.

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .

Vetores Colineares

Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: e são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

Vetores Coplanares

Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano p, diz-se que eles são coplanares.

Dois vetores e quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p que passa por este ponto.

Três vetores poderão ou não ser coplanares.

, e são coplanares

, e não são coplanares

Vetores

Vetores

Vetor

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

= {XY/XY ~ AB}

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .

um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Vetores iguais

Dois vetores e são iguais se, e somente se, AB ~ CD.

Vetor Nulo

Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por .

Vetores Opostos

Dado um vetor = , o vetor é o oposto de e se indica por ou por .